2024年4月16日发(作者：中招数学试卷word免费)
排列与组合复习课
教学目的：
1．使学生掌握两个原理和排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用．
2．通过问题形成过程和解决方法的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力．
3．引导养成学生分析过程、深刻思考、灵活运用的习惯和态度．
教学过程：
一、知识点：
1．分类计数原理
2．分步计数原理
3．排列概念：从
n
个不同元素中，任取
m
（
mn
）个元素（这里的被取元素各不相同按
照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列．
．．．．．．．．．
4．排列数的定义：从
n
个不同元素中，任取
m
（
mn
）个元素的所有排列的个数叫做从
m
表示．
n
个元素中取出
m
元素的排列数，用符号
A
n
m
5．排列数公式：
A
n
n(n1)(n2)(nm1)
（
m,nN
,mn
）
6．阶乘：
n!
表示正整数1到
n
的连乘积，叫做
n
的阶乘规定
0!1
．
m
7．排列数的另一个计算公式：
A
n
=
n!
．
(nm)!
8． 组合的概念：一般地，从
n
个不同元素中取出
m
mn
个元素并成一组，叫做从
n
个
不同元素中取出
m
个元素的一个组合．
9．组合数的概念：从
n
个不同元素中取出
m
mn
个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个
m
不同元素中取出
m
个元素的组合数．用符号表示．
C
n
．．．
A
n
m
n(n1)(n2)(nm1)
10．组合数公式：
C
m
A
m
m!
m
n
或
C
n
m
n!
(n,mN
,且mn)
．
m!(nm)!
mnm
0
11．组合数的性质1：
C
n
．规定：
C
n
C
n
1
．
mm1
12．组合数的性质2：
C
n
＝+ ．
C
C
n
1n
m
二、解题思路：
解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，
还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、
排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解
题方法：
1．特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特
殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊
优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有
________个.（答案：30个）
2．科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，
进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算
机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有
_______种.（答案：350）
3．插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得
以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600)
4．捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成
“一个”元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一
起的不同坐法是________种.（答案：240）
5．排除法 (间接法，去伪法)：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题
的方法.
6．排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从
而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：
从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，
所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案：30）
三、讲解范例：
例1 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数
(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；
（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数．
例2 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？
例3 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？
四、课堂练习：
1.从{1、2、3、4、…、20}中任选3个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列
最多有（ ）
90个 （B）180个 （C）200个 （D）120个
2.男女学生共有8 人，从男生中选取2人，且从女生中选取1人，共有30种不同的选法，
其中女生有（ ）
（A）2人或3人 （B）3人或4人 （C）3人 （D）4人
3.从编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的11个球中，取出5个小球，使这
5个小球的编号之和为奇数，其方法总数为（ ）
（A）200 （B）230 （C）236 （D）206
4.兰州某车队有装有A，B，C，D，E，F六种货物的卡车各一辆，把这些货物运到西安，要
求装A种货物，B种货物与E种货物的车，到达西安的顺序必须是A，B，E（可以不相邻，
且先发的车先到），则这六辆车发车的顺序有几种不同的方案（ ） （A）80 （B）120
（C）240 （D）360
5.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数
之间的五位数的个数是（ ）
（A）48 （B）36 （C）28 （D）12
6.某药品研究所研制了5种消炎药
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
,
4种退烧药
b
1
,b
2
,b
3
,b
4
,
现从中取出两
种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验，但又知
a
1
,a
2
,
两种药必须同时使用，且
a
3
,b
4
两种药不能同时使用，则不同的实验方案有（ ）
（A）27种 （B）26种 （C）16种 （D）14种
7.某池塘有A，B，C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2 人，C船可乘1 人，今天3个成
人和2 个儿童分乘这些船只，为安全起见，儿童必须由成人陪同方能乘船，他们分乘这些
船只的方法共有（ ）
120种 （B）81种 （C）72种 （D）27种
8.梯形的两条对角线把梯形分成四部分，有五种不同的颜色给这四部分涂色，
每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同的颜色，
则不同的涂色方法有（ ）
180种 （B）240种 （C）260种 （D）320种
9.10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子内，要求每个盒子的球数不小于它的编
号数，则不同的放法共有
______
种
10.从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺
序不变）的不同的排列共有（ ）
120个 （B）480个 （C）720个 （D）840个
11.将5枚相同的纪念邮票和8张相同的明信片作为礼品送给甲、乙两名学生，全部分完且
每人至少有一件礼品，不同的分法是（ ）
（A）52 （B）40 （C）38 （D）11
五、小结 ：
m
1.ｍ个不同的元素必须相邻，有
A
m
种“捆绑”方法。
n
2．ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有
A
m
种
不同的“插入”方法。
3．ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有
C
n
m
种不同的“插入”方法。
4．若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除
m
以
A
m
。
六、作业布置
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元素,问题,相邻,排列,组合,解决,方法
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