数学史上无理数π的几种三角函数求法---第三篇

2024年3月7日发(作者：办公软件制作数学试卷)

数学史上无理数π的几种三角函数求法

【读《三角之美 边边角角的趣事》有感】

江苏东海高级中学 222300 孟剑卫

序言：笔者本人在读了马奥尔的这本精彩的书以后着实震惊，感觉到三角函数在数学的发展中与其他分支有着不可分割的关系，是代数与几何深入结合的产物。当三角函数用弧度制来表示的时候，就与一个无理数π联系到了一起。据了解现在计算机已经能够计算出圆周率π小数点后面206,158,430,000位十进制精度，这是怎么精确计算出来的？

好，转入今天的正题，接下来我们就来看看几种常见的算法。

一．sinX

1【倍角公式法】.先看一个三角函数中熟悉的二倍角公式

XXsinX=. (1)

22反复运用倍角公式，则;xxxxxsinx= ,

22424xxxxxx=1.......

222842

xxx对sinx求极限,当n取充分小时,sinnn则上式等价于

222sinx.......

2n2n2n....... (2)

nn122842 =

于是

sinxxxxxx1....... (3)

x22842nxsinx上式也可写成： =cosn（其中∏表示“乘积”）

2xk1说明：因为上式对任意实数R都成立，(包括x0,如果我们定义等式右边不可能出现π，只能让左边出现π，可令xsin0=1，)

02

cos42x1cosx,再重复利用半角公式cos，可以化简得到等式：

222

2222222........... (4)

222根据上式可以精确算出π的值.

2【泰勒展开式法】由泰勒公式可得sinx的展开式,即它的幂级数形式：

(5)上面的式子是一个n次多项式，著名学者欧拉认为既然一般的n次多项式可以

x那到写成n个形如1的因子的乘积，那么sinx也可以写成无穷乘积的形式，xi底是什么样的形式呢？只需将每个因子中的xi用的零点代入即可。所以有:x2x2x2x2sinxx.12.12.12.......122

(6)

49n在上式中右边含有单独的X项，下面就从这个X入手，作为联系π的工具：令1111x得:

1.1.1.1.1......

（７）

224163664 整理得：

224466............

213355722n0于是:

（８）

2n12n21当然，利用（６）式还可得到其他含的形式，例如，令x6，则会得到：

16612121818............

62571113171926n0

(9)

于是 :

=3n16n21

二.tanX

１【泰勒展开式法】类似于上面的sinX的求法，

（10）

上式等价为:

4x24x24x24x2cosx1.1.1.......1

 （11）

222229252n1到这里你也许要问了明明标题是用tanX来求π，怎么写的是cosX，没错，但细心的人很快就已经发现了这里的cosX是不具有引出π的能力的，在这里只起到为下一步作铺垫的作用。

既然上式两边都不具备X项，那就可以与sinX结合起来作用，既可以与sinX相乘，也可作sinX的分母，还可以作幂指数，当然幂指数在这里不好使就不必说了。相乘的话则有sinXcosX=sin2X，接下来的处理方法与(7)类似这21里就不一一赘说了，下面主要讨论做分母的情况。

将sinX，cosX展开式分别代入tanX得：

x2x2x2x2x.12.12.12.......12249n (12)

tanx22224x4x4x4x1212.192.1252.......22n1上面出现的这个式子看上去确实有点吓人，不过如果我们利用有理函数的部分分式分解这一技巧就方便多了，即如下的分解方法：

tanxA1B1A2B2A3B3AnBn...2x2x2x2x2x2x2x2x1111111133552n12n1

(13)

为了求出上式的各项系数，我们采用一种“清除分母”的方法，即让（13）式左右两边同时乘上它的右式的每一个分母，即cosx，那么左式就剩下了sinx，

x2x2x2x2所以有:sinxx.12.12.12.......122

49n4x24x24x22x.......1 =

A1112.1

2229252n1

4x24x24x22x.......1 +B1112.1

2229252n12x4x24x24x2.......1 +A2.1.12.1

2223252n124x24x22x4x.......1 +B2.1.12.1

2222532n1 +……

…………

(14)

2x2x上式只有A1项中不含有1也只有B项中不含有1

1......根据以上特点，11为了求出A1,令x，则其余项都被消去。于是有.1.1224161224466.1.....A1............

(15)13355736111解出A1:A1.1.1.1.......由于上式右边

241636222111

1.1.1.......部分可以用7式代替，所以化简得：4163622

A1==，同理得到B1A1

22（以）马奥尔曾给出Ai，Bi的通式　Ai=-Bi (16)

2i1将这些系数带入(13)式，再两两分组分别相加，于是我们得到：

2222

tanx8x1111......

(1７)

2222222294x254x494x4xπ3π5π7π9π在(1７)式中，x除了,,,,外，其余实数均可取得，而且有一个单22222独的x项可以用来引出π。接下来的事就是将一些特殊的角度带入，例如πππ,,......先举个特殊的例子吧，令x4364，得到

1111......

18

222242922524924444

81111......

(18)

2222359919732观察中括号内的数字，均为2,6,10等数字的平方减去一，即4n21我们对其先因式分解，再裂项求和，得到

11111141111111.1......所以:1......

43579111335791113（19）

苏格兰数学家James Gregory曾在1675年用正切的反三角函数发现并证明出结论上述结论。他将Z=1带入正切的反三角函数就得到了（19）式。

【注】从（17）式中我们还可以得到一个有趣的结论，令x0，将x除到左边去，对tanxsinx1tanx求极限limx0111,所以（17）式就x0x0xxcosxx2811111111......即......

（20）

变为124911111多说一句，由上式可以联想到T......

14916252211111111T.........T解出T，是一个定846值。上面涉及到一个无限循环小数的转换为分数的形式的方法，在这里稍微提一下：例如，0.999999……

0,9999……=0,9+0.0999……,在这里我们让0,9999……=T，则T=0.9+,解出10T

T得T=1，再比方说，3.67836783678……,在这里让S=3.67836783678……

所以S=3.678+S10000，同样可以解出S。在第一个例子中，如果我们对0.9999…求极限的话，那它的值也是1.好了，关于tanX的用法就先说到这里。

【小结】上面主要介绍的是泰勒展开式法，下面先列出常用的几个三角函数的幂级数展开式，在这里就不一一讨论了，不过有一点，那就是一定要构造出等式两边一边含有X的一项，而另一边带入X 的时候，π能够被消掉。

对于上面几个式子只要细心对比，找出共同之处，给予合适的构造一样可以有不可思议的用途。

下面继续介绍上面在SinX中提到的倍角公式法在cotX中的应用。

三cotX

在这里我们主要介绍倍角公式法，先来看看余切倍角公式：

1tan2xcotxtanxtanxcotxcot2x2tanx222

同样，对cotX有：

cotxcotxxxxtantancot2222222

(20)

n对上式重复使用倍角公式（当然，这里的x,其中nZ,n0），可以得2到一个无限的式子：

cotcotx=xxxxtancottan2222

2221xx1xcottantan

2244221x1x1x1x1x1x1xcottantantan......tantantan2n2n2n2n2n12n12n22n22323222222(21)

对1x1x1x111cot求极限得：

limcotlimcotlimn2n2n2n2n2nn2n2nntanxx2n于是我们得到：1x1x1x1x1x1xtantantan......tantantan2n2n2n12n12n22n223232222221cotx这回好办了，等式两边的一边出现了含有Ｘ的独立项，下面只需对Ｘx

进行赋值就大功告成了。在这里提一个比较特殊的情况，令上式中的Ｘ取得到π４，1111114tantantan......tantantan=-12n2n+22n12n+12n22n23252224223为了使式子更“好看＂，我们把等式右边的１用tan，22给换掉，于是：1111114tantantan......tantantantan2n2n22n12n12n22n2325222422322再把等式两边同时除下４，由此我们得到一个＂漂亮＂的式子

12n+2tan2n+21111111tantan......tantantan+tan=n+1n+1nn55443322222222222222（２２）

【后记】从上面的过程我们可以发现数学中各个分支中深藏的内在联系，解析几何将代数与几何结合在一起，向量，平面几何，三角函数，复数又是一个大家族，每个家族都如同一个小社会，每个人的分工明确，却又彼此互通，在两个世界连接的地方总能找到令人欣喜的东西，在现有的基础上，往往只要你敢往其他方向走上那么一小步，虽是＂一小步”，却连接了两个世界，就好比说从０到１的跨度虽远不及从１到１００，但是却实现了从无到有的一个过程。有时候另一个世界也许没有人涉足过，这时候就需要有像冒险家一样的精神，“无限＂曾在数学史上被世人所忌讳，如今却也占据了数学的半壁江山。就拿上面讲到的来说吧，π原本与三角函数没有什么关系，但在弧度制引进以后，π便成了三角函数的常客，弧度制就像是一种工具，链接两种不同事物的工具。再比如说，函数与几何变换，几何变换这一分支正是基于函数的发展而出现的，它将变换后的图形解释为原图形的一种对应，而几何变换就是研究这一对应的法则的一个分支，函数自然也是起到理论依据的作用。说到工具，导数，向量，微积分，矩阵等等，或者起到桥梁的作用，或者起到捷径的作用，都在不动声色的推动着各个分支发展与延伸。学科的不同分支有联系，不同学科之间也有联系，相互借鉴，相互利用。在这里以一个现象作结：两只蚂蚁在桌面上一张矩形纸（很长）的两段，（这里姑且将蚂蚁看做二维的），矩形纸上的蚂蚁走到一起是很费劲的，当我们从二维进入三维空间时，对于这个问题就很好办了，我们只需将矩形纸折起来，两只蚂蚁就可以毫不费力的走到了一起。这就启示我们在一个地方走不动，或者很费劲，这时候我们就要敢于跳出来，去寻找“另一条路”，当然，这条路可能并不事先就存在。

参考文献：１．《非凡的公式》［Ｊ］P149．《tanＸ》［Ｊ］P160 【以】马奥尔《三角之美 边边角角的趣事》［Ｍ］ ２

Peter Beckmann《A History of

Golem Press，1977 PP132-133

π》［Ｍ］Boulder，Colo：