2024年4月15日发(作者：初中数学试卷高分)
2019
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清
楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上
答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．设集合
A
={
x
|
x
–5
x
+6>0}，
B
={
x
|
x
–1<0}，则
A
∩
B
=
A．(–∞，1)
C．(–3，–1)
2．设
z
=–3+2i，则在复平面内
z
对应的点位于
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
B．(–2，1)
D．(3，+∞)
2
3．已知
AB
=(2,3)，
AC
=(3，
t
)，
|BC|
=1，则
ABBC
=
A．–3
C．2
B．–2
D．3
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大
成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，
发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
L
2
点的轨道运行．
L
2
点是平衡点，位于
地月连线的延长线上．设地球质量为
M
１
，月球质量为
M
２
，地月距离为
R
，
L
2
点到月球的距离为
r
，根据
牛顿运动定律和万有引力定律，
r
满足方程：
M
1
M
2
M
1
r
(Rr)
.设，由于
的值很小，
223
(Rr)rR
R
3
3
3
4
5
3
3
，则
r
的近似值为 因此在近似计算中
2
(1
)
A．
M
2
R
M
1
3M
2
R
M
1
B．
M
2
R
2M
1
M
2
R
3M
1
C．
3
D．
3
5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个
最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数
C．方差
6．若
a
>
b
，则
A．ln(
a
−
b
)>0
C．
a
3
−
b
3
>0
7．设
α
，
β
为两个平面，则
α
∥
β
的充要条件是
A．
α
内有无数条直线与
β
平行
C．
α
，
β
平行于同一条直线
8．若抛物线
y
=2
px
(
p
>0)的焦点是椭圆
A．2
C．4
9．下列函数中，以
2
B．平均数
D．极差
B．3<3
D．│
a
│>│
b
│
ab
B．
α
内有两条相交直线与
β
平行
D．
α
，
β
垂直于同一平面
x
2
3p
y
2
p
1
的一个焦点，则
p
=
B．3
D．8
2
为周期且在区间(
4
，
2
)单调递增的是
B．
f
(
x
)=│sin2
x
│
D．
f
(
x
)=sin│
x
│
A．
f
(
x
)=│cos2
x
│
C．
f
(
x
)=cos│
x
│
10．已知
α
∈(0，
2
)，2sin2
α
=cos2
α
+1，则sin
α
=
1
A．
5
C．
B．
5
5
3
3
D．
2
5
5
x
2
y
2
11．设
F
为双曲线
C
：
2
2
1(a0,b0)
的右焦点，
O
为坐标原点，以
OF
为直径的圆与圆
ab
x
2
y
2
a
2
交于
P
，
Q
两点．若
PQOF
，则
C
的离心率为
A．
2
C．2
B．
3
D．
5
12．设函数
f(x)
的定义域为R，满足
f(x1)2 f(x)
，且当
x(0,1]
时，
f(x)x(x1)
．若对任意
8
x(,m]
，都有
f(x)
，则
m
的取值范围是
9
A．
,
4
9
B．
,
3
7
C．
,
2
5
D．
,
3
8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有
20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点
率的估计值为__________．
ax
14．已知
f(x)
是奇函数，且当
x0
时，
f(x)e
.若
f(ln2)8
，则
a
__________．
15．
△ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
.若
b6,a2c,B
π
，则
△ABC
的面积为_________．
3
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但
南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正
多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所
有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱
长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
如图，长方体
ABCD
–
A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD
是正方形，点
E
在棱
AA
1
上，
BE
⊥
EC
1
．
（1）证明：
BE
⊥平面
EB
1
C
1
；
（2）若
AE
=
A
1
E
，求二面角
B
–
EC
–
C
1
的正弦值．
18．（12分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，
该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率
为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了
X
个球该局比赛结束.
（1）求
P
（
X
=2）；
（2）求事件“
X
=4且甲获胜”的概率.
19．（12分）
已知数列{
a
n
}和{
b
n
}满足
a
1
=1，
b
1
=0，
4a
n1
3a
n
b
n
4
，
4b
n1
3b
n
a
n
4
.
（1）证明：{
a
n
+
b
n
}是等比数列，{
a
n
–
b
n
}是等差数列；
（2）求{
a
n
}和{
b
n
}的通项公式.
20．（12分）
已知函数
f
x
lnx
x1
x1
.
（1）讨论
f
(
x
)的单调性，并证明
f
(
x
)有且仅有两个零点；
（2）设
x
0
是
f
(
x
)的一个零点，证明曲线
y
=ln
x
在点
A
(
x
0
，ln
x
0
)处的切线也是曲线
ye
的切线.
21．（12分）
x
1
已知点
A
(−2,0)，
B
(2,0)，动点
M
(
x
,
y
)满足直线
AM
与
BM
的斜率之积为−.记
M
的轨迹为曲线
C
.
2
（1）求
C
的方程，并说明
C
是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交
C
于
P
，
Q
两点，点
P
在第一象限，
PE
⊥
x
轴，垂足为
E
，连结
QE
并延长交
C
于
点
G
.
（i）证明：
△PQG
是直角三角形；
（ii）求
△PQG
面积的最大值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，
O
为极点，点
M(
0
,
0
)(
0
0)
在曲线
C:
4sin
上，直线
l
过点
A(4,0)
且与
OM
垂
直，垂足为
P
.
（1）当
0
=
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
3
（2）当
M
在
C
上运动且
P
在线段
OM
上时，求
P
点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知
f(x)|xa|x|x2|(xa).
（1）当
a1
时，求不等式
f(x)0
的解集；
（2）若
x(,1)
时，
f(x)0
，求
a
的取值范围.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
1．A 2．C 3．C 4．D 5．A
6．C 7．B 8．D 9．A 10．B
11．A 12．B
13．0.98
15．6
3
14．–3
16．26；
21
17．解：（1）由已知得，
B
1
C
1
平面
ABB
1
A
1
，
BE
平面
ABB
1
A
1
，
故
B
1
C
1
BE
．
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