2023年12月21日发(作者：历城区中考数学试卷)
48中学数学研究2021
年第
4
期
(上)问题2555的另证、推广及拓展陕西省岐山县蔡家坡高级中学(722405)
公宽让摘要应用切比雪夫不等式和均值不等式对问题2555
给岀另证，另证易于推广.它是把要证的不等式左边按分子
分成分子高次的和减分子低次的和.证明分两步：对分子高
次的采用分子分母同次化分子高次的方法，得分子高次和的
式子大于等于1；对分子低次的采用分子低次化分子分母同
次的方法，得分子低次和的式子小于等于1,作差即可.并对
问题2555进行了推广和拓展.关键词
数学通报;问题;另证;推广;拓展1问题2555的另证题目设正实数a,b,c满足abc
2
1,证明:aa..?
a2
b..?
b2
c7-
c2
2
7
+
b2
+
c2
十
b7
+
c2
+
a2
十
c7
+
a2
+ b2
20(1)这是《数学通报>2020年7月号问题中的不等式问题
2555,作者在第8期的证明中多次应用均值不等式,构思奇
妙,但不易推广.下面用切比雪夫不等式和均值不等式对问
题2555给岀另证.证明
a, b,
c
>
0,且
abc
2
1,不妨设
a
2
b
2
c
>
0,由
切比雪夫不等式和均值不等式,ara”
+
b”
+
c”
—abar”
+
r-2b2
+
cr-2c2
(r
>
2)farf
__________a”
+
ba”_____________b”—-2
+子一
c”-2(br-22
+
c2)a”
+
(bc)h
(b2
+
c2)=
a,r-2,r-2
”十
ha”+hr
_
a”+
b2a2
r
—
2”十
h
+
(abc)
f
(b2
+
c2)”+十
r—
+
c22令
r
r—
2=16
a+7
—22—7,得raa”=\"3
77.即7
+
b2
+
c2
b厂
,同理，b7
+
c2
+
a2”aa+
b+cc”7
+
b”
+
c”
7
+
a2
+
b2-------crr--------•
求和，a7
c
b得”
”
”\'
a”
+1”
+(
c”表
示
对
a,
b,
c刀
a
car7
+
b2
+22
Va”
+
b”
+
c”循环求和)，故v7—____a+
ab_____217
2
+
c2
\"(2)再由切比雪夫不等式和均值不等式，a2
=
a2a7
+
b2
+
c2
a5a2
+
b2
+
c2a2__________a
+1
+
1(a2+b2
+
c2)3a2a
1
3a
3
(a2
+
b2
+
c2)a2
+
b2
+
c2
5a2即a7
+
b2
+
c2
‘
baa
1232
+
b2
+
c2，同理，b7
+
c2
+
a2
b1c2i
a2
+
b2
+
c2，c7
+
a2
+
b2a2
+
cb
32
+
c2,求和，得匸1
乙
---aa---------7
+
b2
+
c2
f
刀
aa
32
+
b2
+
c2\'由切比雪夫不等式和均值不等式,a2
+
b2
+
c2=a
35
a
31
+
b
35
b
31
+
c
35
c
312
31
/(a
53
+
7b
53
+
cM
/(a
13
+
b13
+
cM1
2
a13
+
b31
+
c31
,i
所以a2
+
b2
+
c2
2
a1
+
b1
+
c3.即刀
a2„
+a
b,
32„
+
c2
a2刀
a2
+
b2
+
c2
= 1，故a2a7
+
b2
+
c2
f
1(3)不等式(2)与不等式(3)相减，即得不等式(1)成立.2问题2555的推广2.1问题2555按项数推广定理
1
已知
ai
>
0(i
=
1,
2,...,
n,
n
2
3,
n
e
N+),且nn
ai
2
1为对ai(i
=
1,
2,...
,n)循环求和，则i=1,匸刀
a7
+
ai
+
.^.
+
an
2
0
(4)2.2问题2555按项数和指数推广定理
2
已知
ai
>
0(i
=
1,
2,...
,
n,
n
2
3,
n
e
N+),且nn
1,k
e
N+，匸为对
ai(i
=
1,
2,...
,n)循环求和，则i=1
ai
2a7k
+
a2k
+
•••
+
ank2
0(5)为了方便下面的证明，先给岀一个引理.引理已知
ai
>
0(i
=
1,
2,...,
n,
n
2
3,
n
e
N+),且nn
ai
2
1,
m
>
r
>
0,贝」i=1am
+
am
+
•
•
•
+
a^
2
a1
+
a2
+
•
•
•
+
a：
(*)证明
ai
>
0(i
=
1, 2,
•
•
•,
n,
n 2
3,
n
e
N+),且nnai
2
1,
m
>
r
>
0,不妨设
a1
2
a2
2
•
•
•
2
a：
>
0,由切
i=1
比雪夫不等式和均值不等式,a1
+
a2
+
.
.
.
+
a\"
=
a1
a1
+
a2
a2
+
.
.
.
+
a\"
a\"
m
m
i 1
m
m
—r
m
.
m
—r
r
.
.
m
—r
r—1k-普—2k艮卩_________________________
、
___________________a：k
+
a2k
+
a3k
+
...
+
a\"k
a1k
+
a2k
+
...
+
a\"k
\'同理,、1
/
m
—r
i
m
—r
i
.
m
—r、/
r
.
r
.
.
r、2
石(—1
+
a?
+
•••
+。\"
丿(。1
++
•••
+。\")_________________-?k_________________a7k
+
afk
+
...
+
a2-1
+
a2+1
+
...
+
a\"k
2—1
+
a$
+
...
+
a\",所以,不等式(*)成立.下面证明定理1、定理2.2k—墜毁
n、—严
+
—2k
+
…+
a”k
(i
=
2,
3,…,n.
求和，得aj-譬—12kV___________2__________________W
歹______________________匚
a：k
+
a2k
+
a3k
+
...
+
a\"k
a1k
+
a2k
+
...
+
a\"k
\"证明
ai
>
0(i
=
1,
2,...,
n,
n
2
3,
n
e
N+)且(I
—i
2
1,
k
e
N+,不妨设
a1
2
a2
2
•
•
•
2
a\"
>
0,由
i=1切比雪夫不等式和均值不等式,a
1af
+
a$
+
...
+
a\"—1—1
+
—2-2ka2k
+
a3-2ka2k
+
...
+
a\"-2ka\"k
(\"
>
2k)
___________________________________—1_________________________—r-2k
+
—
r-2k
+
+
—
r-2k—1
+
2_尢2_+…十
”
(—2k
+
—2k
+
…+
a\"k)\"由不等式(*),得2k-墜
—2k。
na11_________w
歹__________m_________=
1J
a2k
+
a2k
+
+a\"k
f
—1k
+
a2k
+
...
+
a\"k
故\"a：k
+
a2k
+
a2k
+
...
+
a\"k
W
1
①不等式(6)与不等式(7)相减，即得不等式(5)成立.当k
=
1
时,
不等式
(4)
成立.n
—
1a
13问题2555的拓展3.1问题2555的拓展定理3已知正实数a,
b,
e满足abe
2
1,4q
>
p
>
q
>
0,
则a1
+ (a2a3
...
aj
2
(a^
+
a^
+
...
+
a\"k)r+宁___________________—1r
+
r—2
k rr—22
k—
k
,小，
c,a；
2
+
(a1a2a3
...
a\")(a2k
+a3k
+
•
•
•
+a\"k)W___________—1_2_____________a1
r—
2k
r——2-°2
一
—
+
+
’
e：
2
0
ap
+
bq
+
eq
—
+
eq
+
aq
ep
+
aq
+
bq“
护-沪
“—出
一(8)aa：1
2
+
a2k
+
a|fc
+
...
+
a\"k\"i=13.2问题2555拓展的推广定理
4
已知
ai
>
0(i
=
1,2,...
,
n,
n
2
3,
n
e
N+),且r
2k
16k令
r
十-----2—
=
7k,
得
r
=
-^
<
7k.即—7k
、
—1________________________
2
________________
同理n
—i
2
1,
(n
+
1)q
>
p
>
q
>
0,匸为对—i(i
=
1,
2,.
..
,n)
ap
—
—1a1
+
a2
+
...
+
a\"
\"a1k
+
a2k
+
a3k
+
...
+
a\"k
\"
a[
+
a^
+
...
+
a\"，循环求和，则a7ka7k
+
afk
+
...
+
a2-1
+
a2+1
+
...
+
a\"k
(9)x
ai,
i
=
2,
3,...
,
n.a
1
+
a
2
+
.
.
.
+
a\"证明
ai
>
0(i
=
1,
2,..
.
,
n,
n2
3,n
e
N+),且
i=1求和,
得—7k—1V_____________________
2
V1,J
a1k
+
a2k
+
a3k
+
•.
•+
a\"k
\"厶亠
a1
+
a^
+...
+a\"
故n
—i
2
1,不妨设
a1
2
a2
2
•
•
•
2
a”
>
0,由切比雪夫不等式和均值不等式,a
1a1
+
a2
+
...
+
a\"
ar1(r
>
q)—1
+
—2-q—2
+
—3-q—3
+
...
+
a\"-qa\"\'
丿________________________________21________________________________—7k____________
2
1匚
a：k
+
a2k
+
a3k
+
...
+
a\"k
2
(6)再由切比雪夫不等式和均值不等式,—2ka：k
+
a2k
+
a2k
+
...
+
a\"k—1
+
a2_\"十—3_\"十…十—\"-\"(—2
+
—3
+
...
+
an
—
1—1—1+
宁\")—2k—1k—1k
+
a2k
+
a2k
+
...
+
a\"ka1
+
(a2—3
...
a\")
2
(a2
+
a3
+
...
+
a\")
r+
r-q
____________________-|k____________________a1\"+1
十•••+
1
(—2k
+
—2k
+
—2k
+...
+
a\"k)n2k-验
a1k。1
n—芦(—2k
+
a2k
+
a3k
+
...
+
a\"k)—尹十—2氐十…十
a\"ka11
2
+
(a1a2—3
...
a\")
2
(a2
+
a3
+
•
•.
+
a\")+
r
—
qa1rr十
2r—qa11
2
+
—
+
—3
+
•
•
•
+
a\"
令r+号=卩,得旷=彗<卩即3a；同3,
即
af
+
疋
+ 硝
+
...
+
成
°
硝
+
疋
+
...
+
ak
同理\'________________嵐_________________a?
+
a]
+
...
+
硝_1
+
a?+i
+
...
+
«iaf
+
q，2
+
a兽
+
•
• •
+
CLn
\"
a；
+
a$
+
...
+
a彷\'
—________________世_________________
a?
+
a：
+
...
+
a^_i
+
a?+i
+
•.
•
+
a徐+
碣二=
2,3,…,\".)Q]
+
a?
+
•
•
•
+
a*求和，得q
.
q
.
q_g閱n.
~q
?
°
=
2,
3,
. .
. ,
Tl.a?
+
...
+
a^,
°
刀
af
+
a昔
+
...
+
a亠
+
al*
\'
1.又g>g-m
>o,由不等式(),得*nq—日九求和，得〉:af
+
a善
+
a兽
+
...
+
a：疋刀厲+遍+…+碣即工
af
+
鸥
+
硝
+
...
+
鸥
‘1刀硏+』+…+鸥\'刀谓+疋+
<4+…+碍=1?a：
(10)故乙af
+鸥+硝+…+國、再由切比雪夫不等式和均值不等式，V____________________
<
1ai(11)不等式（10）与不等式（11）相减，即得不等式（9）成立.当
af
+
a昔
+
a舟
+ …+
af
+
a号
+
a甞
+
...
+
agn
=
3时,不等式⑻成立.参考文献nJ«?：i
+…+
喲[1]
公宽让.《数学通报》问题2367的新证及推广探究J].中学数学研
究（上）（华南师范大学版）,2018（4）: (逬+疋+
...
+
a却
苗+鸥+…+唸\'[2]
公宽让•放缩+最值证一类对称型条件不等式的探究[J]•中学数学
研究（上）（华南师范大学版）,2019（7）:
41-44.1955年2月创刊1982年1月复刊
复刊第472期（上）
2021年4月10日出版主
办：华南师范大学数学科学学院广东省数学会主
管：华南师范大学协
办：广东教育学会中学数学教学专业委员会编辑出版者：华南师范大学数学科学学院《中学数学研究》编辑部
杂志社社长：黎稳主
编:吕杰印
刷：广亦市银裕彩印有限公司总发行处：广东省发行局
发行:在全国范围内发行
订阅、零售处：全国各地邮局（所）ISSN
1671-4164电话=
（020）85211343
传真：（020）85216705
邮编:510631地址:广州市天河区中山大道西华南师范大学数学科学学院杂志社现用网址：/E-mail:******************.cn
邮发代号：46-82统一刊号
CN44-1140/O1
（国内）ISSN16717164
（国际）定价：6.00元
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