复合函数求导例题100道

2024年4月12日发(作者：普宁初升三数学试卷)

复合函数求导例题100道

1、已知函数$y=f(u)$和$u=g(x)$，求复合函数$y=f(g(x))$的导数

$y\'$。

首先，根据复合函数的链式法则，我们可以得到复合函数的导数公式：

$$y\'=frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$$

其中，$frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，

$frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数。

现在，我们来看一个具体的例子。

例题1：已知函数$y=u^2$和$u=x^3$，求复合函数$y=(x^3)^2$的导

数$y\'$。

首先，我们可以将函数$y=u^2$和$u=x^3$带入到复合函数的导数公式

中，得到：

$$y\'=frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$$

然后，我们计算$frac{dy}{du}$和$frac{du}{dx}$的值。

$frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，即$y\'=2u$。

$frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数，即

$frac{du}{dx}=3x^2$。

最后，将$frac{dy}{du}=2u$和$frac{du}{dx}=3x^2$的值带入到复

合函数的导数公式中，得到：

$$y\'=frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}=2ucdot3x

^2=6x^2cdot(x^3)^2=6x^2cdot x^6=6x^8$$

所以，复合函数$y=(x^3)^2$的导数$y\'$为$6x^8$。

接下来，我们来看几个例题进行练习。

例题2：已知函数$y=e^u$和$u=ln(x)$，求复合函数

$y=e^{ln(x)}$的导数$y\'$。

首先，我们可以将函数$y=e^u$和$u=ln(x)$带入到复合函数的导数

公式中，得到：

$$y\'=frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$$

然后，我们计算$frac{dy}{du}$和$frac{du}{dx}$的值。

$frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，即$y\'=e^u$。

$frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数，即

$frac{du}{dx}=frac{1}{x}$。

最后，将$frac{dy}{du}=e^u$和$frac{du}{dx}=frac{1}{x}$的值

带入到复合函数的导数公式中，得到：

$$y\'=frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}=e^ucdot

frac{1}{x}=e^{ln(x)}cdotfrac{1}{x}=frac{x}{x}=1$$

所以，复合函数$y=e^{ln(x)}$的导数$y\'$为$1$。

例题3：已知函数$y=sqrt{u}$和$u=x^2+1$，求复合函数

$y=sqrt{x^2+1}$的导数$y\'$。

首先，我们可以将函数$y=sqrt{u}$和$u=x^2+1$带入到复合函数的

导数公式中，得到：

$$y\'=frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$$

然后，我们计算$frac{dy}{du}$和$frac{du}{dx}$的值。

$frac{dy}{du}$表示函数$y$对自变量$u$的导数，即

$y\'=frac{1}{2sqrt{u}}$。

$frac{du}{dx}$表示函数$u$对自变量$x$的导数，即

$frac{du}{dx}=2x$。

最后，将$frac{dy}{du}=frac{1}{2sqrt{u}}$和

$frac{du}{dx}=2x$的值带入到复合函数的导数公式中，得到：

$$y\'=frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}=frac{1}{

2sqrt{u}}cdot2x=frac{1}{2sqrt{x^2+1}}cdot2x=frac{x}{sqrt{

x^2+1}}$$

所以，复合函数$y=sqrt{x^2+1}$的导数

$y\'=frac{x}{sqrt{x^2+1}}$。

通过以上例题的练习，我们可以发现，通过复合函数的导数公式，可

以很容易地求出复合函数的导数。当然，在实际计算中，我们还需要灵活

运用其他的导数计算方法，如常见的求导法则等，以更快速地求出复合函

数的导数。