2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)理科数学及答案解析_百

2024年4月11日发(作者：小学数学试卷分数占比)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）

理科数学

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1.已知集合

M{x|4x2}

，

N{x|x

2

x60}

，则

MN

（ ）

A.

{x|4x3}

B.

{x|4x2}

C.

{x|2x2}

D.

{x|2x3}

2.设复数

z

满足

zi1

，

z

在复平面内对应的点为

(x,y)

，则（ ）

A.

(x1)

2

y

2

1

B.

(x1)

2

y

2

1

C.

x

2

(y1)

2

1

D.

x

2

(y1)

2

1

3.已知

alog

2

0.2

，

b2

0.2

，

c0.2

0.3

，则（ ）

A.

abc

B.

acb

C.

cab

D.

bca

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

51

2

（

51

2

0.618

称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐

的长度之比也是

51

2

.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为

105cm

，头顶至脖子下端的长度为

26cm

，则其身高可能是（ ）

A.

165cm

B.

175cm

C.

185cm

D.

190cm

5.

函数

f(x)

sinxx

cosxx

2

在

[



,



]

的图像大致为（ ）

A. B. C. D.

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳

爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰

有

3

个阳爻的概率是（ ）

A.

5

11

11

16

B.

32

C.

21

32

D.

16

7.

已知非零向量

a,b

满足

a2b

，且

(ab)b

，则

a

与

b

的夹角为（ ）

A.



2



5

6

B.

3

C.

3

D.



6

1

8.右图是求

2+

1

的程序框图，图中空白框中应填入（ ）

2+

1

2

A.

A

1

2A

B.

A2

111

A

C.

A1

2A

D.

A

12A

9.记

S

n

为等差数列



a

n



的前

n

项和.已知

S

4

0

，

a

5

5

，则（ ）

A.

a5

B.

a

2

n

2n

n

3n10

C.

S

n

2n8n

D.

S

1

n



2

n

2

2n

10.已知椭圆

C

的焦点为

F

1

(1,0)

，

F

2

(1,0)

，过

F

2

的直线与

C

交于

A

，

B

两点.若

|AF

2

|2|F

2

B|

，

|AB||BF

1

|

，则

C

的方程为（ ）

x

2

x

2

2

y1

B.

3



y

2

2

1

C.

x

2

4



y

2

3

1

D.

x

2

5



y

2

A.



2

4

1

11.

关于函数

f(x)sinxsinx

有下述四个结论：

①

f(x)

是偶函数 ②

f(x)

在区间

(



2

,



)

单调递增

③

f(x)

在







,





有4个零点 ④

f(x)

的最大值为

2

其中所有正确结论的编号是（ ）

A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③

12.

已知三棱锥

PABC

的四个顶点在球

O

的球面上，

PAPBPC

，

ABC

是边长为

2

的正三角形，

E,F

分别是

PA

，

AB

的中点，

CEF90

，则球

O

的体积为（ ）

A.

86



B.

46



C.

26



D.

6



二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.曲线

y3(x

2

x)e

x

在点

(0,0)

处的切线方程为 .

14.记

S

n

为等比数列



a

n



的前

n

项和，若

a

1



1

3

，

a

2

4

a

6

，则

S

5



.

15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的

1

比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为

0.6

，客场取胜的概率为

0.5

，且各场比赛相互独立，则甲队以

4:1

获胜的概率是

.

22

16.已知双曲线C:

x

a

2



y

b

2

1(a0,b0)

的左、右焦点分别为

F

1

,F

2

，过

F

1

的直线与

C

的

两条渐近线分别交于

A,B

两点.若

uuu

F

r



uu

AB

ur

,

uuu

F

ruuur

1

A

1

BF

2

B0

，则

C

的离心率为 .

三、解答题（本大题共5小题，共60分）

17.

ABC

的内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

.设



sinBsinC



2

sin

2

AsinBsinC

.

（1）求

A

；

（2）若

2ab2c

，求

sinC

.

18.如图，直四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的底面是菱形，

AA

1

4,AB2,BAD60

，

E,M,N

分别是

BC,BB

1

,A

1

D

的中点.

（1）证明：

MN//

平面

C

1

DE

；

（2）求二面角

AMA

1

N

的正弦值.

19.已知抛物线

C:y

2

3x

的焦点为

F

，斜率为

3

2

的直线

l

与

C

的交点为

A

，

B

，与

x

轴的交点为

P

.

（1）若

|AF||BF|4

，求

l

的方程；

（2）若

AP3PB

，求

|AB|

.

20.已知函数

f(x)sinxln(1x)

,

f



(x)

为

f(x)

的导函数.证明：

(1)

f



(x)

在区间

(1,



2

)

存在唯一极大值点；

(2)

f(x)

有且仅有

2

个零点.

21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案

如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一

轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就

停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠

治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得

1

分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治

愈则乙药得1分，甲药得

1

分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为



和



，一轮实验中甲药的得分记为

X

．

（1）求

X

的分布列；

（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，

p

i

(i0,1,,8)

表示“甲药的累计得分为

i

时，最终认为甲

药比乙药更有效”的概率，则

p

0

0

，

p

8

1

，

p

i

ap

i1

bp

i

cp

i1

(i1,2,,7)

，其中

aP(X1)

，

bP(X0)

，

cP(X1)

．假设



0.5

，



0.8

．

（i）证明：

{p

i1

p

i

}(i0,1,2,,7)

为等比数列；

（ii）求

p

4

，并根据

p

4

的值解释这种实验方案的合理性．

四、选做题（2选1）（本大题共2小题，共10分）





1t

2

22.在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

的参数方程为



x



1t

2

4t

(t为参数)

.以坐标原点

O

为极点，

x

轴的正半







y

1t

2

轴为极轴建立极坐标系，直线

l

的极坐标方程为

2



cos



3



sin



110

.

（1）求

C

和

l

的直角坐标方程；

（2）求

C

上的点到

l

距离的最小值.

23.

已知

a,b,c

为正数，且满足

abc1

，证明：

（1）

1

a



1

b



1

c

a

2

b

2

c

2

（2）

(ab)

3

(bc)

3

(ca)

3

24

2

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）

理科数学答案

1.答案：C

解答：

由题意可知,

N{x|2x3}

,又因为

M{x|4x2}

,则

MN{x|2x2}

，故选

C

.

2.答案：C

解答：

∵复数

z

在复平面内对应的点为

(x,y)

，

∴

zxyi

∴

xyii1

∴

x

2

(y1)

2

1

3.答案：B

解答：

由对数函数的图像可知：

alog

2

0.20

；再有指数函数的图像可知：

b2

0.2

1

，

0c0.2

0.3

1

，于

是可得到：

acb

.

4.答案：B

解答：

方法一：

设头顶处为点

A

，咽喉处为点

B

，脖子下端处为点

C

，肚脐处为点

D

，腿根处为点

E

，足底处为

F

，

BDt

，

51

2





，

根据题意可知

AB

BD





,故

AB



t

；又

ADABBD(



1)t

，

AD



1

DF





，故

DF



t

；

所以身高

hADDF

(



1)

2



t

，将





51

2

0.618

代入可得

h4.24t

.

根据腿长为

105cm

，头顶至脖子下端的长度为

26cm

可得

ABAC

，

DFEF

；

即



t26

，



1



t105

，将





51

2

0.618

代入可得

40t42

所以

169.6h178.08

，故选B.

方法二：

由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度

26cm

可估值为头顶

至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是

51

2

（

51

2

0.618

称为黄

金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为

42cm

；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相

加可得头顶至肚脐的长度为

68cm

，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

51

2

可计算出肚脐至

足底的长度约为

110

；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为

178cm

，与答案

175cm

更为接近，故选B.

5.答案：D

解答：

∵

f(x)

sin



x



x

cos



x







x



2





sinxx

cosxx

2

f(x)

，

∴

f(x)

为奇函数，排除A，





又

f(



sin



22

2

)

42



cos







2



2

0

，排除C，

2









2





f(



)

sin







cos











2





1



2

0

，排除B，故选D.

6.答案：A

解答：

每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有

2

6

种，在

6

个位置上恰有

3

个是阳爻的情况有

C

3

6

种，所以

P

C

3

6

205

2

6



64



16

.

答案：

7.答案B

解答：

设

a

与

b

的夹角为



，

∵

(ab)b

∴

(ab)babcos



b

2

=0

∴

cos



=

1

2

∴



=



3

.

8.答案：A

解答：

把选项代入模拟运行很容易得出结论

A=

1

选项A代入运算可得

2+

1

，满足条件，

2+

1

2

1

选项B代入运算可得

A=2+

1

2+

1

,不符合条件，

2

选项C代入运算可得

A

1

2

,不符合条件，

选项D代入运算可得

A1+

1

4

,不符合条件.

9.答案：A

解析：

依题意有





S

4

4a

1

6d0



a

1

3

2

a

，可得



a



，

a

n

2n5

，

S

n

n4n

.

5



1

4d5



d2

10.答案：B

解答：

由椭圆

C

的焦点为

F

1

(1,0)

，

F

2

(1,0)

可知

c1

，又



|AF

2

|2|F

2

B|

，

|AB||BF

1

|

，可设

|BF

2

|m

，

则

|AFm

，

|BFBF

1

2

|2

1

||AB|3m

，根据椭圆的定义可知

|

1

||BF

2

|m3m2a

，得

m

2

a

，所

以

|BF

131

x

2

y

2

2

|

2

a

，

|AF

2

|a

，可知

A(0,b)

，根据相似可得

B(

2

,

2

b)

代入椭圆的标准方程

a

2



b

2

1

，

得

a

2

3

，

b

2

a

2

c

2

2

，



椭圆

C

的方程为

x

2

y

2

3



2

1

.

11.答案：C

解答：

因为

f(x)sinxsin(x)sinxsinxf(x)

，所以

f(x)

是偶函数，①正确，

因为

5



2



5



6

,

3

(

2

,



)

，而

f(

6

)f(

2



3

)

，所以②错误，

画出函数

f(x)

在







,





上的图像，很容易知道

f(x)

有

3

零点，所以③错误，

结合函数图像，可知

f(x)

的最大值为

2

，④正确，故答案选C.

12.答案：D

解答：

PAx

，则

cosAPC

PA

2

PC

2

-AC

2

x

2

x

2

4x

2

设

2

2PAPC

=

2xx



x

2

222

2PEPCcosAPC



x

2

xx

2

2x

2

∴

CEPEPC

2

4

x2

2

x

x

2



4

2

∵

CEF90

，

EF

1

2

PB

x

2

,CF3

∴

CE

2

EF

2

CF

2

,即

x

2

x

2

4

2

4

3

，解得

x2

，

∴

PAPBPC2

又

ABBCAC2

易知

PA,PB,PC

两两相互垂直，

故三棱锥

PABC

的外接球的半径为

6

2

，

∴三棱锥

PABC

的外接球的体积为

4



3

3







6







2





6



，故选D.



13.答案：

y3x

解答：

∵

y



3(2x1)e

x

3(x

2

x)e

x

3(x

2

3x1)e

x

，

∴结合导数的几何意义曲线可知在点

(0,0)

处的切线方程的斜率为

k3

，

∴切线方程为

y3x

.

14.答案：

S

121

5



3

解答：

∵

a

1

1

3

，

a

2

4

a

6

设等比数列公比为

q

∴

(a

3

)

2

a

5

1

q

1

q

∴

q3

∴

S

121

5



3

15.答案：

0.18

解答：

甲队要以

4:1

，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，

于是分两种情况：

C

1

0.60.40.5

2

0.60.6

2

C

1

22

0.50.50.60.18

.

16.答案：

2

2