2024年4月11日发(作者：高考真题浙江数学试卷)
吉林省白山市2024届高三一模数学试题
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
一、单选题
1．设集合
Axyx2
，
B
{
x
|
A．
2,4
B．
2,4
）
C
．
2D
．
2
）
x
0}
，则
AB
（
x
4
C．
2,4
）
D．
2
．复数
zi2i
2
3i
3
，则
z
的虚部为（
A
．
2i
B
．
2i
r
b3,1
3．已知
a
2,2
，
，若
a
在向量
b
上的投影为
c
，则向量
c
（
31
A．
,
55
62
B．
,
55
31
C．
,
55
62
D．
,
55
4
．
2023
年
12
月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做
《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、
两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男
1
女，则总的
站排方法共有（
A
．
300
）
B
．
432C
．
600
）
C
．充要条件
D
．
864
5
．
“
1b1
”
是
“
方程
1x
2
xb
有唯一实根
”
的（
A
．充分不必要条件
D
．非充分非必要条件
B
．必要不充分条件
6
．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，
2
22
ab
a
b
ab
其表述如下：设正数
a
，
b
，
x
，
y
，满足
，当且仅当
时，等号
xy
xyx
y
成立．则函数
f
x
A
．
16
316
1
0
x
的最小值为（
x
1
3
x
3
B
．
25C
．
36
）
D
．
49
7
．正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为
2
的正八面体中，
则有（）
试卷第1页，共6页
A
．直线
AE
与
CF
是异面直线
C．该几何体的体积为
26
3
4
2
3
B
．平面
ABF
平面
ABE
D．平面
ABE
与平面
DCF
间的距离为
x
2
y
2
8．不与坐标轴垂直的直线
l
过点
N
x
0
,0
，
x
0
0
，椭圆
C
:
2
2
1
a
b
0
上存在
ab
两点
A,B
关于
l
对称，线段
AB
的中点
M
的坐标为
x
1
,
y
1
．若
x
1
2x
0
，则
C
的离心率
为（）
3
3
A．B．
2
1
C．
2
2
D．
3
2
二、多选题
9
．
2023
年
10
月
3
日第
19
届杭州亚运会跳水女子
10
米跳台迎来决赛，最终全红婵以
总分
438.20
分夺冠．已知她在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等，记为
x
i
i
1,2,3,4,5,6,7
，平均数为
x
，方差为
m
．若7个成绩中，去掉一个最低分和一个
最高分，剩余5个成绩的平均值为
y
，方差为
n
，则（
A．
y
一定大于
x
B．
y
可能等于
x
）
D．
m
可能等于
n
）
D．
S
15
60
C．
m
一定大于
n
a
8
，
15
，则（
96
k
1
a
k
a
k
1
5
10．公差不为零的等差数列
a
n
满足
a
6
A．
a
7
0
B．
d4
C．
a
1
24
π
π
11．已知函数
f
x
2sin
x
0,0
的相邻两对称轴的之间的距离为，
2
2
π
函数
f
x
为偶函数，则（）
6
A．
6
π
B．
,0
为其一个对称中心
6
C．若
f
x
在
a,a
单调递增，则
0
a
π
6
试卷第2页，共6页
D．曲线
yf
x
与直线
y
1π
x
有7个交点
224
12．已知抛物线
C:y
2
6x
的焦点为
F
，过点
F
的直线
l
交抛物线于
A,B
两点，若
M
为
C
的准线上任意一点，则（）
π
A．直线若
AB
的斜率为
3
，则
AB16
B．
AMB
的取值范围为
0,
2
27
OAOB
C．
4
D．
AOB
的余弦有最小值为
-
3
5
三、填空题
5
sin10
13．化简
3
cos
2
50
n
．
1
14．已知二项式
x
的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开
2
x
式的常数项为．
15．在四面体
ABCD
中，
BC22
，
BD23
，且满足
BCBD
，
AC
BC
，
AD
BD
．若该三棱锥的体积为
86
，则该锥体的外接球的体积为
3
．
16．已知函数
f
x
的定义域为
R
，且
f
xy
f
xy
f
x
f
y
，
f
1
1
，请写
出满足条件的一个
f
x
（答案不唯一），
f
2024
．
四、解答题
17．已知等比数列
a
n
满足
a
1
2
，且
a
2
a
4
20
．
(1)求数列
a
n
的通项公式；
(2)若数列
b
n
满足
b
n
na
n
，
b
n
其前
n
项和记为
S
n
，求
S
n
．
试卷第3页，共6页
18．在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
．已知
ab
cos
C
(1)
求角
B
；
(2)
过
B
作
BDBA
，交线段
AC
于
D
，且
AD2DC
，求角
C
．
3
c
sin
B
．
3
19
．如图所示，在矩形
ABCD
中，
AB3
，
AD2
，
DE2EC
，
O
为
AE
的中点，以
AE
为折痕将
VADE
向上折至
DAEB
为直二面角．
(1)
求证：
DOBC
；
(2)
求平面
DAB
与平面
DCE
所成的锐角的余弦值．
试卷第4页，共6页
20
．俗话说：
“
人配衣服，马配鞍
”
．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的
感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续
投掷两次，两次的点数之和为
3
的倍数，则称为
“
完美投掷
”
，出现
“
完美投掷
”
，则记
1
；
若掷出的点数之和不是
3
的倍数，则称为
“
不完美投掷
”
，出现
“
不完美投掷
”
，则记
0
；
若
1
，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选
33
择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为．
510
(1)
求出随机变量
的分布列，并求出期望及方差；
(2)
求张老师当天穿西装的概率．
22
xy
21．已知
A,B
分别为双曲线
E
:
2
2
1
a
,
b
0
的左、右顶点，
M
为双曲线
E
上异
ab
3
于
A,B
的任意一点，直线
MA
、
MB
斜率乘积为，焦距为
27
．
4
(1)
求双曲线
E
的方程；
(2)设过
T
4,0
的直线与双曲线交于
C
，
D
两点（
C,D
不与
A,B
重合），记直线
AC
，
BD
试卷第5页，共6页
的斜率为
k
1
，
k
2
，证明：
k
1
为定值．
k
2
22．已知函数
f
x
lnxkx1
（
k
为常数），函数
g
x
ax1b
．
(1)若函数
f
x
有两个零点，求实数
k
的取值的范围；
2
e,e
(2)当
k0
，设函数
h
x
g
x
f
x
，若
h
x
在
求
a
2
b
2
的最小值．
上有零点，
试卷第6页，共6页
参考答案：
1
．
B
【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得
.
【详解】在
yx2
中，由
x20
得
x2
，即
A
2,
，
x
(
x
4)
0
x
0
可得：
又由，解得
0x4
,即
B
0,4
，
x
4
0
x
4
故
AB
2,4
.
故选
:B.
2
．
D
【分析】根据虚数单位
i
的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部
.
【详解】由
zi2i
2
3i
3
可得：
z22i
，故
z
的虚部为
2
.
故选
:D
．
3
．
D
【分析】直接由投影向量的运算公式运算即可
.
r
r
r
a
b
r
6
22
3,1
3,1
【详解】由题意
c
r
2
b
9
15
b
62
,
.
55
故选：
D
4
．
B
【分析】根据特殊原元素先排列，
4
名男生、两名女生平均分组再排序的原则得出结果
.
【详解】杨教授站中间，只有
1
种方法；
2
C
2
2
4
C
2
四名男生分成两组放在两边方法数
2
A
2
；
A
2
两名女生放在两边方法数
A
2
，
2
C
2
233
4
C
2
A
2
每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为
N
2
A
2
A
3
A
3
432
.
2
A
2
2
故选：
B.
5
．
A
【分析】应用数形结合求出
“
方程
1x
2
xb
有唯一实根
”
时，
b
的取值范围，再结合充分
答案第
1
页，共
14
页
性、必要性即可求解
.
【详解】方程
1x
2
xb
有唯一解，
即直线
yxb
与上半圆
y1x
2
有且仅有一个交点，
解得
b
的取值范围为
1,1
2
，
∴
1b1
是方程
1x
2
xb
有唯一解的充分不必要条件；
故选：
A
．
6
．
D
【分析】根据权方和不等式，直接计算即可
.
2
22
ab
a
b
ab
【详解】因为
a
，
b
，
x
，
y
，则
，当且仅当
时等号成立，
xy
xyx
y
1
3
4
49
，
3
2
4
2
≥
又
0
x
，即
13x0
，于是得
f
x
3
3
x
1
3
x
3
x
1
3
x
2
14
1
，即
x
时取“=”，
7
x1
3x
316
1
所以函数的
f
x
0
x
最小值为49．
x
1
3
x
3
当且仅当
故选：
D
7
．
D
【分析】可借助正方体解决正八面体的有关问题
.
【详解】正八面体可由正方体每个面的中心构成，如图：
答案第
2
页，共
14
页
因为正八面体的棱长为
2
，所以正方体的棱长为
22
.
∵
A
，
E
，
C
，
F
四点共面，直线
AE
与
CF
是共面的，故
A
错；
设二面角
EABD
为
θ
，
S
ABE
3
，
S
正方形
ABCD
4
，所以
cos
所以：二面角
EABF
2θ
π
，故B错；
2
π
12
θ
.
4
2
3
18
V
4
22
2
，故C错；
33
1
由八面体的构成可知：平面
ABE
和平面
DCF
之间的距离是正方体体对角线的，所以两个
3
126
平面之间的距离为：
22
3
，故D对.
33
故选：
D
8
．
C
【分析】根据点差法求出
k
OM
k
AB
b
2
2
，再结合
k
l
k
AB
1
进行计算得出结果.
a
22
x
2
y
2
1
a
2
b
2
【详解】设
O
为坐标原点，在椭圆
C
中，设
A
x
2
,y
2
,B
x
3
,y
3
，则
2
，
2
x
3
y
3
1
a
2
b
2
x
所以
2
2
2
x
3
a
2
y
2
2
2
y
3
b
2
，
b
2
y
2
y
3
y
2
y
3
因为
A,B
关于
l
对称，所以
x
2
x
3
，所以
2
，
a
x
2
x
3
x
2
x
3
答案第
3
页，共
14
页
由线段
AB
的中点
M
的坐标为
x
1
,
y
1
，得出
y
2
y
3
2y
1
,x
2
x
3
2x
1
．
所以
k
OM
k
AB
又
k
l
k
AB
1
，
∴
k
OM
b
2
，
a
2
y
1
b
2
y
1
b
2
，
2
k
l
，即
2
x
1
ax
1
x
0
a
b
2
1
2
又
x
1
2x
0
，∴
2
，所以所求离心率为
.
a
2
2
故选：
C
．
9
．
BC
【分析】依据平均数和方差的计算公式进行判断
.
【详解】不妨设
x
1
x
2
···x
7
，
1
7
1
6
x
x
则
x
·
x
i
，
y
·
x
i
，当
17
x
时，
yx
，故A错误，B正确；
7
i
1
5
i
2
2
因为各数据都不相等，去掉最高和最低，数据的集中性更好，方差一定变小，故
C
正确，
D
错误
.
故选：
BC
10
．
AD
【分析】由
a
6
a
8
得到
a
6
a
8
0
，从而有
a
7
0
，再由
15
求得公差d判断.
96
k
1
a
k
a
k
1
5
【详解】解：由
a
6
a
8
得，
a
6
a
8
0
，根据等差数列性质知
a
7
0
，故A正确；
又
a
8
0
，∴
d0
，由
15
1
11
5555
2
，，得
96
d
a
1
a
6
a
1
a
6
a
7
6d
a
7
d
6d96
k
1
a
k
a
k
1
5
∴
d4
，则
a
7
a
1
6d0
，解得
a
1
24
，故BC错误；
而
S
15
15a
8
15
a
7
d
60
，故D正确；
故选：
AD
．
11
．
ACD
【分析】对于
A
，根据相邻两对称轴之间的距离求周期得出
，再根据偶函数求得
；对于
B
，利用代入验证法进行判断；对于
C
，根据正弦函数增区间公式进行求解；对于
D
，数形
结合，结合对称性得出结果
.
答案第
4
页，共
14
页
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