2024年3月10日发(作者：江苏2019考研数学试卷)

不等式的性质和求解方法

不等式在数学中占据重要地位，它与方程一样，是数学中研究

的基本对象之一。不等式的理论及求解方法在实际问题中具有广

泛的应用，尤其在函数、几何和优化等领域。本文将介绍不等式

的性质以及常用的求解方法。

一、不等式的基本性质

1. 不等式的传递性

对于不等式 A < B 和 B < C，根据传递性可知，A < C。这意味

着如果一个不等式的两边分别与另一个不等式的两边相等，那么

这两个不等式可以合并为一个不等式。

例如，对于不等式组 x < 4 和 4 < y，我们可以将其合并为 x < y。

2. 不等式的加减性

对于不等式 A < B 和 C > 0，根据加减性质可知，A+C < B+C。

即不等式两边同时加上或减去一个正数，不等式的方向不变。

例如，对于不等式 x < 4，我们可以将其变形为 x+3 < 7。

3. 不等式的乘除性

对于不等式 A < B 和 C > 0，根据乘除性质可知，AC < BC。即

不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式的方向不变。当乘

以或除以一个负数时，不等式的方向则相反。

例如，对于不等式 2x < 6，我们可以将其变形为 x < 3。

二、不等式的求解方法

1. 图像法

图像法是一种直观且常用的求解不等式的方法，特别适用于线

性不等式。其基本思想是将不等式转化为图像，并通过观察图像

中的区域来确定不等式的解集。

例如，对于不等式 x + 2 < 5，我们可以将其转化为图像 x < 3，

并表示在数轴上小于3的所有实数。

2. 辅助方程法

辅助方程法是一种将不等式转化为方程来求解的方法。通过构

造一个与原不等式等价的方程，然后求解该方程，最后根据方程

的解来确定不等式的解集。

例如，对于不等式 x^2 - 4 > 0，我们可以构造辅助方程 x^2 - 4

= 0，并求解该方程得到 x = -2 或 x = 2。根据辅助方程的解，我们

可以确定原不等式的解集为 x < -2 或 x > 2。

3. 区间法

区间法是一种适用于多项式不等式的求解方法。其基本思想是

将不等式转化为多项式的符号函数来讨论，在每个符号函数的不

同区间上确定不等式的解集。

例如，对于不等式 x^3 - 6x^2 + 8x > 0，我们可以将其转化为多

项式的符号函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x 的讨论。通过求解 f(x) = 0

的根，并观察 f(x) 在每个根的左右区间上的符号，可以确定不等

式的解集为 x < 0 或 2 < x < 4。

4. 求和差形式法

求和差形式法适用于一些特殊的不等式，通过将不等式转化为

某些和差形式，来简化不等式的求解过程。

例如，对于不等式 sin x < 1/2，我们可以将其转化为 x 属于某

一特定区间上的和差的形式。通过查阅三角函数表或借助计算器，

我们可以确定该不等式的解集为 x 属于 (-π/6 + 2kπ, π/6 + 2kπ)，其

中 k 为整数。

综上所述，不等式的性质和求解方法是解决数学问题中的重要

工具。掌握不等式的基本性质以及常用的求解方法，有助于我们

更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。


更多推荐

求解,方法,方程,性质,确定