2023年12月21日发(作者：苏北7市数学试卷)

68.《数学通报》数学问题1558的推广

(王凯成 西安美术学院临潼校区 710600）

把《数学通报》的数学问题1558 (见数学通报2005年6月号问题）推广到更一般情况是：

在给定的2×n（n∈N）的方格表中，第一行的n个方格表内，依次写着1，2，3，„，n（如表1）.如果再把1，2，3，„，n按适当次序分别填入第二行的n个方格内，使每列两数之差的绝对值两两不同，是否可能？

1 2 3 n-1 n

„

„

（表1）

由题意知，绝对值只能取0，1，2，„，n - 1这n个数.

对任意的正整数n，上述问题一定有解吗？

笔者经过对n=4、8、12、16、20的研究，归纳得到了定理1的构造性证明，经过对n=5、9、13、17、21的研究，归纳得到了定理2的构造性证明. 定理3和定理4的证明是《数学通报》第1558问题解法的自然推广.

定理1 当n= 4k（k= 1，2，3，„）时，上述问题有解.

证明 分k=1和k≥2两类直接构造.

当k= 1时，一种填法如表2.

1 2 3 4

4 2 1 3

（表2）

当k≥2时，第二行如此构造：首先使第二行的1对应到第一行的2k+1，使第二行的3k对应到第一行的3k+1；然后使第二行剩余格内从右到左从小到大依次填上2，3，„, 3k

- 1, 3k+1, „ ，一直到4k（注意3k与1的位置）.这时2k对应2k.见表3.

i 1 2

„

k K+1

3k-1

2k-2

K+2

3k-2

2k-4

„

2k-1

„

2k+1

„

2

2k

j 4k

|i-j| 4k-1

4k-1

4k-3

„

3k+1

„

2k+1

2k

0

2k2k+2

+1

1

2k-1

2k 3

（表3）

2k+3

2k-2

5

„

3k-1

„

K+2

„

2k-3

3k

K+1

2k-1

3k3k+2

+1

3k

k

1 2k+2

„

4k-1

„

3

„

4k-4

4k

2

4k-2

定理1得证.

例1 在给定的2×8的方格表中，第一行的8个方格表内，依次写着1，2，3，4，

5，6，7，8（如表4）.如果再把1，2，3，4，5，6，7，8按适当次序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数之差（大数减小数）的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数的最大可能值是___________ .

1 2 3 4 5 6 7 8

（表4）

这是1998年8月在天津南开大学举办“1998我爱数学少年夏令营”数学竞赛第11题.

由定理1知：n = 8时，k = 2，这时第二行的1应该对应到第一行的2k+1=5，第二行的3k = 6应该对应到第一行的3k+1=7. 然后使第二行剩余格内从右到左从小到大依次填上2、

3、4、5、7、8（见表5） .

i

j

1

4k+1

2 3 4 5 6 7 8

7 5 4 3 2

1 6

（表5）

87541362就是1998年8月在天津南开大学举办的“1998我爱数学少年夏令营”数学竞赛第11题的答案.

定理2 当n= 4k+1（k=0，1，2，„）时，上述问题有解.

证明 分k=0、k=1和k≥2三类直接构造.

当k=0时，唯一的填法是1对应1.

当k= 1时，一种填法如表6.

1 2 3 4 5

5 3 1 4 2

(表6)

当k≥2时，第二行如此构造：首先使第二行的1对应到第一行的2k，使第二行的3k对应到第一行的3k+1；然后使第二行剩余格内从右到左从小到大依次填上2，3，„，3k - 1,

3k+1, „ ,一直到4k+1（注意3k与1的位置）.这时2k+1对应2k+1.见表7.

2 K+K+„

2k-2k-2k

2k+2k+„

3k-3k

3k3k+„

4k

„

k

1 2 2 1 1 2 1 2

4k

4k-2

„

3k+2

„

2k+2

3k+1

2k

3k-1

2k--3

„

2k+3

„

5

2k+2

3

1

8

1

2k-1

2k+1

0

2k

2

„

K+3

„

2k-4

K+2

2k-2

+1

3k

1

4k+1

2

4k-1

K+1

2k+1

„

3

„

4k-3

|i-j| 4k

(表7)

定理2得证.

例2 在给定的2×9的方格表中，第一行的9个方格表内，依次写着1，2，3，4，

5，6，7，8，9（如表8）.如果再把1，2，3，4，5，6，7，8，9按适当次序分别填入第二行的9个方格内，使得每列两数之差（大数减小数）的9个差数两两不同. 那么第二行满足条件的一种填法是___________ .

1 2 3 4 5 6 7 8 9

（表8）

由定理2知：n = 9时，k = 2，这时第二行的1应该对应到第一行的2k=4，第二行的3k

=6应该对应到第一行的3k+1=7. 然后使第二行剩余格内从右到左从小到大依次填上2、 3、4、5、7、8、9（见表9） .

1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 8 7 5 4 3 2

1 6

（表9）

第二行满足条件的一种填法是987154632.

定理3 当n=4k+2（k=0, 1，2，„）时，上述问题无解.

证明 假设当n=4k+2（k=0, 1，2，„）时，上述问题有解，其解如表10所示. 第一行从左到右依次为1~ 4k+2，第二行从左到右依次为a1、a2、a3、其中ai∈{1，、a4k2，2，„，4k+ 2}，i∈{1，2，„，4k + 2} . | i -

ai| ∈{0，1，„，4k + 1} .

1 2

„

„

4k+1 4k+2

a1

a2

a4k1

a4k2

4k2 （表10）

因为 i -

ai 、| i -

ai| 的奇偶性与 i +

ai的奇偶性相同，所以ii1|ia|

4k2的奇偶性与4k2i1(ia) 的奇偶性相同 .而

ii1|iai|014k(4k1)4k2i14k2i14k2i1ii4k24k2i1(4k1)(4k2)(4k1)(2k1)是奇数.

24k2i1（ia）ia这说明i2i 是偶数.

i|ia| 的奇偶性与(ia) 的奇偶性不相同 .

i1矛盾！故知“ 假设当n=4k+2（k=0, 1，2，„）时，上述问题有解”是错误的. 所以当n=4k+2（k=0, 1，2，„）时，上述问题无解 .

定理3得证 .

定理4 当n=4k+3（k=0, 1，2，„）时，上述问题无解.

仿证明定理3的方法证明. 略.

(710600 西安市临潼区秦陵南路53号西安美术学院临潼校区 王凯成)

注：2006年8月在湖北大学召开全国第六届初等数学研究学术交流会，大会共收到论文132篇，经全国第六届初等数学研究学术交流会论文评审组评选，共有16篇论文获得一等奖，22篇论文获得二等奖。本文获得一等奖。

本文发表于陕西师范大学主办的《中学数学教学参考》2009年第12期.


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