2024年3月11日发(作者：数学试卷网站模板怎么做)

考研数学三（无穷级数）模拟试卷17

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设级数收敛，则下列选项必为收敛级数的为( )

A．

B．un2

C．(u2n-1一u2n)。

D．(un+un+1)。

正确答案：D

解析：因为级数un收敛，而un+1与un只差一项，故un+1收敛，再由收

敛级数的和仍收敛可知，级数(un+un+1)收敛，故选D。 知识模块：无穷级数

2． 如果级数an和bn都发散，则( )

A．(an一bn)必发散。

B．anbn必发散。

C．(an+|bn|)必发散。

D．(|an|+|bn|)必发散。

正确答案：D

解析：由于an发散，则|an|发散，而|an|≤|an|+|bn|)，故(|an|+|bn|)必发散，故

选D。 知识模块：无穷级数

3． 已知级数an收敛，则下列级数中必收敛的是( )

A．

B．an2

C．(a2n-1一l一a2n)。

D．(an+an+k)，k为正整数。

正确答案：D

解析：由于(an+an+k)=an+an+k,而级数an+k为原级数an去掉了前k项，因

此也收敛，故(an+an+k)必收敛，故选D。 知识模块：无穷级数

4． 设an＞0(n=1，2，…)，且an＞收敛，常数λ∈(0，)，则级数( )

A．绝对收敛。

B．条件收敛。

C．发散。

D．敛散性与λ有关。

正确答案：A

解析：利用比较法。因为=λ>0,而由正项级数an收敛可知，a2n收敛，再由

比较法的极限形式知，原级数绝对收敛，故选A。 知识模块：无穷级数

5． 下列命题成立的是( )

A．若=0，则bn收敛时，an收敛。

B．=∞，则an发散时，bn发散。

C．若=1，则中至少有一个发散。

D．若=0，则中至少有一个收敛。

正确答案：C

解析：由于anbn=1,则an=0和bn=0中至少有一个不成立，则级数中至少有

一个发散，故选C。 知识模块：无穷级数

6． 设0≤an＜。(n=1，2，…)，则下列级数中一定收敛的是( )

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：由0≤an＜可知，0≤an2＜，而由收敛及正项级数的比较判别法知，

级数an2收敛，从而(一1)nan2绝对收敛，故选D。 知识模块：无穷级数

7． 级数(α>0，β>0)的敛散性( )

A．仅与β取值有关。

B．仅与α取值有关。

C．与α和β的取值都有关。

D．与α和β的取值都无关。

正确答案：C

解析：由于(1)当01时，级数收敛。(3)当β=1时，原级数为，当α>1时收

敛，当α≤1时发散，故选C。 知识模块：无穷级数

8． 设常数λ>0，且级数an2收敛，则级数( )

A．发散。

B．条件收敛。

C．绝对收敛。

D．敛散性与λ有关。

正确答案：C

解析：取an=，显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对

收敛，故选C。 知识模块：无穷级数

9． 设pn=，n=1，2，…，则下列命题正确的是( )

A．若an条件收敛，则都收敛。

B．若an绝对收敛，则都收敛。

C．若an条件收敛，则敛散性都不定。

D．若an绝对收敛，则敛散性都不定。

正确答案：B

解析：若an绝对收敛，即|an|收敛，由级数绝对收敛的性质知an收敛。而

pn=，再由收敛级数的运算性质知，都收敛，故选B。 知识模块：无穷级数

10． an和bn符合下列哪一个条件可由an发散得出bn发散?( )

A．an≤bn。

B．|an|≤bn。

C．an≤|bn|。

D．|an|≤|bn|。

正确答案：B

解析：反证法。如果bn收敛，由|an|≤bn知，|an|收敛，从而an收敛与题设

矛盾，故选B。 知识模块：无穷级数

11． 若级数an收敛，bn发散，则( )

A．anbn必发散。

B．an2必收敛。

C．bn2必发散。

D．(an+|bn|)必发散。

正确答案：D

解析：由bn发散可知，|bn|必发散，而an收敛，则(an+|bn|)必发散，故选D。

知识模块：无穷级数

12． 如果级数(an+bn)收敛，则级数( )

A．都收敛。

B．都发散。

C．敛散性不同。

D．同时收敛或同时发散。

正确答案：D

解析：由于an=(an+bn)一bn，且(an+bn)收敛，当bn收敛时，an必收敛；而

当bn发散时，an必发散，故选D。 知识模块：无穷级数

13． 设a是常数，则级数( )

A．绝对收敛。

B．条件收敛。

C．发散。

D．敛散性与口的取值有关。

正确答案：C

解析：由于收敛，则收敛，但发散，则发散，故选C。 知识模块：无穷级

数

14． 设(a2n-1+a2n)收敛，则( )

A．an收敛。

B．an发散。

C．an=0。

D．当an＞0时an必收敛。

正确答案：D

解析：当an＞0时，级数[*](a2n-1+a2n)为正项级数，由于该级数收敛，则其

部分和数列[*]=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)有上界，从而可知正项级数[*]an

的部分和数列Sn=a1+[*]a2+…+an有上界，则级数[*]an必收敛，故选D。 知识

模块：无穷级数

15． 已知(一1)n-1an=2，a2n-1=5，则an等于( )

A．3。

B．7。

C．8。

D．9。

正确答案：C

解析：(一1)n-1an=2×5—2=8，故选C。 知识模块：无穷级数

16． 正项级数an收敛是级数an2收敛的( )

A．充要条件。

B．充分条件。

C．必要条件。

D．既非充分条件，又非必要条件。

正确答案：B

解析：由于正项级数an收敛，则an=0。当n充分大时0≤an2≤an，从而ana2

收敛。但an2收敛时，an不一定收敛，如an=。因此，正项级数an收敛是级数

an2收敛的充分条件，故选B。 知识模块：无穷级数

17． 设un=(一1)nln(1+)，则( )

A．都收敛。

B．都发散。

C．un收敛而un2发散。

D．un发散而un2收敛。

正确答案：C

解析：是一个交错级数，而ln(1+)单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知，级

数un收敛。而ln2(当n→∞)，发散，则发散，故选C。 知识模块：无穷级数

18． 设幂级数anxn与bnxn的收敛半径分别为，则幂级数的收敛半径为

( )

A．5。

B．。

C．。

D．。

正确答案：A

解析：设极限都存在，则由题设条件可知 Ra=于是幂级数的收敛半径为

R==5，故选A。 知识模块：无穷级数

填空题

19． 若数列{an}收敛，则级数(an+1一an)___________。

正确答案：收敛

解析：由题干知，级数(an+1一an)的部分和数列为Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…

+(an+1一an)=an+1一a1，因为数列{an}收敛，所以{Sn}收敛。因此，级数(an+1

一an)收敛。 知识模块：无穷级数

20． 设a1=1，=2 021，则级数(an+1一an)的和为___________。

正确答案：2 020

解析：级数(an+1一an)的部分和数列为Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1

一an)=an+1一a1=an+1一1。则一1=2 021—1=2 020。 知识模块：无穷级数

21． 若数列(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…发散，则级数

an___________。

正确答案：发散

解析：根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛。假设an收敛，则

级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收敛，与题设矛盾，故an发散。 知识

模块：无穷级数

22． 幂级数的收敛半径R=___________。

正确答案：√3

解析：首先设an=，则当满足条件的收敛域为___________。

正确答案：[一1，1)

解析：因为=1，则收敛半径R=1。当x=一1时，原级数为收敛；当x=1时，

原级数为发散。因此收敛域为[一l，1)。 知识模块：无穷级数

24． 幂级数的收敛域为___________。

正确答案：[4，6)

解析：幂级数的系数为An=．则有因此，幂级数的收敛半径为R=1，其收敛

区间为(4，6)。当x=4时，原级数为收敛；当x=6时，原级数为发散，故幂级数

的收敛域是[4，6)。 知识模块：无穷级数

25． 无穷级数的收敛区间为___________。

正确答案：(一√2，√2)

解析：在原级数中令=t，原级数可化为，只需讨论的收敛半径和收敛区间即

可。对于级数，由于因此，的收敛半径为1，收敛区间为(一1，1)。由于=t，t

∈(0，1)所以x=±√2t，即原级数的收敛区间为(一√2，√2)。 知识模块：无穷

级数

26． 幂级数的收敛半径R=___________。

正确答案：

解析：设an=，则当满足条件=2x2＜1时，即|x|＜该幂级数是收敛的。因此，

幂级数的收敛半径是 知识模块：无穷级数

27． 无穷级数的收敛区间为___________。

正确答案：

解析：幂级数的系数为an=(1+)n2则因此，幂级数xn的收敛半径为，收敛

区间为。 知识模块：无穷级数

28． 设幂级数anxn的收敛半径为3，则幂级数nan(x一1)n+1的收敛区间

为___________。

正确答案：(一2，4)

解析：根据幂级数的性质对原幂级数逐项求导后，得，其收敛半径不变， 因

此有 nan(x一1)n+1=(x一1)2nan(x一1)n-1， 其收敛区间为|x一1|an(x+2)n

在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数an(x一3)n的收敛域为___________。

正确答案：(1，5]

解析：由题意可知，an(x+2)n的收敛域为(一4，0]，则anxn的收敛域为(一

2，2]。所以 an(x一3)n的收敛域为(1，5]。 知识模块：无穷级数

30． 已知幂级数anxn在x=1处条件收敛，则幂级数an(x一1)n的收敛半

径为___________。

正确答案：1

解析：由题干已知幂级数anxn在x=1处条件收敛，那么x=1为该幂级数收

敛区间的端点， 其收敛半径为l，因此幂级数an(x一1)n收敛半径也为1。 知

识模块：无穷级数

31． 级数的和为___________。

正确答案：

解析：由麦克劳林公式易知ln(1+x)=，则 知识模块：无穷级数

32． 级数的和为___________。

正确答案：

解析：令S(x)=nxn-1，(|x| 知识模块：无穷级数

33． f(x)=在x=一1处的泰勒展开式为___________。

正确答案：(一1)n(x+1)n，(一2＜x＜0)

解析：f(x)= 知识模块：无穷级数


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