考研数学一(解答题)高频考点模拟试卷27(题后含答案及解析)

2024年3月11日发(作者：江苏高考数学试卷内容分布)

考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷27

(题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 设a＞0，x1＞0，

正确答案：故{xn}有下界，又故{xn}单调递减，所以存在．设 涉及

知识点：函数、极限、连续

2． 把y看作自变量，x为因变量，变换方程=x．

正确答案：把方程中的来表示．由反函数求导法得．再由复合函数求导法及

反函数求导法：将它们代入原方程 涉及知识点：一元函数的导数与微分

概念及其计算

3． 求定积分：(I)J＝min｛2，x2｝dx； (II)J＝(1一｜t｜)dt，x≥一1．

正确答案：(Ⅰ)min｛2，x2｝＝于是 涉及知识点：高等数学

4． 设f(x)在(a，b)上有定义，c∈(a，b)，又f(x)在(a，b)＼｜c｜连续，c为

f(x)的第一类间断点．问f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么?

正确答案：设F(x)是f(x)在(a，b)的原函数．考察于是F′+(c)=f(x)，F′－

=f(x)，由于x=c是f(x)的第一类间断点，故存在，但不相等，即F′+(c)≠F′－

(c)．或 f(x)≠f(c)， 即 F′(c)≠f(c)．这都与F(x)是f(x)在(a，b)的原函数相

矛盾．因此f(x)在(a，b)不存在原函数．

解析：f(x)在(a，c)与(c，b)上连续，分别存在原函数，于是关键是看x=c处

的情况． 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用

5． 设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且

f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得

正确答案：当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立；

设C为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2＜…＜an．构造辅助函数φ

(x)=f(x)－k(x－a1)(x－a2)…(x－an)，显然φ(x)在[a1，an]上n阶可导，且φ(a1)=

φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由罗尔定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，

ξn(1)∈(an－1，an)，使得φ’(ξ1(1))=φ’(ξ2(1))=…=φ’(ξn(1))=0，φ’(x)在(a1，

an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ(1)(x)在(a1，an)内至少有

两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n－1)(c1)=φ(n－1)(c2)=0，再由

罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，an)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)－n!k，

所以f(n)(ξ)=n!k，从而有 涉及知识点：高等数学

6． 设函数x=x(y)由方程x(y—x)2=y所确定，试求不定积分

正确答案：令y—x=t，则(y—t)t2=y，故得t3一3t=A(t3+t2一t一

1)+B(t2+2t+1)+C(t3一t2一t+1)+D(t2一2t+1)=(A+C)t3+(A+B—C+D)t2+(一A+2B

—C一2D)t—A+B+C+

D．比较t的同次幂的系数得 涉及知识点：一元函数积分学

7． 已知f(x，y)=x2+4xy+y2，求正交变换P,，使得

正确答案： 涉及知识点：线性代数

8． 求幂级数的收敛区间与和函数f(x)。

正确答案：设an=，则当x2＜1时，原级数绝对收敛，当x2＞1时，原级数

发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(—1，1)。 涉及知识点：

无穷级数

9． 一个班内有20位同学都想去参观一个展览会，但只有3张参观票，大

家同意通过这20位同学抽签决定3张票的归属．计算下列事件的概率：(I)“第

二人抽到票”的概率P1；(Ⅱ)“第二人才抽到票”的概率P2；(Ⅲ)“第一人宣布

抽到了票，第二人又抽到票”的概率P3；(Ⅳ)“前两人中至少有一人抽到票”的

概率P4．

正确答案：设事件Ai＝“第i人抽到票”，i＝1，2．(I)如果是填空题，可以

根据抽签公平性原理得知中签率应与抽签次序无关．直接填写P1＝P(A2)＝；作

为计算题，应写出解题步骤．根据全概率公式P1＝P(A2)＝P(A1)P(A2｜A1)＋(Ⅱ)

事件“第二人才抽到票”表示“第一人未抽到票、但第二人抽到了票”，根据乘

法公式(Ⅲ)“第一人宣布抽到了票，第二人又抽到票”表示已知事件A1发生，

再考虑事件A2出现．p3＝P(A2｜A1)＝．(Ⅳ)根据加法公式与乘法公式p4＝P(A1

∪A2)＝P(A1)＋P(A2)一P(A1A2)＝P(A1)＋P(A2)一P(A1)P(A2｜A1)

＝． 涉及知识点：概率论与数理统计

10． 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t=0=v0．已知阻力与

速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点

所经过的路程．

正确答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F=ma=解此微分方程得

v(t)=v0e．由v0e=得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为S=∫

0ln3v0e—tdt=v0． 涉及知识点：高等数学

11． 设A=(ai≠0，i=1，2，…，n)，求A—1．

正确答案： 涉及知识点：线性代数

12． 设A是n×n矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0，证明：A=O．

正确答案：方法一 由于对任何X均有AX=0，取X=[1，0，…，0]T，由

得a11=a21=…=am1=0． 类似地，分别取X为e1=[1，0，…，0]T，e2=[0，

1，0，…，0]T，…，en=[0，0，…，1]T代入方程，可证每个aij=0，故A=O． 方

法二 因对任何X均有AX=0，故有Aei=0，i=1，2，…，n，合并成分块阵，得

[Ae1，Ae2，…，Aen]=A[e1，e2，…，en]=AE=A=O 方法三 因对任何X

均有AX=0，故方程组的基础解系向量个数为n． 又r(A)+基础解系向量个数

n=n(未知量个数)，故有r(A)=0，即A=O． 涉及知识点：线性代数

13． 求线密度为常数的摆线x=a(t一sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤π)的重心．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

设随机变量X～U(0，1)，在X=x(0＜x＜1)下，Y～U(0，x)．

14． 求X，Y的联合密度函数；

正确答案：因为X～U(0，1)，所以fX(x)=，又在X=x(0＜x＜1)下，Y～U(0，

x)，所以fY｜X(y｜x )=，故f(x，y)=fX(x)fY｜X(y｜x)=． 涉及知识点：

概率统计

15． 求Y的边缘密度函数．

正确答案：fY(y)=∫－∞＋∞f(x，y)dx，当y≤0或y≥1时，fY(y)=0；当0

＜y＜1时，fY(y)=． 涉及知识点：概率统计