前苏联数学的飞速发展

2024年3月19日发(作者：2021泰州一模数学试卷)

前苏联数学(shùxué)的飞速发展

1966年，国际数学家会议在莫斯科举行。人们普遍认为，苏联数学学派已经领先于

世界数坛，成为世界数学中心之一。过去只见德、法、英语数学著作(zhùzuò)译成英文，

现在则是大量俄文数学著作译为英文的时代。甚至许多俄文数学期刊，美国都有全文的译

文。研读数学的大学生，往往把俄语作为必读的外国语。

俄国的数学是有良好(liánghǎo)传统的。早在18世纪，贝努利家庭的尼古拉

（Nicolas Ⅲ，1695～1726）和丹尼尔（Daniel，1700～1782）来到俄国工作，并向

沙皇叶卡德林娜一世(yī shì)推荐欧拉。这位大数学家在彼得堡曾工作31年。

19世纪的俄国数学家中，最著名(zhùmíng)的当然是罗巴切夫斯基

（Loba’schvshi，1793～1856），以创立非欧几何蜚声全球，他所在的喀山大学多受

德国的影响。与罗巴切夫斯基同时的有奥斯特洛格拉德斯基（Ostrogradsky，1801～

1861），他擅长分析，在彼德堡科学院执教，受法国影响较多。在19世纪后半叶，俄国

数学学派的一位代表人物是彼得堡的契比雪夫（Tschebyscheff，1821～1894），他亦

以分析见长，在概率论、逼近论和数论方面诸多贡献。他在1847年任彼得堡大学教授以

后，培养了大批优秀学生，逐渐形成了彼得堡学派。

契比雪夫的学生中最有名的有两个。一个是A·A·马尔柯夫（Markov，1856～

1922）。他在1893年任彼得堡教授，以概率论研究著称，特别是提出一种随机过程理

论——现在称为“马尔柯夫过程”，应用甚广。另一个优秀学生是李雅普诺夫

（Liapounoff，1857～1918），他在彼得堡取得博士学位以后，在克拉科夫和敖德萨的

大学任教，创立微分方程的稳定性理论，影响深远。

进入20世纪(shìjì)以后，莫斯科的函数论学派作出了巨大贡献。它的创始人是叶果

洛夫（Egorov，1869～1931）和鲁金（Lusin，1883～1950），关于可测函数的叶果

洛夫(luò fū)定理已列入任何一本实变函数论的教科书。鲁金是叶果洛夫的学生，1906年

去巴黎大学深造，1910年聘为莫斯科大学助教，1911～1913年又去巴黎和哥廷根游

学，深受法国函数论学派（主要是勒贝格）的影响。1912年，鲁金证明可测函数的构造

定理。1915年发表他的博士论文《积分及三角级数》，成为莫斯科数学家日后发展的起

点。

较鲁多稍为年轻(niánqīng)的是亚历山大罗夫（Alexandroff，1896～1982）和乌利

松（Urysohn，1898～1924），他们都是鲁金的学生。十月革命以后毕业于莫斯科大

学，他们在实变函数论领域(lǐnɡ yù)内作出贡献，然后都转向拓扑学。1923年，苏维埃

国家刚建立不久，就委派他们出访哥廷根，受到热烈赞扬。1924年，他们再度去德、

荷、法诸国，布劳威尔、豪斯道夫（Hausdorff）、克莱因等著名数学家给予高度评价，

乌利松在布列塔尼海滨游泳时不幸溺水(nì shuǐ)而死，年仅26岁。亚历山大罗夫成为本

世纪拓扑学的先驱之一。

莫斯科大学在拓扑方面的一位著名数学家是邦德里雅金（Pontrjagin，1908～ ）。

他的数学生涯是传奇式的。14岁那年，他由于做化学实验发生严重事故，以至双目失

明。后来在他母亲帮助下，走上数学道路。1929年，他毕业于莫斯科大学数学系。毕业

后在斯捷克洛夫（Steklov）数学研究所工作。他的成就十分广泛，著名于世的工作有邦

德里雅金示性类、同位理论、连续群的表示、极值原理、振动原理、变分学等问题。他双

目失明，请秘书代读，用他惊人的记忆力和敏捷的思维得出许多常人所得不到的结果，然

后口述记录发表。

和邦德里雅金同年出生的索波列夫（Sobolev，1908～ ）也是本世界一位著名的

微分方程学者。他于1936年运用广义函数论的思想，构造微分方程在某种空间上的广义

解。这种空间已普遍称之为索波列夫空间，是现代微分方程论的先驱性工作。

在莫斯科学派中，本世纪出生(chūshēng)的数学家可尔莫哥洛夫（Kolmogoroff，

1903～ ）成绩最为辉煌。1925年毕业于莫斯科大学后，首先在函数论方面作了大量工

作。三角级数、测度论、集论、积分论等领域都有他的足迹。他构造出一个可和函数，其

富氏级数处处发散的例子，曾经引人注目。接着他搞过逻辑，研究过上同调理论，接触过

力学和微分方程。但是柯尔莫哥洛夫最著名(zhùmíng)的工作是在概率论的公理方面。他

第一个把概率论建立在完全严格的数学基础之上，其工作则是莫斯科学派的看家本领——

实变函数论和测度论。1933年的这一工作(gōngzuò)已经载入数学史册，成为苏联数学

最光辉的一页。

回顾勒贝格创立积分论时，在西欧诸国引起关于病态函数的争论，一般人裹足不前。

但叶果洛夫和鲁金却看准了这一生长点，抓住不放，后足先登，做出了一批成绩。然而(r

án ér)在实变函数论研究上形成集体，构成学派，迅速跃入世界前列。同时莫斯科学派并

未停止在函数论领域内，而是扩大战果、四面出击，在拓扑学、微分方程、概率论方面充

分运用实变函数的工具加以发挥，终于形成了新的高峰。莫斯科学派的发展壮大，。也是

和十月革命以后社会主义制度的优越性分不开的。但是科学方法正确，路子对头，确实收

到了事半功倍之效。

柯尔莫哥洛夫(luò fū)和辛钦（Khintchine，1894～1959）一起发展了“马尔柯夫

过程”和“平稳随机过程”，并将它们用于大炮自动控制和一系列工农业生产中去，在卫

国战争中立了功。柯尔莫哥洛夫在第二次大战中继续做了许多开创性的工作，如空间的

“熵”概念等。

苏联的列宁格勒（即彼得堡）学派和莫斯科学派都得到不断发展。当前(dāngqián)

最负盛名的老一辈数学家中，还应该提到的有两人：

一是康脱洛维奇（Kantorovic，1912～ ）。他在1930年毕业于列宁格勒大学，

1934年即升为教授，1958～1971年他是西伯利亚科学分院数学研究的领导人。他的工

作包括集合论、半序空间及其泛函、泛函与计算方法、算子(suàn zǐ)方程的近似解。他最

出名的工作是在研究国民经济计划上提出的线性规划解法，目前已成为数学经济学最基本

的课题，具有强大的生命力。

二是盖尔芳特（Gelfand，1913～ ）。他的成名(chéng míng)之作是1941年在

莫斯科大学当研究生时的创造——“赋范环论”，将经典分析、代数、泛函分析巧妙地组

合在一起，得出完美无比的理论系统。后来他的工作涉及无限(wúxiàn)维表示论、广义函

数论的创立、自守函数、谱分解等理论。70年代后，转向代数研究，并致力于生物数

学。盖尔芳特是犹太人，和他长期合作的纳依玛克（Naimark）也是犹太人。顺便(shùbi

àn)指出，盖尔封特（Gelfond，1906～1968）也是莫斯科大学教授，以解决希尔伯特第

七问题著名，二者的姓只有一字之差，常常被人混同。

苏联数学的特点民扎根于基础教育。青年人受到严格的数学训练，在理论上见长，应

用数学过去稍为逊色，但近年来也有改观。当今世界上的任何数学方向几乎都有苏联数学

家参加。除了列宁格勒和莫斯科的大学派之外，在敖德萨的克莱因（Krein），做了许多

有关泛函分析方面的工作。在乌克兰的基辅，契伯塔辽夫（Tschbotalev）领导的工数学

派很有成绩。喀山学派也连续有人才冒出。近年来，在解决世界难题方面，苏联数学家为

数最多，而且都是年轻人，前途未可限量。象普罗哈罗夫（Proholov）、斯科尔霍

（Skolhold）（概率论）、阿诺尔德（Arnold，拓扑学）等人都已名噪一时。1970和

1978两届国际数学会议上，都有苏联数学家获菲尔兹奖。一般认为，苏联数学研究的兵

团备力量极强，在数坛上还将继续称雄一个时期。

在考察苏联数学发展只时，不可不提到(tí dào)契比雪夫的另一位学生斯捷克洛夫

（Steklov，1864～1926）。他在彼得堡大学毕业后，曾在克拉科夫工作，本人有过若干

工作，不甚著名，他的功绩在于组织苏维埃的数学研究。他从十月革命胜利后的1918年

起，即投身于数学研究所的建立。在那艰难的年代里，他不知疲倦地做组织工作，帮助已

有成果的数学家出专著，发行(fāháng)数学杂志。1921年，苏联科学院的物理数学研究

所正式成立，斯捷克洛夫主持数学部分的工作，直到1926年去世为止。1934年，数学

和物理分别建所。分别命名为列别捷夫物理研究所和斯捷克洛夫数学研究所，以纪念他们

筹建时的贡献，这一名称一直使用到现在。

内容总结

（1）前苏联数学的飞速发展

1966年，国际数学家会议在莫斯科举行

（2）19世纪的俄国数学家中，最著名的当然是罗巴切夫斯基（Loba’schvshi，

1793～1856），以创立非欧几何蜚声全球，他所在的喀山大学多受德国的影响

（3）另一个优秀学生是李雅普诺夫（Liapounoff，1857～1918），他在彼得堡取

得博士学位以后，在克拉科夫和敖德萨的大学任教，创立微分方程的稳定性理论，影响深

远