2024年4月16日发(作者：汉中中学高一数学试卷)
山东省滨州市北镇中学2023-2024学年高一上学期第一届
高中学科素养知识竞赛数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1
．设有下面四个命题：
p
1
：
∃
x∈R
，
x
2
+1
＜
0
；
p
2
：
∀
x∈R
，
x+|x|
＞
0
；
p
3
：
∀
x∈Z
，
|x|
∈N
；
p
4
：
∃
x∈R
，
x
2
﹣2x+3
＝
0.
其中真命题为（
）
A
．
p
1
B
．
p
2
C
．
p
3
D
．
p
4
2
．对于集合
A
，
B
，我们把集合
{
x|xÎA
且
xÏB
}
叫做集合
A
与
B
的差集，记作
A-B
.
A-B
若
A=xlnx£2ln3
，
B=
{
xx³1
}
，则为（ ）
{}
A
．
xx<1
{}
B
．
x0 {} C ． x1£x<3 {} D ． x1£x£3 {} 3 ．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 ( 单位： m/s ) 可以表示为 v= 1Q ，其中 Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数 . 当一条鲑 log 3 2100 鱼以 1.5m/s 的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（ ） A ． 2500B ． 2600C ． 2700D ． 2800 4 ． 2023 年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和 幸福的象征，寓意福寿安康 . 故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景 的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约 176cm ，横约 95cm ，其挂在墙壁上的 试卷第11页，共33页 最低点 B 离地面 194cm. 小南身高 160cm （头顶距眼睛的距离为 10cm ），为使观赏视角 q 最大，小南离墙距离 S 应为（ ） A ． 402cm B ． 76cmC ． 94cm a D ． 445cm x 5 ．若函数 f ( x ) = 2 2 - 2ax + 3 - 2 的定义域为 R ，则实数的取值范围为（ ） A ． [ -1,0 ] ù B ． é ë - 2,2 û C ． 0,2 ù û ( D ． R 6 ．已知 cos30 o =a ，则 sin240 o tan150 o 的值为（ ） A ． C ． B ． D ． 1+a 2 -1-a 2 1-a 2 -1+a 2 7 ．已知 53 3 =148877,5 7 =78125 ，设 a=log2,b=log3,c=log5 ，则 a,b,c 的大小关 51453 系为（ ） A ． C ． a>c>b B ． a>b>c D ． b>c>a b>a>c 8 ．设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，满足 f ( x+1 ) =f ( 1-x ) ，当 xÎ [ 0,1 ] 时， f ( x ) = 3 x - 1 ，若方程 f ( x ) =log a ( x +2 ) 在 ( 0,6 ) 上有四个不同的实数解，则 a 的取值 试卷第21页，共33页 范围是（ ） 1 ö A ． æ 0, ç÷ è 3 ø æ 1 ö ç 0, ÷ È ( 3, +¥ ) è 3 ø B ． ( 7,+ ¥ ) 1 ö C ． æ 0, ç÷ È è 3 ø ( 7, + ¥ ) D ． 二、多选题 9 ．下列说法中正确的有（ ） A ．一元二次方程 ax 2 +5x+4=0 有一个正根和一个负根的充分必要条件是 a< 0 a,b,c B ．若实数 满足 a ，则 c - a >1 c - b C ．已知 a>b ，且 ab=18 ，则 a + b - 1 的最小值为 10 a - b 22 D ．已知 64 39 2 £h£ ，则 h 2 ( 6-h ) 的最小值是 3 22 3 10 ．已知 f ( x ) 是奇函数， g ( x ) 是偶函数，下列说法正确的是（ ） A ． F ( x ) =f ( x ) +g ( x ) 是偶函数 C ． F ( x ) =f ( g ( x ) ) 为偶函数 B ． F ( x ) =f ( x ) g ( x ) 为奇函数 D ． F ( x ) =g ( f ( x ) ) 为偶函数 ，若函数 f ( x ) 在区间 11 ．设函数 f ( x ) =cos ( w x+ j ) ( w , j 为常数， w >0,0π)< j < é 7ππ ù 上为单调函数，且 - f ê - 24 , 24 ú ëû （ ） æ 7ππ5π ö ç - 24 ÷ = èø æöæö f ç÷ = f ç÷ ，则下列说法中正确的是 è 24 øè 24 ø π ö f ( x ) 图象的一个对称中心 A ．点 æ ç - ,0 ÷ 是函数 è 8 ø π B ．函数 f ( x ) 的最小正周期为 2 试卷第31页，共33页 C ．直线 x=- 3π 是函数 f ( x ) 图象的一条对称轴 8 3π D ．函数 f ( x ) 的图象可由函数 y=cos ( w x ) 向左平移个单位长度得到 8 12 ．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上 转，可以从高处俯瞰四周景色 . 某摩天轮最高点距离地面高度为 60 米，转盘直径为 50 米，设置有 24 个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为 0 号座舱，距地面最远的座 舱为 12 号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐 2 号舱位，乙坐 6 号舱位，开启后 按逆时针方向匀速旋转，开启后的第 8 分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度 相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 H 米，下列说法正确的是（ ） H A ． ππ ö 关于的函数解析式为 H = 25sin æ ç t - ÷ + 35 è 126 ø t B ．开启后第 20 分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C ．开启后第 10 分钟游客乙距离地面 47.5 米 D ．开启后第 10 分钟至第 18 分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 三、填空题 ππ öæö ，且 ( 1+cos2 a )( 1+sin b ) =sin2 a cos b ，则 4 a -2 b = .13 ．若 a Î æ 0,, b Î 0, ç÷ç÷ è 2 øè 2 ø 14 ．已知函数 f ( x ) =ln ( 1+x 2 +x+ax+4 ( aÎR ) ,f ( ln ( log 2 e ) ) =5 ，则 f ( ln ( ln2 ) ) 的 ) 值为 . 15 ．著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微 . 数形结合百般好， 隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决 . 请你运用数 形结合的思想，得出函数 y=x 2 -4x+53-x 2 -8x+25 的最大值为 æ 3π ö - 2cosπ1( w x ç÷ + è 2 ø . 16 ．已知函数 f ( x ) = 23sinπsin ( w x - ) 2 0) ( + w x ) - w > ，若 f ( x ) 试卷第41页，共33页 w [ 1,2 ] π 在区间 é 0, ù 上的值域为，则的取值范围是 . ê ë 3 ú û 四、解答题 17 ．（ 1 ）已知 x=4 log 6 x -9 log 6 x log 4 ylog 4 y y y=9+6 ，，求的值； x （ 2 ）若 x + x 1 2 - 1 2 3 - 3 x + x 的值 . = 3 ，求 - 1 x + x + 7 18 ．已知函数 f ( x ) = log x ( a> 0 ，且 a¹1) 与函数 g ( x ) 互为反函数 . a (1) 若 f ( x ) 的图象过点 ( 4,2 ) ，解不等式： f3x 2 -2x-4>fx 2 -3x+2 ； ()() (2) 在（ 1 ）的条件下，若对于任意 xÎ [ 1,+¥ ] ，都有 成立，求实数 m 的取值范围 . g ( 1+2x ) +g ( 1-2x ) +m é ë g ( 1+x ) +g ( 1-x ) ù û ³4m x<0 1 19 ．若 f ( x ) 是定义在 ( - ¥ ,0 ) U ( 0,+¥ ) 上的偶函数，当时， f ( x ) =- x + . x (1) 求 f ( x ) 的解析式； (2) 讨论 f ( x ) 在 ( 1,2 ) 上的单调性，并用定义证明 . 20 ．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小张同学大学毕业后，决定 利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，每月生产某大型电子产品 x 件，每件产 品售价为 12 万元，需投入月固定成本为 6 万元，另投入流动成本为 C ( x ) 万元，且 ì 9x + 1,0 < x £ 6 ï ．经市场分析，生产的产品当月能全部售完．（注：月利润 C ( x ) = í 49 13x +- 36,x > 6 ï x î = 月销售收入－固定成本－流动成本） 试卷第51页，共33页 (1) 写出月利润 P ( x ) （万元）关于月产量 x （件）的函数解析式； (2) 求月产量为多少件时，小张在这一产品的生产中所获利润最大，并计算出最大利润 值． 21 ．已知函数 f ( x ) = ì log 2 x,0 < x < 2 . í 2 î x - 6x + 9,x ³ 2 (1) 求 f ( 4 ) 的值； (2) 若关于 x 的方程 f 2 ( x ) -2tf ( x ) -f ( x ) +t 2 +t=0 ( t£0 ) 有且仅有四个不相等的实数解， 求 t 的取值范围 . 22 ．已知函数 f ( x ) 和 g ( x ) ，定义集合 M= { x∣f ( x ) ( x ) } . f ( x ) g ( x ) (1) 设 f ( x ) =x 2 +2x+3,g ( x ) =-x+2 ，求 M ； f ( x ) g ( x ) (2) 设 f ( x ) =ax 2 +2ax-4,g ( x ) =2x ( x+2 ) ，当 M=R 时，求 a 的取值范围； f ( x ) g ( x ) (3) 设 f ( x ) = 2x - b,g ( x ) = 围 . b x + 4b MÇM g ( x ) h ( x ) ¹Æ ，求的取值范 ,h ( x ) = 2 ，若 f ( x ) h ( x ) x - 1 试卷第61页，共33页 参考答案： 1 ． C 【分析】根据含量词的命题，分析其真假，即可求解 . 【详解】对于 p 1 ：由于 x+1>0 2 ，故 ∃ x∈R ， x 2 +1 ＜ 0 不成立，故该命题为假命题； p 2 ： ∀ x∈R ，当 x ＜ 0 时， x+|x| ＝ 0 ，故该命题为假命题； p 3 ： ∀ x∈Z ， |x| 是非负整数，故 |x|∈N ，该命题为真命题； p 4 ： ∃ x∈R ，由于 x 2 ﹣2x+3 ＝ 0 中△＝ 4﹣12 ＝﹣ 8 ＜ 0 ，故不存在实根，故该命题为假命题； 故选： C 2 ． B 【解析】解对数不等式得集合 A ，现根据新定义计算． A-B={x|0 【详解】 A=xlnx£2ln3={x|0 ，∴． 故选： B ． 【点睛】思路点睛：本题考查集合的新定义，解题时关键是正确理解新定义运算，确定集 {} 合 A 是解题基础． A-B 是由集合 A 中不属于集合 B 的元素所组成，由此可得结论． 3 ． B 答案第11页，共22页 【解析】根据题中函数关系式，令 v=0 和 1.5 ，分别求出对应的 Q ，即可得出结果 . 【详解】因为鲑鱼的游速 ( 单位： m/s ) 可以表示为 v= 1Q ，其中 Q 表示鲑鱼的耗氧量 log 3 2100 的单位数， 当一条鲑鱼静止时， v=0 Q 1Q Q=100 ，此时 0 = log 3 1 ，则 1 = 1 ，即耗氧量为 1 ； 100 2100 当一条鲑鱼以 1.5m/s 的速度游动时， v=1.5 ，此时 1.5 = 1QQ ，所以 log 3 log 3 = 3 ，则 2100100 Q=2700 Q ， = 27 ，即耗氧量为 100 因此当一条鲑鱼以 1.5m/s 的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为 2700-100=2600 . 故选： B. 4 ． D 【分析】由题意只需 tan q 最大，设小南眼睛所在的位置点为点 D ，过点 D 做直线 AB 的垂 线，垂足为 C ，求出 BC ， CD ，设 ÐADC= a ,ÐBDC= b ，则 q = a - b ，求出 tan a = AB + BCBC 176 tan b = tan q = tan ( a - b ) = 9680 ，利用基本不等式求解 CD ， CD ，代入 S+ S 即可 . 【详解】由题意可得 q 为锐角，故要使 q 最大，只需 tan q 最大， 答案第21页，共22页 设小南眼睛所在的位置点为点 D ，过点 D 做直线 AB 的垂线，垂足为 O ，如图， 则依题意可得 BC=194- ( 160-10 ) =44 （ cm ）， CD=S （ cm ）， S>0 ， 设 ÐADC= a ,ÐBDC= b ，则 q = a - b ，且 tan a = AB + BC176 + 44220 ， == CDSS tan b = BC44 ， = CDS 22044 - tan a - tan b SS = 176S = 176 故 tan q = tan ( a - b ) = 1 + tan a tan b = 22044 S 2 + 9680 9680 1 + S + SSS £ 9680 S=445 17625 S= = 时等号成立， S 即 5 ，当且仅当 9680 2S S 故使观赏视角 q 最大，小南离墙距离 S 应为 445 cm. 故选： D. 5 ． B 【分析】由题意可得 2 x 2 - 2ax + 3 - 2 ³ 0 对任意 xÎR 恒成立，结合指数函数单调性可得 x 2 -2ax+2³0 对任意 xÎR 恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解 . 答案第31页，共22页 【详解】由题意可得 2 x 2 - 2ax + 3 - 2 ³ 0 对任意 xÎR 恒成立， 即 2 x 2 - 2ax + 3 ³ 2 ，且 y=2 x 在 R 内单调递增， 可得 x 2 -2ax+3³1 ，即 x 2 -2ax+2³0 对任意 xÎR 恒成立， 则 D=4a 2 -8£0 ，解得 -2£a£2 ， ù 所以实数的取值范围为 é ë - 2,2 û . 故选： B. 6 ． B 【分析】根据题意利用诱导公式结合同角三角关系运算求解 . 【详解】因为 sin240 o tan150 o =sin ( 270 o -30 o ) tan ( 180 o -30 o ) = ( -cos30 o )( -tan30 o ) =sin30 o ， 且 cos30 o =a ， sin30 o >0 ， 所以 sin240 o tan150 o =sin30 o =1-cos 2 30 o =1-a 2 . 故选： B. 7 ． B bc a,b 77 14 = 3,53 = 5 ，再【分析】比较 a,b 的大小，即可比较 的大小，根据题中条件可得 33 a 根据 (14 b ) 3 = 27 > (53 c ) 2 = 25 ，可得 (14 3 ) b > (53 2 ) c ，两边取对数即可比较 b,c 的大小，进而 得到答案 . 【详解】由 a=log 5 2,b=log 14 3,c=log 53 5 ， 可得 5 a = 2,14 b = 3,53 c = 5 ， 77 则 a=log 5 2=log 125 128>1 ， 33 答案第41页，共22页 77 b=log 14 3=log 2744 2187<1 ， 33 故 a>b ， 又 (14 b ) 3 = 27 > (53 c ) 2 = 25 ， 所以 (14 3 ) b > (53 2 ) c ，两边取以 10 为底的对数， clg53 2 clg2809 blg14>clg53,b>=>c ， 3 lg14lg2744 32 综上可知， a>b>c ， 故选 :B. 8 ． B 【分析】由题意可推出函数的对称轴及周期性，作出函数的图象，数形结合求解 . 【详解】因为 f ( x+1 ) =f ( 1-x ) ，所以函数 f(x) 图象关于 x=1 对称，且 f(x+2)=f(-x) ， 又 f(x) 为奇函数，所以 f(-x)=-f(x) ，故 f(x+2)=f(-x)=-f(x) ， 即可得 f(x+4)=f(x) ，所以 f(x) 的周期为 4 ， 因为当 xÎ [ 0,1 ] 时， f ( x ) = 3 x - 1 ，根据奇函数及函数图象关于 x=1 成轴对称，利用函数周 期为 4 ， 作出函数 y=f(x) 与 y=log a (x+2) 图象，如图， 当 a>1 时，方程 f ( x ) =log ( x +2 ) 在 ( 0,6 ) 上有四个不同的实数解， a 答案第51页，共22页 则 y=f(x) 与 y= log a ( x+ 2) 图象有四个交点， 需满足 log a (5 + 2) < 2 ，即 log7 2 ，解得 a>7 ； aa 当 0 时，由图象可知， y=f(x) 与 y= log a ( x+ 2) 图象在 ( 0,6 ) 至多有 2 个交点，不符合 题意 . 综上， a>7 . 故选： B 9 ． AB 【分析】利用根的分布与充要条件判断 A ，利用不等式的性质判断 B ，利用基本不等式判 断 C ，举反例排除 D ，从而得解 . 【详解】当一元二次方程 ax 2 +5x+4=0 有一个正根和一个负根时，设两根分别为 x ， x ， 12 a< 0 ì 25 - 16a > 0 ï 故 í 4 ，解得， < 0 ï î a 反之亦成立，故 A 正确； Qa ， -a>-b ， c-b>0 ，则 c-a>c-b>0 ， c - a >1 ，故 B 正确； c - b 故 因为 a>b ， ab=18 ， 2222 a + ba + b - 2ab + 3636 36 所以 - 1 =- 1 = (a - b) +- 1 ³ 2(a - b) ×- 1 = 11 ， a - ba - ba - b a - b 当且仅当 a - b = a-b=6 36 ，即时取等号，故 C 错误； a - b 因为 39 £h£ ， 22 答案第61页，共22页 当 h=2 223264 时， h 2 ( 6-h ) =´2 2 ´ ( 6-2 ) = ，故 D 错误 < 3333 故选： AB. 10 ． BCD 【分析】举反例判断 A ，根据函数的奇偶性的定义判断 BCD. 【详解】 f ( x ) 是奇函数， g ( x ) 是偶函数， 对于 A ，若 f ( x ) =x ， g ( x ) =x 2 ，满足 f ( x ) 是奇函数， g ( x ) 是偶函数， 2 1 Fx=fx+gx=x+x ()()() 但是，该二次函数图象关于直线 x=- 对称， 2 此时函数 F ( x ) =f ( x ) +g ( x ) 不是偶函数，错误； 对于 B ， F ( x ) =f ( x ) g ( x ) ，因为 F(-x)=f(-x)g(-x)=-f ( x ) g ( x ) =-F ( x ) ， 所以 F ( x ) =f ( x ) g ( x ) 为奇函数，正确； 对于 C ， F ( x ) =f ( g ( x ) ) ，因为 F ( -x ) =f ( g ( -x ) ) =f ( g ( x ) ) =F ( x ) ， 所以 F ( x ) =f ( g ( x ) ) 为偶函数，正确； 对于 D ， F ( x ) =g ( f ( x ) ) ，因为 F ( x ) =g ( f ( -x ) ) =g ( -f ( x ) ) =g ( f ( x ) ) =F ( x ) ， 所以 F ( x ) =g ( f ( x ) ) 为偶函数，正确； 故选： BCD 11 ． ACD 7ππ ù 【分析】根据 f ( x ) 在区间 é - ê 24 , 24 ú 上的单调性以及 - f ëû æ 7ππ5π ö ç - ÷ = è 24 ø æöæö f ç÷ = f ç÷ ，求得 è 24 øè 24 ø f ( x ) 的对称中心、对称轴、最小正周期，再三角函数图象变换的知识确定正确选项 . 答案第71页，共22页 7ππ ù 【详解】对于 B ，因为函数 f ( x ) 在区间 é - ê 24 , 24 ú 上为单调函数， ëû 所以 Tπ7ππ2π æö ，故 B 错误； ³- ç - ÷ = ,T ³ 224 è 24 ø 33 7ππ f ( x ) æ 7ππ öæö -+ - f ç - ÷ = f ç÷ 对于 A ，因为的零点， è 24 øè 24 ø ，所以 2424 =- π 是 28 π ö f ( x ) 所以 æ 图象的一个对称中心，故 A 正确； ç - ,0 ÷ 是 è 8 ø π5π f ( x ) æ π5π öæö + f ç÷ = f ç÷ 对于 C ，因为 è 24 ø 的一条对称轴， è 24 ø ，所以 x = 2424 = π 是 28 所以 kT + π Tπππ æö ， =- ç - ÷ = ,k Î Z ，则 T = 4k + 1 48 è 8 ø 4 因为 T³ 2π k Î Z T=π ， ，所以， 3 2π + = 2 ，则 f ( x ) =cos ( 2xφ T 又 w >0 ，故 w = ) ， 所以 x= ππ3π fx -=- 是 () 图象的一条对称轴，故 C 正确； 828 对于 D ，因为 x= π 是 f ( x ) 的一条对称轴， 8 0π< j < ππ5π ππ öæö 所以 f æ ，，， <+ j < = cos + j =± 1 ç÷ç÷ 444 84 èøèø 所以 π3π ， + j = π ，解得 j = 4 4 答案第81页，共22页
更多推荐
函数,图象,鲑鱼,定义,利用,地面
发布评论