2024年3月10日发(作者：教师月考数学试卷分析报告)
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
：
…
号
考
…
…
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
…
○
_
_
○
…
_
_
…
…
_
：
…
…
级
…
…
班
…
线
_
线
…
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
…
○
_
_
○
…
：
…
…
名
…
…
姓
…
…
_
_
…
订
_
_
订
…
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
装装
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
2021年全国新高考II卷数学试题
题号一二三四总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
2
i
1．复数
1
3i
在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合
U{1,2,3,4,5,6},A{1,3,6},B{2,3,4}
，则
A
ð
U
B
（ ）
A．
{3}
B．
{1,6}
C．
{5,6}
D．
{1,3}
3．抛物线
y
2
2px(p0)
的焦点到直线
yx1
的距离为
2
，则
p
（ ）
A．1B．2C．
22
D．4
4．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球
静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
36000km
（轨道高度是指卫
星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为
6400km
的球，其上点
A的纬度是指
OA
与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同
步轨道卫星点的纬度最大值为
，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
S2
r
2
(1cos
)
（单位：
km
2
），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
5．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
56
282
A．
20123
B．
282
C．
3
D．
3
6．某物理量的测量结果服从正态分布
N
10,
2
，下列结论中不正确的是（ ）
试卷第1页，共4页
A．
越小，该物理量在一次测量中在
(9.9,10.1)
的概率越大
B．
越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．
越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．
越小，该物理量在一次测量中落在
(9.9,10.2)
与落在
(10,10.3)
的概率相等
7．已知
alog
5
2
，
blog
8
3
，
c
1
2
，则下列判断正确的是（ ）
A．
cba
B．
bac
C．
acb
D．
abc
8．已知函数
f
x
的定义域为
R
，
f
x2
为偶函数，
f
2x1
为奇函数，则（
）
f
1
2
0
A．B．
f
1
0
C．
f
2
0
D．
f
4
0
评卷人得分
二、多选题
9．下列统计量中，能度量样本
x
1
,x
2
,,x
n
的离散程度的是（ ）
A．样本
x
1
,x
2
,,x
n
的标准差B．样本
x
1
,x
2
,,x
n
的中位数
C．样本
x
1
,x
2
,,x
n
的极差D．样本
x
1
,x
2
,,x
n
的平均数
10．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶
点．则满足
MNOP
的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知直线
l:axbyr
2
0
与圆
C:x
2
y
2
r
2
，点
A(a,b)
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相
试卷第2页，共4页
※
※
题
※
※
答
…
※
…
※
…
…
内
…
…
※
…
○
※
…
…
线
○
…
※
…
…
※
…
…
订
…
线
※
…
线
…
※
…
…
装
…
…
※
…
…
※
…
○
在
○
…
※
…
…
※
…
…
要
…
…
※
…
订
※
订
…
不
…
…
※
…
…
※
…
…
请
…
○
※
○
…
※
…
……
……
……
装装
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
：
…
号
考
…
…
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
…
○
_
_
○
…
_
_
…
…
_
：
…
…
级
…
…
班
…
线
_
线
…
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
…
○
_
_
○
…
：
…
…
名
…
…
姓
…
…
_
_
…
订
_
_
订
…
_
_
…
…
_
_
…
…
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
装装
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C
相切
12．设正整数
n
a
0k
1k
0
2
a
1
2
a
k
1
2
a
k
2
，其中
a
i
0,1
，记
n
a
0
a
1
a
k
．则（ ）
A．
2n
n
B．
2n3
n
1
C．
8n5
4n3
D．
2
n
1
n
第II卷（非选择题）
评卷人得分
三、填空题
x
2
y
2
13．若双曲线
a
2
b
2
1
的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________．
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数
f
x
:
_______．
①
f
x
1
x
2
f
x
1
f
x
2
；②当
x(0,)
时，
f
(x)0
；③
f
(x)
是奇函数．
15．已知向量
a
b
c
0
，
a1
，
bc2
，
a
b
b
c
c
a
_______．
16．已知函数
f(x)e
x
1,x
1
0,x
2
0
，函数
f(x)
的图象在点
A
x
1
,f
x
1
和点
B
x
|AM|
2
,f
x
2
的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则
|BN|
取值范围是
_______．
评卷人得分
四、解答题
17．记
S
n
是公差不为0的等差数列
a
n
的前n项和，若
a
3
S
5
,a
2
a
4
S
4
．
（1）求数列
a
n
的通项公式
a
n
；
（2）求使
S
n
a
n
成立的n的最小值．
18．在
ABC
中，角
A
、
B
、
C
所对的边长分别为
a
、
b
、
c
，
ba1
，
ca2
.．
（1）若
2sinC3sinA
，求
ABC
的面积；
试卷第3页，共4页
（2）是否存在正整数
a
，使得
ABC
为钝角三角形?若存在，求出
a
的值；若不存在，
说明理由．
19．在四棱锥
QABCD
中，底面
ABCD
是正方形，若
AD2,QDQA5,QC3
．
（1）证明：平面
QAD
平面
ABCD
；
（2）求二面角
BQDA
的平面角的余弦值．
x
2
y
2
6
20．已知椭圆C的方程为
a
2
b
2
1(a
b
0)
，右焦点为
F(2,0)
，且离心率为
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线
MN
与曲线
x
2
y
2
b
2
(x0)
相切．证明：
M，N，F三点共线的充要条件是
|MN|3
．
21．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，
经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个
数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，
P(Xi)p
i
(i0,1,2,3)
．
（1）已知
p
0
0.4,p
1
0.3,p
2
0.2,p
3
0.1
，求
E(X)
；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
p
0
p
1
xp
2
x
2
p
3
3
xx
的一个最小正实根，求证：当
E(X)1
时，
p1
，当
E(X)1
时，
p1
；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22．已知函数
f(x)(x1)e
x
ax
2
b
．
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：
f(x)
只有一个零点
1e
2
①
2
a
2
,b2a
；
②
0a
1
2
,b2a
．
试卷第4页，共4页
※
※
题
※
※
答
…
※
※
…
…
内
…
…
※
…
…
※
…
○
线
○
…
※
…
…
※
…
…
订
…
…
※
…
线
※
线
…
装
…
…
※
…
…
※
…
…
在
…
○
※
○
……
…
※
…
…
要
…
…
※
…
订
※
订
…
不
…
…
※
…
…
※
…
…
请
…
○
※
○
…
※
…
……
……
……
装装
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
参考答案
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
：
号
考
…
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
_
○
_
_
…
_
：
…
级
…
班
…
_
线
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
_
○
：
…
名
…
姓
…
_
_
…
_
_
订
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
:
校
…
学
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
1．A
【分析】
2
i
利用复数的除法可化简
1
3i
，从而可求对应的点的位置.
【详解】
2i
1
3i
2i
13i
10
55i
10
1i
2
11
2
,
，所以该复数对应的点为
2
，
该点在第一象限，
故选：A.
2．B
【分析】
根据交集、补集的定义可求
A
ð
U
B
.
【详解】
由题设可得
ð
U
B
1,5,6
，故
A
ð
U
B
1,6
，
故选：B.
3．B
【分析】
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得
p
的值.
【详解】
p
抛物线的焦点坐标为
2
,0
，
p
0
1
d
2
其到直线
xy10
2
的距离：
1
1
，
解得：
p2
(
p6
舍去).
故选：B.
4．C
【分析】
由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】
答案第1页，共17页
…
…
○
…
…
…
…
外
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：
2
r(1
cos
)1
cos
4
r
2
2
故选：C.
5．D
【分析】
2
1
6400
6400
36000
0.42
42%
2
.
由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】
※
※
请
※
※
不
※
※
要
※
※
在
※
※
装
※
※
订
※
※
线
※
※
内
※
※
答
※
※
题
※
※
作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
…
…
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高
下底面面积
h2
2
222
2
2
，
S
1
16
，上底面面积
S
2
4
，
1128
VhS
1
S
2
S
1
S
2
2164642
333
所以该棱台的体积.
故选：D.
6．D
【分析】
由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】
2
对于A，
为数据的方差，所以
越小，数据在
10
附近越集中，所以测量结果落在
9.9,10.1
内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为
0.5
，故B
正确；
答案第2页，共17页
…
…
○
…
…
…
…
外
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
：
号
考
…
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
_
○
_
_
…
_
：
…
级
…
班
…
_
线
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
_
○
：
…
名
…
姓
…
_
_
…
_
_
订
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
:
校
…
学
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于
10.01
的概率与小于
9.99
的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在
9.9,10.0
的概率与落在
10.2,10.3
的概率不同，
所以一次测量结果落在
9.9,10.2
的概率与落在
10,10.3
的概率不同，故D错误.
故选：D.
7．C
【分析】
对数函数的单调性可比较
a
、
b
与
c
的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
alog
1
5
2log
5
5
2
log
8
22log
8
3b
，即
acb
.
故选：C.
8．B
【分析】
推导出函数
f
x
是以
4
为周期的周期函数，由已知条件得出
f
1
0
，结合已知条件可得
出结论.
【详解】
因为函数
f
x2
为偶函数，则
f
2x
f
2x
，可得
f
x3
f
1x
，
因为函数
f
2x1
为奇函数，则
f
12x
f
2x1
，所以，
f
1x
f
x1
，
所以，
f
x3
f
x1
f
x1
，即
f
x
f
x4
，
故函数
f
x
是以
4
为周期的周期函数，
因为函数
F
x
f
2x1
为奇函数，则
F
0
f
1
0
，
故
f
1
f
1
0
，其它三个选项未知.
故选：B.
9．AC
【分析】
考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选
答案第3页，共17页
…
…
○
…
…
…
…
外
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
项.
【详解】
由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
10．BC
※
※
请
※
※
不
※
※
要
※
※
在
※
※
装
※
※
订
※
※
线
※
※
内
※
※
答
※
※
题
※
※
【分析】
根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线
MN
构造所考虑的线线角后可判断AD
的正误.
…
…
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
【详解】
设正方体的棱长为
2
，
对于A，如图（1）所示，连接
AC
，则
MN//AC
，
故
POC
（或其补角）为异面直线
OP,MN
所成的角，
在直角三角形
OPC
，
OC2
，
CP1
，故
故
MNOP
不成立，故A错误.
tanPOC
12
2
，
2
对于B，如图（2）所示，取
NT
的中点为
Q
，连接
PQ
，
OQ
，则
OQNT
，
PQMN
，
由正方体
SBCMNADT
可得
SN
平面
ANDT
，而
OQ
平面
ANDT
，
故
SNOQ
，而
SNMNN
，故
OQ
平面
SNTM
，
答案第4页，共17页
…
…
○
…
…
…
…
外
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
：
号
考
…
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
_
○
_
_
…
_
：
…
级
…
班
…
_
线
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
_
○
：
…
名
…
姓
…
_
_
…
_
_
订
_
_
…
_
_
…
_
_
…
_
:
校
…
学
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
又
MN
平面
SNTM
，
OQMN
，而
OQPQQ
，
所以
MN
平面
OPQ
，而
PO
平面
OPQ
，故
MNOP
，故B正确.
对于C，如图（3），连接
BD
，则
BD//MN
，由B的判断可得
OPBD
，
故
OPMN
，故C正确.
对于D，如图（4），取
AD
的中点
Q
，
AB
的中点
K
，连接
AC,PQ,OQ,PK,OK
，
则
AC//MN
，
因为
DPPC
，故
PQ//AC
，故
PQ//MN
，
所以
QPO
或其补角为异面直线
PO,MN
所成的角，
答案第5页，共17页
…
…
○
…
…
…
…
外
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
因为正方体的棱长为2，故
PQ
1
AC2
2
，
OQAO
2
AQ
2
123
，
222
POPK
2
OK
2
415
，
QOPQOP
，故
QPO
不是直角，
…
…
○
…
…
…
…
内
…
…
…
…
○
…
…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
※
※
请
※
※
不
※
※
要
※
※
在
※
※
装
※
※
订
※
※
线
※
※
内
※
※
答
※
※
题
※
※
故
PO,MN
不垂直，故D错误.
故选：BC.
11．ABD
【分析】
222
转化点与圆、点与直线的位置关系为
ab,r
的大小关系，结合点到直线的距离及直线与
圆的位置关系即可得解.
【详解】
圆心
C
0,0
d
到直线l的距离
r
2
a
2
b
2
，
d
r
2
a
b
22
若点
A
a,b
在圆C上，则
abr
，所以
222
=r
，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点
A
a,b
在圆C内，则
abr
，所以
222
d
r
2
a
b
22
>r
，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点
A
a,b
在圆C外，则
abr
，所以
222
d
r
2
a
b
22
， 则直线l与圆C相交，故C错误； 答案第6页，共17页 … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ： 号 考 … _ _ … _ _ … _ _ … _ _ ○ _ _ … _ ： … 级 … 班 … _ 线 _ _ … _ _ … _ _ … _ _ … _ _ ○ ： … 名 … 姓 … _ _ … _ _ 订 _ _ … _ _ … _ _ … _ : 校 … 学 ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … 若点 A a,b 在直线l上，则 a 2 b 2 r 2 0 即 a 2 b 2 =r 2 ， d r 2 所以 a 2 b 2 =r ，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 12．ACD 【分析】 利用 n 的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误. 【详解】 对于A选项， n a 0 a 1 a k ， 2n a 0 2 1 a 2 1 2 a k 1 2 k a k 2 k 1 ， 所以， 2n a 0 a 1 a k n ，A选项正确； 对于B选项，取 n2 ， 2n3712 0 12 1 12 2 ， 7 3 ， 而 202 0 12 1 ，则 2 1 ，即 7 2 1 ，B选项错误； 对于C选项， 8n 5 a 3 0 2 a 1 2 4 a k 2 k 3 5 1 2 0 1 2 2 a 3 0 2 a 1 2 4 a 3 k 2 k ， 所以， 8n5 2a 0 a 1 a k ， 4n 3 a 2 2 0 2 a 1 2 3 a 2 k 2 k 3 1 2 0 1 2 1 a 2 0 2 a 1 2 3 a k 2 k ， 所以， 4n3 2a 0 a 1 a k ，因此， 8n5 4n3 ，C选项正确； 对于D选项， 2 n 1 2 0 2 1 2 n1 n ，故 21 n ，D选项正确. 故选：ACD. 13． y3x 【分析】 根据离心率结合 a 2 b 2 c 2 得出 a,b 关系即可求出. 【详解】 由题离心率 e c a 2 ，即 c2a ， 答案第7页，共17页 … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …
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