压轴题型03 抽象函数问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练_百

2024年3月26日发(作者：河南初中数学试卷讲解老师)

压轴题03抽象函数问题

抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽

象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解

析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性

强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

热

○

点

○

题

○

型

1

○

定义域问题

解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号

内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。

热

○

点

○

题

○

型

2求值问题

○

通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技

巧。

热

○

点

○

题

○

型

3

值域问题

○

热

○

点

○

题

○

型

4解析式问题

○

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一

个变量，是实现这种转化的重要策略。

热

○

点

○

题

○

型

5单调性与奇偶性问题

○

热

○

点

○

题

○

型6周期性与对称性问题

○

热

○

点

○

题

○

型

7

○

几类抽象函数解法

(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）

2.赋值法（令

x0

或1，求出

f(0)

或

f(1)

、令

yx

或

yx

等

等）

（2）几种抽象函数模型：

1.正比例函数：

f(x)kx(k0)

——————————

f(xy)f(x)f(y)

；

2.幂函数：

f(x)x

2

——————————————

f(xy)f(x)f(y)

，

xf

(

x

)

；

f

()



yf

(

y

)

注：反比例函数：

f

(

x

)

x



1

一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模

型写成反比例函数模型。

3.指数函数：

f(x)a

x

———————————

f(xy)f(x)f(y)

，

f

(

x

)

f

(

xy

)



f

(

y

)

4.对数函数：

f

(

x

)log

a

x

————————

f(xy)f(x)f(y)

，

x

f

()



f(x)



f(y)

y

f

(

x

)



f

(

y

)

5.三角函数：

f(x)tanx

————————————

f

(

x



y

)



1



f

(

x

)

f

(

y

)

6.余弦函数：

f(x)cosx

———————

f(xy)f(xy)2f(x)f(y)

一、单选题

1

1

．已知定义在



0,





上的函数

f



x



满足

f



xy



f



x



f



y





0

，若一组平行线

2

xx

i



i

1,2,...,

n



分别与

yf



x



图象的交点为



x

1

,

y

1



，



x

2

,

y

2



，

...

，



x

n

,

y

n



,

且



x

n



i



1

x

i







2

f



1







，其中

i1,2,...,n

，则

i



1

2

n

y

i



n

A

．

1

B

．

2

1

C

．

2n

D

．

n

2

2

．

f(x)

是定义在

R

上的函数，

f(0)2

，且对任意

xR

，满足

f(x2)f(x)2

，

f(x6)f(x)6

，则

f(2016)