2024年4月2日发(作者：北京高考押题数学试卷答案)

正方形典型题解析

正方形因其性质独特，而颇受命题者青睐。纵观正方形习题，类型繁多，解题方法灵活

多变。同学们在平时若能多加练习，对提高解题能力将大有益处。下面分类介绍几例。

一、证明两条线段相等

例1. 如图1，已知正方形ABCD中，E、H、F、G分别是边AB、BC、CD、DA上的

点，EF⊥GH。

求证：EF＝GH

解析：过点G、E分别作GM⊥BC、EN⊥CD，垂足分别是M、N，然后证△ENF≌△GMH

即可。

二、证明一条线段等于另外两条线段的和

例2. 如图2，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，AH⊥EF

于H。

求证：（1）BE＋FD＝EF

（2）AB＝AH

证明：（1）延长EB到M，使得BM＝DF

则△ADF≌△ABM

∴∠FAD＝∠MAB，AM＝AF

∵∠FAD＋∠EAB＝45°

∴∠MAE＝∠MAB＋∠BAE＝45°＝∠EAF

∴△MAE≌△FAE

∴ME＝EF

∴BE＋FD＝EF

（2）因为△MAE≌△FAE，根据全等三角形对应边上的高相等即可证明AB＝AH。

点评：此题的证法为截长补短中的补短法（也可以看作是旋转法，即将△ADF旋转到

△ABM），关于它的变式很多，同学们只要熟练掌握了此题的解法，就可以以不变应万变。

三、求角的度数

例3. 如图3，P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，求∠APB的度数。

解析：把△BPA绕点B旋转到△BP”C的位置，易证∠PBP”＝90°，则PP”＝，

根据勾股定理的逆定理可得△PP”C为直角三角形，∠PP”C＝90°，因此∠APB＝∠CP”B＝

90°＋45°＝135°

四、求不规则图形的面积

例4. 如图4，正方形ABCD的边长为a，E、F分别是BC、CD的中点，DE、BF交于

点G，求四边形ABGD的面积。

解析：联结CG，不难得出，从而，由E、F分别

是BC和CD的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等。

因为，所以

通过上述列举可知，正方形题种类颇多，而且比较灵活，但只要在学习中善于探索，认

真总结，正方形问题是不难解决的。


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