2024年3月5日发(作者：辽宁锦州高考数学试卷)
高中数学选修2-3《概率》内容的教学分析
北京九中 宫红霞
一、内容结构
1．内容:
本章知识是在学生已学习了“统计”和“概率”（必修3）两章知识的基础上的进一步深入和扩展，通过本章的学习学生会对离散型随机变量与概率与概率、期望（均值）与方差等概念会有进一步的理解。初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并利用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察分析问题的意识。本章共分为四大节。第一大节主要介绍离散型随机变量及其分布列，了解二点分布与几何分布，并求简单的分布列。学习本章前应先带学生复习回顾随机事件的基本事件空间的概念，在进一步理解随机变量与离散型随机变的意义。第二大节学习条件概率与事件的独立性，首先要让学生区分哪一个是条件，并能正确的利用概率公式；在正确理解互斥事件、独立事件的基础上理解相互独立事件的概念，理解独立重复试验与二项分布之间的关系并能正确运算。第三大节是离散型随机变量的数字特征，通过期望与方差（或标准差）反映随机变量概率分布的性质特征。第四大节介绍自然界最常见并且在理论研究与实际应用中都有重要的一种分布-----正态分布，本节的目的是使学生体会统计知识的实用价值，并使其应用能力和动手能力得到锻炼。
1
2.地位与作用：概率是高中数学中非常重要的基础知识，也是人类必备的常识，通过学习本章知识，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并利用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察分析问题的意识，增强学生学习数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3．本章结构
概 率
随机变量
概率分布 独立性 数字特征
超几何分布二项分布
正态分布
条件概率事件独立性数学期望
方
4.重点、难点
重点：离散型随机变量及其分布列、期望和方差；
难点：对期望和方差的理解和计算，体会它们在实际问题中的应用。
2
差
二、课标要求
1.（2015年高考说明节选）
概率
考试内容
取有限值的离散型随机变量及其分布列
超几何分布
条件概率
事件的独立性
要求层次
A
√
√
√
√
B
√
√
C
√
n次独立重复试验与二项分布
取有限值的离散型随机变量的均值、方差
正态分布
2.知识点细化量表（个人意见）
知识点
2.1.1离散型随机变量 随机变量、
离散型随机变量
离散型随机变量的分布列的概念、
要求
C
2.1.2离散型随机变量离散型随机变量的分布列分布列C
的分布列 的性质
二点分布
2.1.3超几何分布
C（B）
超几何分布的概念、超几何分布的A
应用
2.2.1条件概率 条件概率、事件的交
（或积）
A
2.2.2事件的独立性
相互独立事件、 C（B）
3
相互独立事件的概率公式
2.2.3独立重复试验与二项分布
n次独立重复试验的概念、
n次独立重复试验中恰好发B
生k次的概率、二项分布
离散型随机变量的数学期望
的概念、二点分布的期望、二项分B
2.3.1离散型随机变量布的期望、超几何分布的期望的数学期望 （A）、离散型随机变量的数学期望的意义及应用（C）
2.3.2离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差、标
准差的概念、二点分布的方差、二
项分布的方差、离散型随机变量的B
方差的意义及应用（C）
2.3正态分布 概率密度曲线、正态分布、A
正态曲线及性质
3.内容安排
全章共安排了4个小节，教学约需12课时，具体内容和课时分配如下（仅供参考）：
2．1 离散型随机变量及其分布列(1+1+1) 约3课时
2．2 二项分布及其应用(1+1+2) 约4课时
2．3 离散型随机变量的均值与方差 (1+2) 约3课时
2．4 正态分布 约1课时
小结 约1课时
4. 本章的重点和难点
重点：离散型随机变量及其分布列、期望、方差。
4
难点：对期望、方差的理解和计算，体会它们在实际问题中的应用。
三、概率教学建议
解读课标
1.（1）通过实例，理解所有的概念，避免过分注重形式化的倾向。
这部分内容的每个概念，都必须运用数学和生活中的大量详实事例引证或推理。教学中不应简单从抽象的定义出发，机械地模仿，得出概念。重点是理解“离散型随机变量及其分布列”、“均值”、“方差”的概念。
（2）“随机观念”贯穿于这部分内容的始终。
首先要认识离散型随机变量的分布列对刻划随机现象的重要性；其次掌握超几何分布、二项分布是两个非常重要的应用广泛的概率模型。另外正态分布应用更广泛。通过这些“分布” 的学习，初步学会一种方法（即利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法），形成一种意识（用随机观念观察分析问题的意识）。但“方法” 和“意识”的培养，仍然离不开实例。
2.离散型随机变量及其分布
（1）《课标》要求：在对具体问题的分析中，理解取有限量的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
解读：随机现象的两个基本特点： ① 结果的随机性；② 频率的稳定性。 了解随机现象是指： ① 知道这个随机现象中所有可能的结果； ② 知道每个结果出现的概率。②随机变量：试验结果的集合。
5
了解随机现象的规律就是了解随机变量的分布：（1）随机变量的所有可能取值；（2）随机变量取各个值的概率；一旦了解了上述两点，我们就说这个随机现象的规律清楚了。散型随机变量的分布列具有下列两个性质:1P0i1,2,3,2PPP1.
i12i离散型随机变量的分布列,一般分为三步：一是要确定随机变量的可能取值有哪些;二是分清概率类型,计算取得每一个值时的概率;
参考案例：
例1.高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏。在一个口袋中装有10个红球，20个白球，摸到4个红球的就中一等奖，求获一等奖的概率。
从30个球中摸出5个球的组合数为：CC410120C530
42000.029142506如果令X表示摸出红球的个数，则X服从N=30，M=5，n=10，m=4的超几何分布，那么CCP(Xm)CmnNMmNn
M通过实例，理解超几何分布及其推导过程，并能简单的应用。
例2.将一枚均匀的硬币随机抛掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果（出现正面，不出现反面），出现正面的概率为1，求恰好50次正面的概率为多少？
21P(X50)C0.08。
25010050学生在学习概率时会有一种误解，认为既然出现正面的概率为
6
1，那么抛掷100次硬币出现50次正面向上是必然的，或者这个事2件发生的概率的应该很大。但计算表明这概率只有8%左右。
在具体情境中，理解n次独立重复试验的模型，及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
例3．据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案。
方案一：设备运走，此时花费3800元。
方案二：建一保护栏，需花费2000元。但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费60000元。
方案三：不采取措施，希望不发洪水。此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元。
是比较哪种方法好。
通过实际例子，让学生体会离散型随机变量的期望与方差的意义。期望表示随机变量一切可能值的平均，方差表示随机变量一切可能值的平均集中与离散或稳定与波动的程度，以及这两个特征在实际问题中的应用。
四、近十年高考题目：
（2005年北京卷18）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为求：
，乙每次击中目标的概率.
7
（Ⅰ）甲恰好击中目标2次的概率；
（Ⅱ）乙至少击中目标2次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
（18）解：（Ⅰ）甲恰好击中目标的2次的概率为.
（Ⅱ）乙至少击中目标2次的概率为.
（Ⅲ）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，乙恰击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．
=.
所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.
(2006北京卷18)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过：
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
(Ⅰ)该应聘者用方案一考试通过的概率；
8
(Ⅱ)该应聘者用方案二考试通过的概率．
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，
则P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(C)=0.9．
(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P(A·B·)+P(·B·C)+P(A··C)+P(A·B·C)
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9
=0.03+0.27+0.18+0.27
=0.75．
(Ⅱ)应聘者用方案二考试通过的概率
p2=P(A·B)+P(B·C)+P(A·C)
=×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)
=×1.29
=0.43.
（2007北京卷）18. 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站）.在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的.求：
（Ⅰ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率；
（Ⅱ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率.
解：（Ⅰ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为
9
P==0.1512.
（Ⅱ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为
P===0.01458.
（2008北京卷）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.
*****************************************************************
答案为：
解：
（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么
P（EA）=
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是
（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E，那么
P（E）＝
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是
P（）=1-P(E)=
10
（2009北京卷）某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率.
*****************************************************************
答案为：
分析:第(1)问等价于第一、第二个路口没有遇到红灯而第三个路口遇到.
第(2)问等价于至多两次遇到红灯分三类:0,1,2次.
解:(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为
.
(2)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min为事件B,这名学生在上学路上遇到k次红灯为事件Bk(k=0,1,2).
由题意得
,
,
.
由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”,所以事件B的概率为
11
P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=.
（2010北京卷18）某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p、q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
P
0 1 2 3
a
b
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2)求p，q的值；
(3)求数学期望Eξ.
*****************************************************************
答案为：
解：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1，2,3.由题意知
P(A1)＝，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
1－P(ξ＝0)＝1－.
(2)由题意知
P(ξ＝0)＝P()＝ (1－p)(1－q)＝，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝pq＝.
12
整理得pq＝，p＋q＝1.
由p＞q，可得p＝，q＝.
(3)由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A1)＋P()＋P(A3)＝ (1－p)(1－q)＋p(1－q)＋ (1－p)q＝.
b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.
Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝.
（2011北京卷）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
（1）如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．
*****************************************************************
答案为：
解：（1）当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为
13
方差为.
（2）当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝.
同理可得
所以随机变量Y的分布列为：
Y
P
17 18 19 20 21
EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19.
（2012北京卷）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾．数据统计如下(单位：吨)：
厨余垃圾
可回收物
其他垃圾
“厨余垃圾”箱
400
30
20
“可回收物”箱
100
240
20
“其他垃圾”箱
100
30
60
14
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c＝600，当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．
(求：s＝2［(x1－)+(x2－2)+…+(xn－2)］，其中2为数据x1，x2，…，xn的平均数)
*****************************************************************
答案为：
解：（1）厨余垃圾投放正确的概率约为
．
（2）设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．
事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，
即P()约为，
所以P(A)约为1－0.7＝0.3．
（3）当a＝600，b＝c＝0时，s取得最大值．
2因为＝(a+b+c)＝200，
15
所以s＝2×［(600－200)+(0－200)+(0－200)］＝80 000．
222（2013北京卷）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
*****************************************************************
答案为：
解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．
根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝(i≠j)．
（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
16
（2）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
所以X的分布列为：
X
P
0 1 2
故X的期望EX＝0×＋1×＋2×＝.
（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
（2014北京卷）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率.
（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一
场不超过0.6的概率.
（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明
在这比赛中的命中次数，比较E(X)与x的大小（只需写出结论）
17
18
更多推荐
概率,事件,分布,垃圾,离散
发布评论