2023年12月5日发(作者：数学试卷笔记怎么制作)
试卷类型：A
山东省潍坊市2020-2021学年高二下学期期中考试
数学试题
本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
2021．5
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自已的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
21．若函数f(x)=x+sinx，则f(0)=（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．3
2．正项等比数列an中，a1a3=4，a5=16，则公比为（ ）
A．1 B．−2 C．2 D．4
3．已知函数f(x)=x+A．−2
4，则y=f(x)的极小值点是（ ）
xB．2 C．2 D．1
4．《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年长的儿子的岁数为（ ）
A．32 B．35 C．38 D．40．
5．函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
1
6．已知函数f(x)=2lnx−x+A．(−,1
a在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
x C．(1,+) D．1,+) B．(−,1)
7．已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1+a2+a3=2，a4+a5+a6=6，则S9=（ ）
A．26 B．24 C．18 D．12
8．某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示．
第x天
高度y/cm
1
0
4
4
9
7
16
9
25
11
36
12
49
13
由表格可得y关于x的回归方程为y=（ ）
A．−59x+a，则此回归模型第16天的残差（实际值与预报值之差）为28 D．1
3
7 B．3
7 C．0
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．已知数列an的通项公式为an=A．a6=19 B．a7a6
3n+1,n为奇数,2−2n,n为偶数,
则（ ）
C．S5=22 D．S6S5
10．已知函数f(x)=x，则下列说法正确的是（ ）
xe
B．f(x)的最大值为e
D．3e44e2
A．f(x)在(−,1单调递增
C．f(x)=1有两个不等实根
311．下面是按照一定规律画出的一列“树形图”．
其中，第2个图比第I个图多2个“树枝”，第3个图比第2个图多4个“树枝”，第4个图比第3个图多8个“树枝\"．假设第n个图的树枝数为an，数列an的前n项和Sn，则下列说法正确的是（ ）
A．an=2n−1 B．an+1=an+2n
D．a1+a3+a5++a2n−1=2a2n−n+1
C．Sn=2an−n
2
12．已知函数f(x)=−x+mx+nx+p在32(−,0上是减函數，在0,1是增函数，且f(x1)=f(x2)=f(1)=0，则下列说法正确的是（ ）
A．n=0
B．f(2)−5
2C．x1−x2的最小值为4
D．当x1时f(x)+x−ln(x+1)+10恒成立，则3m2
2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)=1，则lim14．已知数列an的前n项和Sn=n2，则an=______．
15．已知f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f(x)，若f(x)+f(x)0，f(3)=2021，则不等式x→0f(1+x)−f(1)=______．
xexf(x)2021的解集是______．
3e16．某公司为一个高科技项目投入启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造，方能保持原有利润的增长率，则第三年年初该项目的资金为______万元，该公司经过______年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的2倍）的目标．（lg20.30，（第一空2分，第二空3分）
lg30.48）四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在①bn=1；②bn=log2an−3；③bn=n+an，这三个条件中任选一个，补充在下面问log2an+1log2an+2题中，并完成问题的解答．
问题：已知数列an是首项为1的等比数列，且a2+1是a1和a3+1的等差中项．
（1）求数列an的通项公式；
（2）记______，求数列bn的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3
18．（12分）
某省拟出台一个提高老年人福利的政策文件，人社部门的工作人员到甲、乙两市做文件正式出台前的满意度民意测评，随机抽取部分老年人进行问卷调查，得到统计数据如下表．
甲市
乙市
总计
满意
30
40
70
不满意 总计
x
y
30
A
B
100
现从所有被测评的老年人中任选一位，则选到“甲市老年人”的概率为（1）求22列联表中的数据x，y，A，B的值；
1．
2（2）运用独立性检验思想，能否有95%的把握认为满意度与老年人所在的市有关?
n(ad−bc)附：K2=，n=a+b+c+d．
a+bc+da+cb+d()()()()2P(K2k0)
k0
19．（12分）
0．05
3．841
0．010
6．635
0．005
7．879
0．001
10．828
为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据如下。
x（千克）
y（千克）
2
300
4
400
5
400
6
400
8
500
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若r0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求r关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克?
附：相关系数公式r=(x−x)(y−y)iii=1n(x−x)(y−y)2iii=1i=1nn，参考数据：103.16．
2回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b=(x−x)(y−y)iii=1n(x−x)ii=1n2，a=y−bx．
4
20．（12分）
已知函数f(x)=lnx+k−1，kR．
x（1）若k=2，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；
（2）判断函数f(x)是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
设函数f(x)=x，过点B1(4,0)作x轴的垂线交函数f(x)图像于点A1，以A1为切点作函数f(x)图像的切2()线交x轴于点B2，再过B2作x轴的垂线交函数f(x)图像于点A2，以此类推得点An，An+1，…，记点A1，A2，…，An，…的横坐标分别为a1，a2，…，an，…，nN*．
()
（1）证明：an+1=（2）设数列1an，并求an；
2nn(2n−1)a的前n项和为Sx2，若对于任意的nN*，都有24−Sn，求的取值范围．
22．（12分）
已知函数f(x)=xe−x−2x+1．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）实数x1，x2满足f(x1)+x1+2x1=3x2ln(3x2)+1x221x1+lnx1，求的最大值．
3x1x2
5
山东省潍坊市2020-2021学年高二下学期期中考试
数学试题参考答案及评分标准
2021．5
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1-4 CCBB
5-8 ADAD
二、多项选择题（每小题5分，共20分）
9．BC 10．AC 11．BC 12．ABD
三、填空题（每小题5分，共20分）
3) 16．2440 9 13．1 14．2n−1 15．(−，四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（1）设数列an的公比为q，
因为a2+1是a1和a3+1的等差中项，
所以2(a2+1)=a1+a3+1，
2又因为a1=1，所以2(q+1)=2+q，即q−2q=0，
2所以q=2或q=0（舍去），所以an=2n−1；
（2）选择条件①，由（1）知an=2n−1，则bn=1，
n(n+1)所以Tn=111+++
1223n(n+1)111111n=1−+−++−=1−=
223nn+1n+1n+1n所以Tn=．
n+1选择条件②，由（1）知an=2n−1，bn=log2an−3=n−4
当0n4时，an=4−n，Tn3+4−n)n7n−n2(==，
22当n4时，an=4−n,0n4,
n−4,n4,6
1+n−4n2−7n+24，
Tn=3+2+1+0+(n−4)=227n−n2,0n4,2所以Tn=2
n−7n+24,n4,2选择条件③，由（1）知an=2n−1，则bn=n+2n−1，
所以Tn=1+2++n+20+21++2n−1，
1+n)n1−2n(=+2n2+nn=+2−1
1−22n2+nn所以Tn=+2−1．
218．解：（1）设“从所有被问卷调查的老年人中任选一位，选到“甲市老年人”为事件E，
由P(E)=x+301=，解得x=20，
1002所以y=10，A=50，B=50；
100(4020−3010)1002（2）K==4.7623.841，
7030505021所以有95%的把握认为满意度与老年人所在的市有关．
19．解：（1）由已知数据可得x=22+4+5+6+8=5，
5y=所以300+400+400+400+500=400，
5(x−x)(y−y)=(−3)(−100)+(−1)0+00+10+3100=600，
iii=15(x−x)ii=15i52=(−3)+(−1)(−100)5222+02+12+32=25，
(y−y)i=12=+02+02+02+1002=1002，
所以相关系数r=(x−x)(y−y)iii=1(x−x)(y−y)2iii=1i=155=26003=0.95．
251002107
因为r0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）b=(x−x)(y−y)iii=15(x−x)ii=152=600=30，a=400−530=250，
20所以回归方程为y=30x+250．
当x=15时，y=3015+250=700，
即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿由产量的增加量约为700千克．
20．解：（1）函数f(x)定义域为(0,+)，
当k=2时，f(x)=lnx+2−1，
xf(x)=12x−2−=2，
xx2x所以f(1)=−1，f(1)=1，
所以y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y−1=−(x−1)，
即x+y−2=0；
（2）函数f(x)定义城为(0,+)，
()f(x)=1kx−k−2=2，
xxx当k0时f(x)0，y=f(x)在(0,+)单调递增；
此时y=f(x)无极值；
当k0时，x(0,k)，f(x)0；x(k,+)，f(x)0．
所以y=f(x)单调递减区间是(0,k；单调递增区间是k,+)；
所以y=f(x)极小值点是x=k，y=f(x)极小值为f(k)=lnk，无极大值点．
綜上所得，当k0时，此时y=f(x)无极值；
当k0时，y=f(x)极小值为f(k)=lnk，无极大值．
21．解：（1）以点Anan,an(2)为切点的切线方程为y−a2n=2an(x−an)，
8
令y=0得x=11an，即an+1=an
22又因为a1=4，
所以an是以4为首项，1为公比的等比数列，
23−n（2）由题意可知(2n−1)an=(2n−1)2210，
3−n于是Sn=12+32+52++(2n−1)2，①
1Sn=121+320++(2n−3)23−n+(2n−1)22−n，②
2①-②得：
1Sn=4+2(21+20+2−1++23−n)−(2n−1)22−n
21n−121−2−2n−122−n
=4+2()11−2=12−所以
8n+12，
n216n+24
2n16n+24设cn=24−Sn=，
2nSn=24−那么cn+1−cn=16(n+1)+2416n+24−8(2n+1)−=0
2n+12n2n+1所以cn为递减数列，cn的最大值为c1=20，
所以20．
22．解：（1）f(x)=(x+1)ex−2(x+1)=(x+1)ex−2，
()f(x)=0的两根为−1和ln2，
所以当x−1时，f(x)0；
当−1xln2时，f(x)0；
所以y=f(x)的单调增区间为(−,−1和ln2,+)，单调减区间为−1,ln2．
（2）由题意知x1e1=3x2ln(3x2)，
x9
所以x1e1=e因为x2xln(3x2)ln(3x2)，
1x，所以3x2ln(3x2)=x1e10，
3x令h(x)=xe(x0)，
h(x)=(x+1)ex0，
所以h(x)在(0,+)单调递增，
所以x1=ln3x2，x2=1x1e，
3x1x1lnx1+x1ln(x1e)3ln(x1e)
==x1x2x1x2x1ex1令t=x1ex10，
令g(t)=3(1−lnt)3lnt，g(t)=，
2tt所以当t(0,e)，g(1)0，当t(e,+)，g(t)0，
所以g(t)在(0,e)单调递增，在(e,+)单调递减，
所以g(t)max=g(e)=所以
3，
e3lnx1+x1最大值为．
ex1x210
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