考研数学一解答题专项强化真题试卷24(题后含答案及解析)

2024年3月11日发(作者：宣中自主招生数学试卷)

考研数学一解答题专项强化真题试卷24

(题后含答案及解析)

题型有：1.

1． (2008年试题，17)已知曲线求曲线C上与xOy面的距离最远点和最近

点．

正确答案：曲线C到xOy面的距离就是｜x｜，由曲线C的方程可得到

x2+y2=2z2,x+y=5—3x;2z2=x2+y2≥即解得1≤z≤5．当且仅当x=y时一k述不等

式中等号成立，将x=y代入到曲线C的方程得到故有｜x｜max=5，｜z｜min=1．最

远点为(一5，一5，5)，最近点为(1，1，1)．解析二将曲线C的方程中的z消去

可得整理得7x2一4xy+7y2+20x+20y一50=0问题就转化成在上述条件下求｜x｜

的最值或求z的最值令F(x，y，κ)=z+λ(7x2一4xy+7y2+20x+20y一50)，分别

对x，y，λ求偏导得Fλ=7x2=4xy+7y2+20x+20y一50=0联立上述等式解得最

远点为(一5，一5，5)，最近点为(1，1，1)．解析三设P(x，y，z)为曲线C上的

任意一点，则点P到xOy平面的距离为｜z｜，问题转化为求z2在约束条件x2+y2

一2x2=0与x+y+3z=5下的最值点．令拉格朗日函数为F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+

λ(x2+y2一2z2)+μ(x+y+3z一5)根据几何意义知，曲线C上存在距离xOy面最

远的点和最近的点，故所求点依次为(一5，一5，5)和(1，1，1)． 涉及

知识点：多元函数微分学

2． 计算，其中∑为下半球面的上侧，a为大于零的常数．

正确答案：采用补面法，根据前面分析不能直接补z=0．由于下半球面上的

点(x，y，z)应满足x2+y2+z2=a2，则 涉及知识点：高等数学

3． (99年)设矩阵其行列式|A|==1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，

属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a、b、c和λ0的值．

正确答案：由题设，有A*α=λ0α两端左乘A，并利用AA*=|A|E=一E(已

知|A|=一1)，得一α=λ0Aα解之得λ0=1，b=一3，a=c．由|A|=-1和a=c，有故

a=c=2．因此a=2，b=一3，c=2，λ0=1． 涉及知识点：线性代数

4． (87年)设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为求随机变量

Z=2X+Y的概率密度函数．

正确答案：由已知，(X，Y)的联合密度为f(x，y)=fx(x)fy(y)=而Z的分布函

数为Fz(z)=P(Z≤z)=P(2X+Y≤z)=当即z≤0时，Fz(z)=0(图4．3(a))则Z的概率

密度为 涉及知识点：概率论与数理统计

5．

正确答案：

6． [2011年] (I)证明对任意的正整数都有成立；(Ⅱ)设(n=1，2，…)，证

明数列{an}收敛．

正确答案：(I)利用拉格朗日中值定理证之．令f(x)=ln(1+x)，则f(0)=0，对

f(x)在闭区间．[0，1／n]上使用拉格朗日中值定理，得到即 因，则于是 即(Ⅱ)

下证数列{an}单调下降且有下界．由上题知的结论有，于是令n=2，3，…，n，

得到ln2一ln1＜1，ln3一ln2＜1／2，ln4一ln3＜1／3，…，ln(n+1)一lnn＜1

／n．将上述各不等式相加，得到ln(1+n)＜1+1／2+1／3+…+1／n．于是．即{an}

有下界．下再证{an}单调减少，为此证an—an+1＞0．事实上．有综上可知，{an}

为单调有界数列，利用数列极限存在准则，得到数列{an}收敛． 涉及知

识点：一元函数微分学

7． [2015年] 已知函数f(x，y)=x+y+xy，曲线C：x2+y2+xy=3，求f(x，

y)在曲线C上的最大方向导数．

正确答案：易求得f’x(x，y)=1+y，f’y(x，y)=1+x，故gradf(x，y)=(1+y，1+x)，

为求其在约束条件x2+y2+xy=3下的最大值，转化为求z=(1+y)2+(1+x)2在约束

条件下的最大值．为此，构造拉格朗日函数：F(x，y，λ)=(1+y)2+(1+x)2+λ

(x2+y2+xy一3)．令 由式①、式②分别得 由，得(y—x)(1一y一x)=0．当y=x

时，将其代入式③，得到x2=1，即x=±1，则y=x=±1．于是得到可能的最大值

点为A1(1，1)，A2(一1，-1)．当1一y—x=0，即y=1—x时，代入式③，得到

(x一2)(x+1)=0．如x=2，则y=1—2=一1；如x=一1，则y=2．于是又得到两个

可能的最大值点A3(2，一1)，A4(一1，2)．综上所述，在点A1，A2，A3，A4

处函数z，亦即可能取得最大值．将其坐标代入｜gradf(x，y)｜，得因而f(x，y)

在曲线C上的最大方向导数的最大值为3． 涉及知识点：多元函数微分

学

8． 设随机变量X与Y相互独立，下表给出了二维随机变量(X，Y)的联合

分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空

白处．

正确答案：令 P(X=xi，Y=yi)=pij (i=1，2；j=1，2，3)．由

P.1=P(Y=y1)=p11+p21，即1／6=p11+1／8得P11=1／24．先求关于X的边缘分

布p1.和p2.，得到P.1=P11／p.1=(1／24)／(1／6)=1／4，p2.=p21／p.1=(1／8)／

(1／6)=3／4．再求关于Y的边缘分布的其余数值．有p.2=p12／p1.=(1／8)／(1

／4)=1／2；又由p.1+p.2+p.3=1，得p.3=1—1／6—1／2=1／3．最后求p13与

p23．因X与Y相互独立，得p13=p1.p.3=(1／4)×(1／3)=1／12，p23=p2.p.3=(3

／4)×(1／3)=1／4．将上述所求数值填入表中的空白处，如下表所示． 涉

及知识点：二维随机变量及其分布

[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

9． 求：(X，Y)的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

正确答案：当x≤0或x≥1时，f(x，y)=0，故fX(x)=0．当0＜x＜1时(见图)，

fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=∫02x1dy=2x，故 同法可求得当Y≤0或Y≥2时，因

f(x，y)=0，故fY(y)=0．当0＜y＜2时， 涉及知识点：二维随机变量及其

分布

10． 求：Z=2X—Y的概率密度fZ(z)．

正确答案：用卷积公式求之．fZ(z)=∫-∞+∞f(x，2x—z)dx=∫01f(x，2x—

z)dx．因f(x，y)的取非零值的区域边界点为(0，0)，(1，0)，(1，2)，将这些坐标

值分别代入z=2x—y中，得到z=0或z=2．于是按z≤0，0＜z＜2，z≥2三种情

况讨论．因y=2x—z，故因而当z＜0或z≥2时，fZ(z)=0；当0＜z＜2时，由图

得到即Z的概率密度函数为 涉及知识点：二维随机变量及其分布