压缩映像原理在数学分析中的应用

2024年4月10日发(作者：小学数学试卷6页怎么做)

第３６卷第４期　

２０１５年８月　

通化师范学院学报（自然科学）　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＯＮＧＨＵＡ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　

Ｖｏ１．３６　Ｎｏ４　

Ａｕｇ．２０１５　

ＤＯＩ：１０．１３８７７／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃｎ２２—１２８４．２０１５．０８．００７　

压缩映像原理在数学分析中的应用　

杨柏林　

（吉林师范大学数学学院，吉林四平１３６０００）　

摘要：数学分析是数学专业的主要课程，而压缩映像原理在数学分析中有着十分广泛的应用，本文基于四个方面，给出了　

压缩映像原理在数学分析中的应用．　

关键词：压缩映射；近似解；隐函数；数列；收敛　

中圈分类号：Ｏ１７７文献标志码：Ａ文章缩号：１００８—７９７４（２０１５）０４—００１７—０２　

压缩映像原理在求方程近似解、隐函数、积分中　

值定理等方面有着广泛的应用，　

例１求方程　＋　一１＝０的根．　

解令ｇ（ｘ）＝　＋　一１，由于ｇ　）　

ｇ（Ｏ．５）＝一０．４６８７５，ｇ（１）＝１．　

：

５　＋　

１求方程的近似解　

设　是完备的距离空间，　：　—　是一压缩映　

射，则　在　中有唯一的不动点．　

证明先证存在性．任取一初始点，　。Ｅ　Ｘ，做　

迭代数列　ｌ＝Ｔｘ０，戈２＝Ｔｘ　”，戈　＋ｌ＝Ｔｘ　，…，且存　

在０∈（０，１），则有　

ｄ（ｘ　，　＋１）＝ｄ（Ｔｘ　一ｌ，Ｔｘ　）　Ｏｄ（　一ｌ，　）≤　

ｄ（　一２，　一１）ｓ　Ｏｎｄ（ｘ０，　１），　

１　０，故ｇ单调，且　

故方程有唯一的根，且根在［Ｏ．５，１］内．原方程可以　

写成１一　＝　，则问题由此转为求　）＝１一　的　

不动点问题．但是由于ｇ不是压缩映射，故存在任意　

的Ａ∈［０，１］，原方程等价于（１一Ａ）　＋Ａ（１一　）　

＝　

，

取Ａ＝　１

，

于是，对于正整数Ｐ，有　

ａ（ｘ　，Ｘｎ＋ｐ）　

令　）＝　＋÷（１一　），则　在　

［０．５，１］上满足Ｊ　）ｌ＝　÷一手×４｝ｓ　３，故厂　

是［Ｏ．５，１］上满足的压缩映射．取粕＝０．７５，做迭　

代序列　川＝　），则有　

１＝０．７２５１，　２＝０．７５３３，　３＝０．７５４０，　４＝　

０．７５４４，　５＝０．７５４６，　６＝０．７５４７，　７＝０．７５４８，　８　

ｄ（ｘ　，　＋１）＋　（　＋ｌ，　＋２）＋…＋ｄ（　＋ｐ—ｌ，　＋ｐ）＝三三　

（　＋矿　。＋…＋　＋ｐ一。）ｄ（Ｘ０，　１）＝　

ｔｉｎ　

ｄ（ｘｏ，　１）＿＋０（　一∞）　

１一　

故｛　｝为Ｃａｕｃｈｙ列，由　的完备性，存在　∈Ｘ，使　

得Ｘｎ一　（ｎ一∞）．由于压缩映射是连续映射，故　

Ｔｘ’＝Ｔ　ｌｉｍｘ　＝ｌｉｍＴｘ　＝ｌｉｍｘ　＋ｌ＝　’，　

＝０．７５４８，…，取近似解为　８＝０．７５４８．　

其　误　差　为　｝０．７５４８一　Ｊ　ｓ　

从而有　’为　的一个不动点．　

再证唯一性．设Ｙ’为ｒ的另一个不动点，则有　

ｄ（ｘ‘，Ｙ　）＝ｄ（Ｔｘ’，　。）　（　’，Ｙ’）　

Ｉ　ｏ．７５２ｌ＿０．７５　１＝０．０００８．　

２隐函数定理　

设　，Ｙ）在［口，ｂ］×Ｒ连续，且　（　，Ｙ）处处存　

但０＜０＜１，故ｄ（ｘ’，Ｙ’）＝０，即　‘＝Ｙ　．　

・收稿日期：２０１５—０４—２４　

基金项目：吉林师范大学研究生创新项目（２０１１１４）　

作者简介：杨柏林，吉林长春人，吉林师范大学在读硕士研究生　

・

ｌ７・　

在，若有常数ｍ，Ｍ，满足条件　

０＜ｍ＝三三　（　，　）＜Ｍ，Ｖ　∈［口，ｂ］，Ｙ∈Ｒ，　

则　，ｙ）在［０，ｂ］上存在唯一的连续解．即存在唯　

的　∈［０，６］，使　，　（戈））＝０对一切　∈　

［口，ｂ］成立．　

一

续，即有‰：Ａ　ａｏ）．从而口０＝　≠　，得。。＝　

￣／Ａ，即ｌｉｍ口　＝√Ａ．　

４证明积分中值定理　

例３若，在［口，ｂ］上连续，在［口，ｂ］上严格单　

证明　令　：Ｃ［ａ，ｂ］一ｃ［ａ，ｂ］，即（ｒ，ｐ）（　）：　

（　）一　，　（　）），则对于任意的　，　∈ｃＥ口，６］　

调，则至少存在一点　∈［口，ｂ］，使得Ｉ　）　＝　

）（ｂ一０）．　

由微分中值定理得　

证明设－厂（　）在［口，ｂ］上单调递增，在区间　

ｊ（　）（　）一（　）（　）Ｊ＝　

［口，ｂ］上作映射　

ｆ，（　）ｄｔ　

（　）＝　一，（　）＋　，　

ｊ（　（　）一　（　））一　（　））一　，　（　））］ｊ　

：　

ｌ（　（　）一　（　））一　（　，　（　）＋　

（　（　）一・　（　）））（　（　）一・　（　））Ｉ＝　

ｌ　（　）一・　（　）Ｉ‘　

由于　Ｅ［口，ｂ］　）在［。，ｂ］上严格递增，所以　

口）　）ｓ　ｂ）．并且　

Ｊ厂（　）ｄｔ　

Ⅱ）＜　，Ｊａｖ＝　＜　６）　

Ｉ１一　（　，　（　）＋９（　（　）一　（戈）））ｆ　

（１一　）Ｉ　（　）一　（　）１，　

于是　（　）∈［口，６］．所以　是到自身的映射．　

对于Ｖ　１，　２∈［０，ｂ］，不妨设　１＜　２，有　

【　（　）一　（　。）ｌ＝Ｉ　：一　一　

ｌ（　一　）一（‘厂（　：）－ｆ（　））ｆ．　

）＋／　。）｛：　

所以　『Ｉ　一　『Ｉ≤（１一嚣）　一　『１　．

故　是压缩映射．所以　，ｙ）＝０在［０，ｂ］上存在　

唯一的连续解．　

因为　）在［０，ｂ］上严格单调递增，所以　：）一　

１

）＞０，故存在Ａ∈［０，１］，使得０＜Ａ（　２一　１）　

＜　）一　）成立，所以，　

３数列求极限　

对数列｛　｝，若存在常数ｈ：０＜ｈ＜１，使对一　

Ｊ　ｒ（ｘ：）一　（　）｝＝（　ｚ—　）一０＾（　）一　））　

切凡∈Ｎ，Ｊ　一　Ｊ　ｈ　Ｊ　Ｘｎ一　Ｊ，则｛　｝收敛．　

（１一Ａ）ｌ　，一　，ｌ，　

从而　是［口，ｂ］的压缩映像，由不动点定理知，存在　

唯一一点　∈［口，ｂ］，使得　（　）＝　．即Ｆ（　）：　

证明　Ｖ　ｎ，Ｐ∈Ｎ，有　

一　

ｌ≤∑　一　Ｉ　∑　—　。ｌ＝　

ｌ　ｔ）ｄｔ　

，

ｌ　。Ｉ竿竿ｓ　　。Ｉ　Ｉ

所以｛　｝为Ｃａｕｃｈｙ列，从而｛　｝收敛．　

例２设口。＞０，ｎ川＝　

ｌｉｍａ　．　

ｎ—＋∞　

从而ＪⅡ，（　）　＝　）（６一。）・　

ｒ６　

５结束语　

利用压缩映像原理来解决一些问题，简单方便，　

运用压缩映像原理解决数学分析中的问题还有许　

多，希望读者在以后的解题中善于利用，化繁为简．　

参考文献：　

（Ａ＞１），求　

解　令，（口）　＝　

＾十Ⅱ　

，易见，（。）在（０，　

［１］姚泽清．应用泛函分析［Ｍ］．北京：科学出版社。２００７．　

［２］吴翊，屈田兴．应用泛函分析［Ｍ］．长沙：国防科技大学出版　

社．２００２．　

＋∞）连续可导．又因为ｎ　＞０，所以　０）＝　

且由…知　≤　

［３］华东师范大学数学系．数学分析上册［Ｍ］．北京：高等教育　

出版社．２０００．　

Ａ（＿　

Ａ　

：１

一

１

　

＜１．　

［４］江泽坚，孙善利．泛函分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，　

２００５．　

Ａ　

由压缩映像原理知收敛．设ｌｉｍａ　＝ａ。，又因为－厂连　

［５］李娟．利用压缩映像原理处理有关数列收敛性［Ｊ］．甘肃联　

合大学学报，２０１１，２５（５）：２９—３１．　（责任编辑：陈衍峰）　

・

１８・