2024年3月11日发(作者：什么出的数学试卷难度大)
考研数学一（高等数学）模拟试卷106
(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且则必有( )
A．an＜bn对任意n成立．
B．bn＜cn对任意n成立．
C．极限不存在．
D．极限不存在．
正确答案：D
解析：(特例排除法)取an=(n=1，2，…)，则选项A、B、C均可排除． 知
识模块：高等数学
2． 要使f(x)=在(-∞，+∞)内为连续函数，则( )
A．a=π，b=0．
B．a=π，b=1．
C．a=，b=1．
D．a=，b=0．
正确答案：A
解析：由于初等函数在其有定义的区间上是连续函数，要使f(x)在(-∞，+
∞)内连续，只需f(x)在x=0点连续，即成立，因为不存在，所以b=0，从而 知
识模块：高等数学
3． 设f(0)=0，且(常数)，则f(x)在点x=0处( )
A．极限不存在．
B．极限存在但不连续．
C．连续但不可导．
D．可导且f’(0)=A．
正确答案：D
解析：因为(常数)，所以故f(x)在点x=0处连续．进一步，所以f(x)在点x=0
处可导且f’(0)=A．故应选
D． 知识模块：高等数学
4． 设函数y=2sinx+sin3x，则在点x=处( )
A．y取得最小值．
B．y取得极小值．
C．y取得极大值．
D．y不取极值．
正确答案：C
解析：由y’=2cosx+cos3x，y’’=-2sinx-3sin3x，得所以是驻点，由极值的第二
充分条件知，在点处y取得极大值． 知识模块：高等数学
5． 设∮f(x)dx=arccosx+C，则等于( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：等式∫f(x)dx=arccosx+C两端对x求导，得f(x)=，所以 知识模块：
高等数学
6． 设f(x)可导且f’(0)≠0，又存在有界函数θ(x)≠0(x≠0)满足，则等于
( )
A．0．
B．
C．1．
D．2．
正确答案：B
解析：根据已知条件f’(0)≠0，将已知等式改写成[f(t)-f(0)]dt=x[f(θx)-f(0)]，
将上式两端乘以，得 知识模块：高等数学
7． 设a，b，c均为非零向量，则与a不垂直的向量是( )
A．(a.c)b-(a.b)c．
B．
C．a×b．
D．a+(a×b)×a．
正确答案：D
解析：利用两个非零向量垂直(正交)这两个向量的内积等于零．由向量的运
算法则有A项a.[(a.c)b-(a.b)c]=(a.c)(a.b)-(a.b)(a.c)=0，B项a.(a.a)=a.b-a.b=0，C项
a.(a×b)=0，D项a.[a+(a×b)×a]=a.a=｜a｜2≠0．故与a不垂直的向量是a+(a×
b)×a，应选
D． 知识模块：高等数学
8． 设函数x=z(x，y)由方程z+x=yf(x2-z2)确定，其中f(u)可导，则=( )
A．y．
B．x．
C．yf(x2-y2)．
D．z．
正确答案：B
解析：这是一个三元方程所确定的二元隐函数求偏导问题，本题采用方程两
边求全微分，再利用全微分形式不变性得到方程z+x=yf(x2-z2)两边求全微分，得
dz+dz=fdy+yf’(2xdx-2zdz)，所以由全微分形式不变性，得 知识模块：高等数学
9． 设I=xy2dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，则I等于( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：由于4个选项中只有先对y后对x的二次积分与极坐标下的二次积分，
因此只需要将积分区域D写成直角坐标下的X型区域与极坐标下的区域，并考
虑被积表达式的变化即可．在直角坐标下，在极坐标下， D={(x，y)｜0≤θ≤，
0≤r≤1}，于是故应选
C． 知识模块：高等数学
10． 在从点O(0，0)到点A(π，0)的曲线族L：y=asin x(a＞0)中，使曲线
积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小的a等于( )
A．1．
B．2．
C．3．
D．4．
正确答案：A
解析：本题是第二类曲线积分的计算与一元函数最值计算的综合问题．在计
算第二类曲线积分时，类似于上题，也有两种方法，这里用直接计算法． 记
I(a)=∫L(1+y2)dx+(2x+y)dy令I’(a)=-4+4a2=4(a2-1)=0，得a=1(a=-1舍去)，
I’’(a)=8a，I’’(1)=8＞0，故I(a)在a=1处取得极小值，也是最小值．故应选A． 知
识模块：高等数学
11． 设有无穷级数，则( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：(推理法)若中至少有一个不成立，由级数收敛的必要条件知，中至少
有一个发散．故应选
B． 知识模块：高等数学
12． 微分方程=(x-y)(x+y)，=cosy+x，③y2dx-(y2+2xy-y)dy=0中，一阶线性
微分方程是( )
A．①．
B．②．
C．③．
D．①、②、③均不是．
正确答案：C
解析：可直接观察出方程①、②不是一阶线性微分方程．对于方程③，将其
变形为将x看成未知函数，y为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程．故应
选
C． 知识模块：高等数学
13． 差分方程yt+1-yt=3t2+1具有的特解形式为( )
A．yt*=At2+
B．
B．yt*=At3+Bt+Ct．
C．yt*=At2+Bt2．
D．yt*=At2+Bt+
C．
正确答案：B
解析：因为a=1，且一阶线性差分方程yt+1-yt=3t2+1的非齐次项f(t)=3t2+1
是二次多项式，所以其具有的特解形式为yt*=t(At2+Bt+C)=At3+Bt2+Ct． 知识
模块：高等数学
填空题
14． =_____.
正确答案：1
解析：由于，所以 知识模块：高等数学
15． 已知f(x)由方程cos(xy)+lny-x=1确定，则=______．
正确答案：2
解析：这是一个关于导数定义与隐函数求导的综合问题．其方法是先将所求
极限凑成f(x)在点x=0处的导数定义的推广形式，然后利用隐函数求导求出
f’(x)．进一步求出f’(0)．在已知等式中，取x=0得y-1，即f(0)=1．因为，将方
程cos(xy)+lny-x=1两边对x求导，得将x=0，y=1代入上式，得 知识模块：高
等数学
16． 设f(t)=，则f’’(t)=______．
正确答案：4(1+t)e2t
解析：因为f(t)==te2t，所以f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t，
f’’(t)=2e2t+2(1+2t)e2t=4(1+t)e2t． 知识模块：高等数学
17． 曲线y=(x-5)的拐点坐标为________．
正确答案：(-1，-6)
解析：令y’’=0，得x=-1；当x=0时y’’不存在，列表10：故曲线的拐点坐
标为(-1，-6)． 知识模块：高等数学
18． 设f(x)在[0，+∞)内连续，且=_______．
正确答案：1
解析：这是一个型未定式的极限，用洛必达法则时，只要考虑到积分上限的
导数即可． 知识模块：高等数学
19． 位于曲线y=xe-x(0≤x＜+∞)下方，x轴上方的无界图形的面积为
_______．
正确答案：1
解析：这是一个无界区域的面积问题，可用无穷限的反常积分计算．所求面
积为 知识模块：高等数学
20． 设f(x，y)在点(a，b)处的偏导数存在，则=______.
正确答案：2f’x(a，b)
解析：由于所求极限与偏导数的定义形式非常接近，故考虑利用偏导数的定
义求极限．由f(x，y)在点(a，b)处的偏导数存在，可知 =f’x(a，b)+f’x(a，
b)=2f’x(a，b)． 知识模块：高等数学
21． 设n是曲面z=x2+y2在点M(1，1，2)处指向下侧的法向量，则函数
u=x2+yz在点M处沿方向n的方向导数为_______．
正确答案：
解析：令F(x，y，z)=x2+y2-z，则曲面z=x2+y2在点M处指向下侧的法向
量 n=(F’x，F’y，F’z)｜M=(2x，2y，-1)｜(1,1,2)=(2，2，-1)，将其单位化，
得，n0=，则n的方向余弦为由方向导数计算公式，u在点M处沿方向n的方向
导数为 知识模块：高等数学
22． 设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分
=______.
正确答案：
解析：在直角坐标下，无论是用X型区域还是用Y型区域，计算都比较烦
琐，可考虑用极坐标计算．在极坐标下，积分区域D={(r，θ)｜，0≤r≤2sinθ}，
如图52所示，则 知识模块：高等数学
23． 向量A=xi+yj+zk通过闭区域Ω={(x，y，z)｜0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z
≤1}的边界曲面流向外侧的通量为________．
正确答案：3
解析：本题考查第二类曲面积分的物理意义及计算．一般地，
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy表示向量场A(x，y，z)=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，
z)七通过曲面∑向着指定侧的通量(或流量)，其中函数P，Q，R均具有一阶连续
偏导数． 设Ω的边界为∑，则所求通量为 知识模块：高等数学
24． 设函数f(x)=anxn(-∞＜x＜∞)，f(0)=0，且满足[(n+1)an+1+an]xn=ex，
则f(x)的表达式为_______．
正确答案：(ex-e-x)
解析：因为f(x)=，则[(n+1)an+1+an]xn=ex，上式可化为 f’(x)+f(x)=ex，
等式两边乘以ex，得 [f(x)ex]’=e2x，两边积分，得 f(x)ex=e2x+C，由f(0)=0，
得C= 知识模块：高等数学
25． 设函数f(x)在[2，+∞)上可导且f(2)=1，如果f(x)的反函数g(x)满足
=x2f(x)+x，则f(4)=_____．
正确答案：
解析：当x≥2时，将已知方程两边对x求导得
g[f(x)]f’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，因为g(x)是f(x)的反函数，所以g[f(x)]=x，于是，
上式可写成 xf’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，即 (x2-x)f’(x)+2xf(x)=-1，这是一个
一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的通解公式，有由f(2)=1，得C=3-ln2，
所以于是 知识模块：高等数学
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