2024年3月23日发(作者：桥北小学数学试卷分析)
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初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放
性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想
本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题
例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△
ABC
中，∠
A
＝90°，
AB
＝6，
AC
＝8，点
D
为边
BC
的中点，
DE
⊥
BC
交边
AC
于点
E
，点
P
为射线
AB
上的一动点，点
Q
为边
AC
上的一动点，且∠
PDQ
＝
90°．
（1）求
ED
、
EC
的长；
（2）若
BP
＝2，求
CQ
的长；
（3）记线段
PQ
与线段
DE
的交点为
F
，若△
为等腰三角形，求
BP
的长．
图1 备用图
思路点拨
1．第（2）题
BP
＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3．第（3）题探求等腰三角形
时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形
CDQ
．
解答：（1）在Rt△
ABC
中，
AB
＝6，
AC
＝8，所以
BC
＝10．
在Rt△
CDE
中，
CD
＝5，所以
EDCDtanC5
31525
4
4
，
EC
4
．
（2）如图2，过点
D
作
DM
⊥
AB
，
DN
⊥
AC
，垂足分别为
M
、
N
，那么
DM
、
DN
是
△
ABC
的两条中位线，
DM
＝4，
DN
＝3．
由∠
PDQ
＝90°，∠
MDN
＝90°，可得∠
PDM
＝∠
QDN
．
因此△
PDM
∽△
QDN
．
所以
PM
QN
DM
DN
4
3
．所以
QN
34
4
PM
，
PM
3
QN
．
图2 图3 图4
①如图3，当
BP
＝2，
P
在
BM
上时，
PM
＝1．
此时
QN
3
4
PM
3
4
．所以
CQCNQN4
319
4
4
．
②如图4，当
BP
＝2，
P
在
MB
的延长线上时，
PM
＝5．
优质.参考.资料
此时
QN
3
4
PM
15
4
．所以
CQCNQN4
1531
4
4
．
（3）如图5，如图2，在Rt△
PDQ
中，
tanQPD
QDDN3
PD
DM
4
．
在Rt△
ABC
中，
tanC
BA3
CA
4
．所以∠
QPD
＝∠
C
．
由∠
PDQ
＝90°，∠
CDE
＝90°，可得∠
＝∠
CDQ
．
因此△
∽△
CDQ
．
当△
是等腰三角形时，△
CDQ
也是等腰三角形．
①如图5，当
CQ
＝
CD
＝5时，
QN
＝
CQ
－
CN
＝5－4＝1（如图3所示）．
此时
PM
4
3
QN
4
3
．所以
BPBMPM3
45
3
3
．
②如图6，当
QC
＝
QD
时，由
cosC
CH
5
CQ
，可得
CQ
2
4
5
25
8
．
所以
QN
＝
CN
－
CQ
＝
4
25
8
7
8
（如图2所示）．
此时
PM
4
3
QN
7
6
．所以
BPBMPM3
725
6
6
．
③不存在
DP
＝
DF
的情况．这是因为∠
DFP
≥∠
DQP
＞∠
DPQ
（如图5，图6所示）．
图5 图6
考点伸展：如图6，当△
CDQ
是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△
BDP
也是等腰三角形，
PB
＝
PD
．在△
BDP
中可以直接求解
BP
25
6
．
二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题
例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线
y
4
3
x4
和
x
轴、
y
轴的交点分别为
B
、
C
，点
A
的坐
标是（-2，0）．
（1）试说明△
ABC
是等腰三角形；
（2）动点
M
从
A
出发沿
x
轴向点
B
运动，同时动点
N
从点
B
出发沿线段
BC
向点
C
运动，运动的速度
均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设
M
运动
t
秒时，△
MON
的面积为
S
． ① 求
S
与
t
的函数关系式；
② 设点
M
在线段
OB
上运动时，是否存在
S
＝4的情形？若存在，求出对应的
t
值；若不存在请说
明理由；
③在运动过程中，当△
MON
为直角三角形时，求
t
的值．
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图1
思路点拨：
1．第（1）题说明△
ABC
是等腰三角形，暗示了两个动点
M
、
N
同时出发，同时到达终点．
2．不论
M
在
AO
上还是在
OB
上，用含有
t
的式子表示
OM
边上的高都是相同的，用含有
t
的式子表示
OM
要分类讨论．
3．将
S
＝4代入对应的函数解析式，解关于
t
的方程．
4．分类讨论△
MON
为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
解答：
（1）直线
y
4
3
x4
与
x
轴的交点为
B
（3，0）、与
y
轴的交点
C
（0，4）．
Rt△
BOC
中，
OB
＝3，
OC
＝4，所以
BC
＝5．点
A
的坐标是（-2，0），所以
BA
＝5．
因此
BC
＝
BA
，所以△
ABC
是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点
N
作
NH
⊥
AB
，垂足为
H
．
在Rt△
BNH
中，
BN
＝
t
，
sinB
4
5
，所以
NH
4
5
t
．
如图2，当
M
在
AO
上时，
OM
＝2－
t
，此时
S
1
2
OMNH
1
2
(2t)
4
5
t
2
5
t
2
4
5
t
．定义域为0＜
t
≤2．
如图3，当
M
在
OB
上时，
OM
＝
t
－2，此时
S
1
2
OMNH
1
2
(t2)
4
5
t
2
5
t
2
4
5
t
．定义域为2＜
t
≤5．
图2 图3
②把
S
＝4代入
S
2
5
t
2
4
5
t
，得
2
5
t
2
4
5
t4
．
解得
t
1
211
，
t
2
211
（舍去负值）．
因此，当点
M
在线段
OB
上运动时，存在
S
＝4的情形，此时
t211
．
③如图4，当∠
OMN
＝90°时，在Rt△
BNM
中，
BN
＝
t
，
BM
5t
，
cosB
3
5
，
优质.参考.资料
所以
5t325
t
5
．解得
t
8
．
如图5，当∠
OMN
＝90°时，
N
与
C
重合，
t5
．
不存在∠
ONM
＝90°的可能．
所以，当
t
25
8
或者
t5
时，△
MON
为直角三角形．
图4 图5
考点伸展：在本题情景下，如果△
MON
的边与
AC
平行，求
t
的值．如图6，当
ON
//
AC
时，
t
＝3；如图7，
当
MN
//
AC
时，
t
＝2.5．
图6 图7
三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题
例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形
OABC
中，
CB
//
OA
，∠
COA
＝90°，
CB
＝3，
OA
＝6，
BA
＝
35
．分
别以
OA
、
OC
边所在直线为
x
轴、
y
轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点
B
的坐标；
（2）已知
D
、
E
分别为线段
OC
、
OB
上的点，
OD
＝5，
OE
＝2
EB
，直线
DE
交
x
轴于点
F
．求直线
DE
的解
析式；
（3）点
M
是（2）中直线
DE
上的一个动点，在
x
轴上方的平面内是否存在另一点
N
，使以
O
、
D
、
M
、
N
为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点
N
的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2
思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了
OB
与
DF
垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．
2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照
DO
为边和对角线分类，再进行二级分类，
DO
与
DM
、
DO
与
DN
为邻边．
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