归纳原理和数学归纳法

2024年4月10日发(作者：嘉鱼2019调考数学试卷)

第三节 归纳原理和数学归纳法

1．数学归纳法的理论依据

归纳法和演绎法都是重要的数学方法．归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；

不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现思维，不适用数学严格证明．

数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是下列佩亚

诺公理Ⅰ—Ⅴ中的归纳公理：

Ⅰ．存在一个自然数0∈N；

Ⅱ．每个自然数a有一个后继元素a′，如果a′是a的后继元素，则a叫做a′的生成元

素；

Ⅲ．自然数0无生成元素；

Ⅳ．如果a′=b′，则a=b；

Ⅴ．(归纳公理)自然数集N的每个子集合M，如果M含有0，并且含有M内每个元

素的后继元素，则M＝N

自然数就是满足上述佩亚诺公理的集合N中的元素．关于自然数的所有性质都是这些

公理的直接推论．由佩亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素，如果记0′＝1，

1′=2，2′=3，…，n′=n＋1，…，则

N=｛0，1，2，…，n，…｝

由佩亚诺公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数，在本质上是一致的．90

年代以前的中学数学教材中，将自然数的起始元素视作1，则自然数集即为正整数集．现

在已统一采取上面的记法，将0作为第一个自然数．

定理1(最小数原理)自然数集N的任一非空子集A都有最小数．

这本是自然数集N关于序关系∈(＜)为良序集的定义．现在用归纳公理来证明．

证 设M是不大于A中任何数的所有自然数的集合，即

M=｛n｜n∈N且n≤m，对任意m∈A｝

由于A非空，至少有一自然数a∈A，而 a＋1(＞a)不在M中．所

然，就有

1° 0∈M(0不大于任一自然数)；

2° 若m∈M，则m＋1∈M．

根据归纳公理，应有M＝N．此与M≠N相矛盾．

这个自然数m

0

就是集合A的最小数．因为对任何a∈A，都有

m

0

又与m

0

的选取相矛盾．

意a∈A，于是m

0

＋1∈M，这