复合函数的导数公式推导

2024年4月12日发(作者：中考答案舟山九中数学试卷)

复合函数的导数公式推导

假设有函数y=f(u)和u=g(x)，其中f(u)是数学上已知的函数，g(x)

是一个部分能够被简化的函数。那么我们想要求解复合函数y=f(g(x))的

导数。

首先，我们将复合函数的导数表示为dy/dx。根据链式法则，dy/dx

等于dy/du再乘以du/dx。根据定义，dy/du是函数f(u)的导数，可以表

示为df/du。而du/dx是函数u=g(x)的导数，可以表示为dg/dx。

这样，我们可以将复合函数的导数表示为：

dy/dx = (df/du) * (du/dx)

现在我们需要分别求解df/du和du/dx。我们首先考虑求解df/du。

根据定义，导数df/du等于f(u)在u点的斜率，即：

df/du = lim(h->0) [f(u+h) - f(u)] / h

我们可以对该式进行变形，将f(u+h)表示为f(u)+Δf(u)，其中

Δf(u)是一个趋近于0的小量。这样，我们可以将上式表示为：

df/du = lim(h->0) [Δf(u) / h]

接下来，我们将考虑求解du/dx。

假设我们有一个关于x的微小变化Δx，那么对应的u的微小变化

Δu可以表示为：

Δu=g(x+Δx)-g(x)

我们可以对Δu进行变形，将g(x+Δx)表示为g(x)+Δg(x)，其中

Δg(x)是一个趋近于0的小量。这样，我们可以将Δu表示为：

Δu=Δg(x)

接下来，我们将du/dx定义为：

du/dx = lim(Δx->0) [Δu / Δx]

将Δu表示为Δg(x)，我们可以将上式表示为：

du/dx = lim(Δx->0) [Δg(x) / Δx]

现在，我们已经得到了du/dx的表达式。接下来，我们将求解df/du

和du/dx。

根据定义，当h趋近于0时，我们可以将函数f(u)在u点的斜率

df/du表示为：

df/du = f\'(u) = lim(h->0) [f(u+h) - f(u)] / h

同样地，我们可以将du/dx表示为：

du/dx = lim(Δx->0) [Δg(x) / Δx]

现在，我们可以将复合函数的导数dy/dx表示为：

dy/dx = (df/du) * (du/dx) = [lim(h->0) (f(u+h) - f(u)) / h]

* [lim(Δx->0) (Δg(x) / Δx)]

我们可以对上式进行分析，根据极限的性质，我们可以得到：

dy/dx = lim(h->0) [f(u+h) - f(u)] / h * lim(Δx->0) (Δg(x)

/ Δx)

进一步简化，我们可以将h表示为Δu，并将Δx表示为dx，得到：

dy/dx = lim(Δu->0) [f(u+Δu) - f(u)] / Δu * lim(dx->0)

(Δg(x) / dx)

注意到，当Δu趋近于0时，g(x)的极限等于g(x)，即lim(Δu->0)

g(x) = g(x)。并且，当dx趋近于0时，Δu/Δx的极限等于du/dx，即

lim(dx->0) (Δu / dx) = du/dx。

综上所述，我们可以得到复合函数的导数公式：

dy/dx = df/du * du/dx = f\'(u) * g\'(x)

这就是复合函数的导数公式的推导过程。通过这个公式，我们可以在

求解复杂函数的导数时更加简单和高效。