2024年3月5日发(作者：中考数学试卷山东聊城市)
二项式定理
知识点一
1．二项式定理
n1n1b＋C2an2b2＋…＋Cranrbr所表示的规律叫做二项式定理． 公式(a＋b)n＝C0na＋Cnann
2、相关概念
－－－(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．
(2)各项的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．
n－rr(3)展开式中的Crb叫做二项展开式的通项，记作：Tr＋1，它表示展开式的第r＋1项．
na122rrnn(4)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C0n＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx＋…＋Cnx
3、展开式具有以下特点
(1)项数：共有n＋1项；
rn12(2)二项式系数：依次为C0n，Cn，Cn，…，Cn，…，Cn；
(3)每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列展开；
(4)通项是第r＋1项．
例题精讲
[例1] (1)用二项式定理展开(2x－35).
2x2－－－nn1n2nrn1(2)化简：C0＋C2－…＋(－1)rCr＋…＋(－1)nCn.
n(x＋1)－Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1) [思路点拨] (1)二项式的指数为5，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
[答案]
(1)(2x－353350(2x)5＋C1(2x)4·(－5(－)＝C)＋…＋C)
5552x22x22x218＝32x5－120x2＋x－4＋7－10.
x8x32xnn1n2nrn1(2)原式＝C0(－1)＋C2(－1)2＋…＋Cr(－1)r＋…＋Cnn(x＋1)＋Cn(x＋1)n(x＋1)n(x＋1)n(－1)＝[(x－－－＋1)＋(－1)]n＝xn.
变式训练
14)的展开式．
x2解：法一：(3x＋)4＝C0＋C2)＋C3)＋C4)
4(3x)＋C4(3x)·4(3x)·(4(3x)(4(xxxxx1．求(3x＋121＝81x2＋108x＋54＋x＋2.
x
1
143x＋141121法二：(3x＋)＝＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋2.
2xxxxx32435462．求C26＋9C6＋9C6＋9C6＋9C6的值．
1235566解：原式＝2(92C6＋93C6＋94C46＋9C6＋9C6)
911611＝2(C06＋9C6＋9C6＋9C6＋9C6＋9C6＋9C6)－2(C6＋9C6)
99111＝2(1＋9)6－2(1＋6×9)＝2(106－55)＝12 345.
999[例2] (1)(x＋18)的展开式中常数项为
2 x
( )
D．105
353535A. B. C.
1684(2)设二项式(x－a6)(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．
x[答案] (1)二项展开式的通项为
1r1r4－r8－r(Tr＋1＝Cr)＝Cr.
8(x)8()x22 x当4－r＝0时，r＝4，所以展开式中的常数项为
1435C4.故选B.
8()＝28(2)由题意得
6r(－Tr＋1＝Cr6x－3ar6-r2，
)＝(－a)rCrx6x44∴A＝(－a)2C26，B＝(－a)C6.
又∵B＝4A，
222∴(－a)4C46＝4(－a)C6，解之得a＝4.
又∵a>0，∴a＝2.
( )
13．在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为
x4．A．10 B．－10 C．40 D．－40
1125－r(－)r＝Cr·25－r×(－1)rx10－3r.当r＝3时含有解析：二项式(2x2－x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(2x)5x23x，其系数为C35·2×(－1)＝－40.
4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝ ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析：二项式(1＋3x)n的展开式的通项是
nrrrTr＋1＝Cr·(3x)r＝Crn1n·3·x.依题意得
－
2
nn－1n－2n－3n－4566C5·3＝C·3，即
nn5！nn－1n－2n－3n－4n－5＝3×(n≥6)，
6！解得n＝7.
135．在(2x－)20的展开式中，系数是有理数的项共有( )
2A．4项
C．6项
B．5项
D．7项
1r233－20－r(－20－r.
解析：Tr＋1＝Cr)＝(－)r·(2)20rCr20(2x)20·x22∵系数为有理数，∴(2)与2r20r3均为有理数，
∴r能被2整除，且20－r能被3整除．
故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20，
∴r＝2,8,14,20.
知识点二
引入： (a＋b)的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
n
二项式系数的性质
－nmm1(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C0＋Cmn＝Cn＝1，Cn＋1＝Cnn.
m(2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即Cn＝Cnn－m.
(3)如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项Tn的二项式系数最大；如果n是奇数，那21么其展开式中间两项Tn1Tn1的二项式系数相等且最大．
221(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n.
nnn112024135即C0.
n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.且Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2－例题精讲
[例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．
3
121[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C22，第2项是C2，第3项是C3，第4项是C3，…，第17项是12C210，第18项是C10，第19项是C11.
12[答案] S19＝(C22＋C2)＋(C3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C10＋C10)＋C11＝(C2＋C3＋C4＋…＋C10)＋(C2＋223C23＋…＋C10＋C11)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C12＝2＋10×9＋220＝274.
2变式训练
1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________．
解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
答案：2n－1
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.
解析：设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，
14则3C13n＝2Cn，
即3n！2n！＝.
13！n－13！14！n－14！解得n＝34.
[例2] 设(1－2x)2012a0a1xa2x2a2012x2012(xR)
(1)求a0a1a2a2012的值．
(2)求a1a3a5a2011的值．
(3)求|a0||a1||a2||a2012|的值．
4
[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．
[答案] (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 012＝(－1)2 012＝1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 012＝32 012.②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 011)＝1－32 012，
1－32 012∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 011＝.
2rrrr(3)∵Tr＋1＝Cr2 012(－2x)＝(－1)·C2 012·(2x)，
∴a2k－1<0(k∈N＋)，a2k>0(k∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 012|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012
＝32 012.
[总结] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项的和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
变式训练
3．1x1x1x的展开式中各项系数的和为
2n
n1 ( )
A．2n1 B．21 C．223nn1nn11 D．22
解析：令x＝1，则22222答案：D
2
27213144．已知12xx)a0a1xa2xa13xa14xa14x14.
(1)求a0a1a2a13a14
(2)求a1a3a5a13
解：(1)令x＝1，
则a0a1a2a13a14＝2＝128.
(2)令x＝－1，
7则a0a1a2a3a13a14＝(2)＝－128.
7 ①
②
①－②得2(a1a3a5a13)＝256，∴a1a3a5a13＝128.
[例3] (10分)已知(x23＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
5
[思路点拨] 根据已知条件求出n，再根据n为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．
[答案] 令x＝1，
则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n，
22nn∴n＝2＝32，n＝5.2 (2分)
(1分)
(1)∵n＝5，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项， (3分)
∴T3＝C25(x3(T4＝C5x23)3(3x2)2＝90x6， (4分)
(5分)
23)2(3x2)3＝270x223.(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，
则由Tk＋1＝Ck5(x－－23)5－k(3x2)k＝3kCk5x104k3， (6分)
k1k13kCkC5，5≥379得kk，∴≤k≤，∴k＝4，＋＋kk223C5≥31C51，
(8分)
即展开式中系数最大的项为
4(T5＝C5x23)(3x2)4＝405x263. (10分)
[总结] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．
变式训练
15．若(x3＋2)n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项是( )
xA．210 B．120 C．461 D．416
解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大，
n＋1＝6，∴n＝10，
23(10Tr＋1＝Cr10x－r)130－5r. (2)r＝Cr10xx∴30－5r＝0.∴r＝6.
6＝210. 答案：A
常数项为C105．已知13x的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
nnn21解：由题意知Cn＋Cnn＋Cn＝121，
12即C0n＋Cn＋Cn＝121，
－－
6
∴1＋n＋nn－1＝121，即n2＋n－240＝0，
2解得n＝15或－16(舍)．
7777∴在(1＋3x)15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T8＝C715(3x)＝C153x，
8888T9＝C815(3x)＝C153x.
课堂运用
一、选择题
1.二项式展开式中的常数项是（ ）
A. 180 B. 90 C. 45 D. 360
2.二项式
A. 84 B. -84 C. 126 D. -126
3.设
A. ﹣2014 B. 2014 C. ﹣2015 D. 2015
4.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5.若对于任意的实数 x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3 ，则 a2 的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
6.在二项式
A. ﹣10 B. 10 C. ﹣5 D. 5
7.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
8.812014
除以100的余数是( )
A. 1 B. 79 C. 21 D. 81
9.
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
除以9的余数为( )
展开式中不含x4项的系数的和为( )
的展开式中，含 x4
的项的系数是（ ）
的展开式中含有常数项为第( )项
，则=（ ）
的展开式中 x3
的系数是（ ）
7
10.二项式
展开式中的常数项是( )
A. 第7项 B. 第8项 C. 第9项 D. 第10项
11.在二项式 的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中 x-2 项的系数为（ ）
A. 1 B. 4 C. 8 D. 16
12.将二项式的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项共有（ ）个
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
13.已知
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
14.
A. -1 B. C. 1 D. 2
15.在
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则 n= （ ）
展开式中x3的系数为10，则实数a等于（ ）
二、填空题
16.设
________.
17.
的展开式的各项系数之和为 M ，二项式系数之和为 N ，若M-N=240 ，则 n ＝的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ________ ．
18. (a+2x+3x2)(1+x)5的展开式中一次项的系数为 -3 ,则 x5 的系数为________
19.已知 的展开式中的常数项为 T ， f(x) 是以 T 为周期的偶函数，且当 时，
f(x)=x ，若在区间 [-1,3] 内，函数 g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数 k 的取值范围是________
8
20.对任意实数 x ，有
则 a3
的值为________.
，
三、解答题
21.求22.在二项式
（1）求展开式中含x3项的系数；
（2）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值.
23.已知(
（1）展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数最大的项．
24.已知
（1）求n的值；
（2）求
25.已知
（1）求m和n的值；
（2）求
展开式中含x2项的系数.
的值
， 且．
＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，求：
的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.
的展开式中:
的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.
9
课堂运用答案解析
一、选择题
1.【答案】 A
【考点】二项式定理
【解析】【解答】二项式
得 r=2所以二项式
【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式通项计算即可.
2.【答案】 B
【考点】二项式系数的性质
展开式的通项为
展开式中的常数项是.故选A．
令
【解析】【解答】由于二项式的通项公式为
展开式中x3的系数是 （−1）3• ,
,令9-2r=3，解得 r=3，∴
故答案为B．
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.
3.【答案】 D
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由题意可得 即为展开式第2015项的系数，再根据通项公式可得第2015项的系数为：
，故选D．
【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.
4.【答案】 B
【考点】二项式定理
【解析】【解答】由二项展开式公式：，当8-2r=0，即r=4时,T5为常数项,所以常数项为第5项.故选B
【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式计算即可.
5.【答案】 B
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为
所以 ，故选择B.
，
【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式的性质计算即可.
6.【答案】 B
10
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由二项式定理知，二项式
的展开式通项为：
，令
.
，得 ，则 的项的系数为：
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式定理的性质计算即可.
7.【答案】 B
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由二项式定理知，
项展开式的各项系数和为展开式中最后一项含x4 ， 其系数为1，令x=1得，此二，故不含 x4项的系数和为1-1=0，故选B.
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式的特征计算即可.
8.【答案】 C
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】
=
= 4，即 除以100的余数为21.
【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式性质分析计算即可.
9.【答案】 B
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】依题意S＝
＋ ×9－ －1＝9(
＋
×98－
＋…＋
×97＋…＋
＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝
)－2.∴ ×98－ ×97＋…＋
×99－ ×98＋…是正整数，∴S被9除的余数为7.选B.
【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式展开性质计算即可.
10.【答案】 C
【考点】二项式定理
【解析】【解答】根据二项式定理可得 的第 项展开式为 ,要使得
11
为常数项,要求
,所以常数项为第9项.
【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理的性质分析计算即可.
11.【答案】 A
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意可得 ，成等差数列，∴ ，解得n=8．故展开式的通项公式为 ，令 ，求得r=8，故该二项式展开式中
项的系数为
，故选：A．
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式性质计算即可.
12.【答案】 A
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】展开式的通项为
∴前三项的系数分别是∴前三项系数成等差数列
∴∴∴当
时,
，
∴，展开式中x 的指数是整数，故共有3个，答案为A.
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据实际问题结合二项式系数的性质计算即可.
13.【答案】 C
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此 ，所以，答案选C.
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质分析计算即可.
14.【答案】 D
【考点】二项式定理
12
【解析】【解答】二项式的展开式的通项解得a=2，答案选D.
，当5-2r=3 时，r=1，系数，【分析】本题主要考查了二项式定理，解决问题的关键是根据二项式定理分析其通项计算即可.
15.【答案】 C
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】因为在 的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：
，即
所以 即 .
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的单调性计算即可.
二、填空题
16.【答案】4
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题设知： ，解得： ，所以答案应填：4.
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式系数的性质计算即可.
17.【答案】40
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意，
为：
，解得： ,所以 的展开式中常数项
所以答案应填：40.
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是二项式系数的性质计算即可.
18.【答案】39
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由题意： ,解得： ，所以，展开式中的系数为
，所以答案应填：39
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是根据二项式性质计算即可.
19.【答案】 \"
13
\"
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】∴
个周期∴区间[-1，3]内，函数
点
的常数项为 ∴f（x）是以2为周期的偶函数∴区间[-1，3]是两有4个零点可转化为f（x）与 有四个交当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意，当k≠0时，∴ ，两函数图象有四个交点，必有
解得 ，故填： ．
【分析】本题主要考查了二项式定理的应用，解决问题的关键是根据二项式定理的性质结合函数性质计算即可.
20.【答案】8
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】
，所以
.
【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是要配成指定形式，再展开
三、解答题
21.【答案】【解答】解：【考点】二项式系数的性质
【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是利用二项式定理的通项公式写出再求出二项式系数与系数.
22.【答案】 （1）【解答】解：展开式第r+1项:
令， 解得r=2，
，，所以二项式系数为，系数为.
∴展开式中含x3项的系数为
（2）【解答】解：∴第3k项的二项式系数为
∴
， 第k+2项的二项式系数
故3k-1=k+1或3k-1+k+1=12 解得k=1或k=3
14
【考点】二项式系数的性质
【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出k 的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第3k项和第k+2项的二项式系数相等，表示出一个关于k的方程，解方程即可．
23.【答案】 （1）解：令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n ，
∴22n－2n＝992，n＝5
∴n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝ C52 (
(
（2）解：设展开式中第r＋1项系数最大，
则Tr＋1＝C5r
( )5r(3x2)r＝3r
C5r－)3(3x2)2＝90x6 ， T4＝ C53
)2(3x2)3＝
，
∴ ,则，∴r＝4，
)(3x2)4＝405 . 即展开式中第5项系数最大，T5＝ C54
(
【考点】二项式系数的性质
【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质，解决问题的关键是（1）利用赋值法求出各项系数和，与二项式系数和求出 值，利用二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（2）设出展开式中系数最大的项，利用
进行求解即可.
24.【答案】 （1）【解答】解：由已知得：
由于
，
, 所以
（2）【解答】解：当x=1时，
当x=0时，所以，
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
15
【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是：（1）首先注意等式 中n的取值应满足： 且n为正整数，其次是公式和的准确使用，将已知等式转化为n的方程，解此方程即得；（2）应用赋值法：注意观察已知二项式及右边展开式，由于要求后就只要求出a0的值来即可，因此需令x=0，得
25.【答案】 （1）【解答】解：由题意,r=3，所以
（2）【解答】解：， 所以展开式中含 x2项的系数为
．
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【分析】本题主要考查了二项式系数的性质；二项式定理的应用，解决问题的关键是（1）二项式系数之和为： ， 令 易求得n，其次利用二项展开式的通项公式中令r=3，展开式中求特定项（含x2 项）展开式中的x2项的系数乘，=， 所以m=2
， 则n=5，由通项公式， 则 ， 所以首先令x=1,得， 从而得结果
；然易求得m；（2）在前小题已求得的m,n的基础上，要求
的系数，只需把两个二项式展开，对于展开式中的常数项与
一次项系数与其一次项系数乘，二次项系数与其常数项乘，再把所得值相加即为所求.
课后作业
一、选择题
1.二项式
A. 5 B. 16 C. 80 D.
展开式中 的系数为（ ）
2.在
的展开式中，含 的项的系数是（ ）
16
A. 60 B. 160 C. 180 D. 240
3.
展开式的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（ ）
A. B. C.
，那么
D.
的值为（ ）
或
4.设
A.
5.
B.
的展开式中含
C.
项的系数为（ ）
D.
A. B. C. D.
6.的展开式中， 的系数为（ ）
C. 60 D.
A. 15 B.
7.A.
8.
的展开式中常数项为（ ）
B. C. D.
，且
，则展开式中
的展开式中，各项系数之和为 ，各项的二项式系数之和为
常数项为（ ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
二、填空题
9.若
10.在
的展开式中第三项与第五项的系数之比为
的展开式中，
，则展开式中常数项是________.
项的系数为________．（结果用数值表示）
11.二项式
________项．
的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式中有理项有三、解答题
12.已知在 的展开式中，第6项为常数项．
17
（1）求 ；
（2）求含 项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
13.已知二项式 .
（1）若它的二项式系数之和为 .
①求展开式中二项式系数最大的项；
②求展开式中系数最大的项；
（2）若
14.已知在
（1）求展开式中 的系数；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求
的值.
，求二项式的值被 除的余数.
的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∴1．
18
课后作业答案解析
1.【答案】C
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】二项展开式的通项公式为
为 .
，则当 时，其展开式中的 的系数故答案为：C．
【分析】先求出二项的展开式的通项，然后令x的指数为1，求出r，从而可求出x的系数．
2.【答案】D
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】
，则
展开式的通项为
，则含 的项的系数为 .
，令
故答案为：D．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得含x7项的系数．
3.【答案】A
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】令 ，可得各项系数的之和为 ，则 ，解得 ，中间一项的系数最大，则 ，
故答案为：A.
【分析】令x=1，可求出展开式中的各项系数之和，通过各项系数之和大于8，小于32由已知求出n，即可求解中间项系数最大．
4.【答案】B
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】
∴
时，
， ，∴
； 时，
，
，故答案为：B.
【分析】利用展开式，分别令x=1与-1，两式相加或相减可得结论．
5.【答案】A
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】∴
含 项的系数为 ．
，故展开式中故答案为：A.
【分析】把（1+x）5
按照二项式定理展开，可得展开式中含x3项的系数．
19
6.【答案】C
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 ，系数为 .
故答案为：C．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，利用展开式中x4y2 ， 即可求出对应的系数．
7.【答案】B
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【解答】因为
，
故 展开式中常数项为 ，
常数项为 ，
中常数项为 ，故答案为：B.
【分析】把所给的三项式变为二项式，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中常数项．
8.【答案】B
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由二项展开式的性质，可得 ，所以 ，所以 .
展开式的通项为
，
，令 可得 ，常数项为
故答案为：B.
【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．
9.【答案】
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 的展开式中第三项的系数为 ，第五项的系数为 ，由题意有 ，解得 .
得
的展开式的通项为
，所以展开式的常数项为
，由
.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中第三项与第五项的系数，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．
10.【答案】
【考点】二项式定理的应用
【解析】【解答】 ，令 ，得 ， ，
20
的展开式的通项为 ，则 项的系数为 .【分析】先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于4，求得r、m的值，即可求得x4项的系数．
11.【答案】3
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【解答】由题意可得
即 ，化简可得
成等差数列，
，
解得n=8，或n=1（舍去）．二项式
， 为整数，可得r=0，4，8，
的展开式的通项公式为
故此展开式中有理项的项数是3.
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，利用等差数列得到关于n的等式，求出n的值，将n的值代入通项，令x的指数为整数，得到r的值，得到展开式中有理项的项数．
12.【答案】 （1）解：
又第6项为常数项，则当r=5时，
（2）解：由（1）可得，
所以含x2项的系数为
（3）解：由（1）可得，
5，8，则展开式中的有理项分别为
的展开式的通项为
，即
，令
=0，可得n=10.
，可得r=2，
= ，，若Tr+1为有理项，则
， ，
，且0≤r≤10，所以r=2，【考点】二项式系数的性质
【解析】【分析】（1）利用通项公式即可得出．
（2）根据通项公式，由题意得x的指数是整数,通过取值即可得出．
13.【答案】 （1）解：
①二项式系数最大的项为第 项，
.
，通项为 .
②
则展开式中系数最大的项为第
，
项，
21
（2）解：
转化为 被 除的余数， ，即余数为
，
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为2n=128 求得n的值，可得二项式系数最大的项为第四项和第五项，利用二项展开式的通项公式求出这2项．
（2）假设第r+1项的系数最大，列出不等式组求得r的值，可得结论．
14.【答案】 （1）解：由题意得
通项为
于是系数为
，令
，得
，解得
，
．
（2）解：设第 项系数的绝对值最大，则
解得 ，于是 只能为6，所以系数绝对值最大的项为
（3）解：原式
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值．
（2）设出第r+1项为系数的绝对值最大的项，即可列出关于r的不等式，解得即可，
（3）利用二项式定理求得结果．
22
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