浅谈高中数学函数与回归方程

2024年4月2日发(作者：合肥新站中考二模数学试卷)

浅谈高中数学函数与回归方程

函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。简单

地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是

非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯

一的一个元素y与之对应， 就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），

称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子

集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则、定义

域、值域是函数的三要素。

注意：对应法则并不等同于函数，因为运算法则并不依赖于某个定义域，它

可以作用于任何一个非空集合，如f(x)=2x+1，

x={1,2},y={3,5},u={3,4},v={7,9},则f(x)=y,f(u)=v。由此可见，对应法则是独

立于特定定义域之外的一个运算法则。运算法则或者称对应法则可以作为算子独

立存在如微分算子，而函数则必须有其特定的定义域才有意义，否则不能称之为

函数。

回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量

关系的一种统计分析方法。运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，

可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可

分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和

一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性

回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之

间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

回归分析也有相应的几个特点：

(1)两个变量不是对等的，要区分自变量和因变量。在进行回归分析时，必

须先根据研究目的，确定哪个变量是自变量，哪个变量是因变量。

(2)回归分析可以依据回归方程，用自变量数值推算因变量的估计值。

(3)在互为因果关系的一元线性回归方程的两个变量中，从方程式看，有两

个回归方程：一个是以x为自变量，y为因变量的回归方程，称为“y倚x回归方

程”；另一个是以y为自变量，x为因变量的回归方程，称“x倚y回归方程”。用

图形表示，是两条不同斜率的回归直线。两个方程是互相独立的，不能互相替换。

这就是说“x倚y回归方程”，x是因变量，y是自变量，只能用y推算x，不能用

x推算y；“y倚x回归方程”，x是自变量，y是因变量，同样只能用x推算y，

不能用y推算x。

(4)直线回归方程中的回归系数有正负号， 正回归系数表示上升直线，说明

两变量之间是同方向变动；负回归系数表示下降直线，说明两变量之间是反方向

变动。

(5)回归方程对资料的要求，因变量是随机的， 而自变量不是随机的，是给

定的数值。将给定的自变量数值代入回归方程中，求出的因变量的估计值，不是

一个确定的数值，而是许多可能数值的平均数。因此，可以计算估计值的标准误

差。

回归分析主要是通过回归方程进行的。在回归分析中，有四种类型，即，一

元线性回归方程，多元线性回归方程，一元非线性回归方程和多元非线性回归方

程。

回归方程的主要任务，在于从自变量变动推算出因变量变动的估计值(或称

理论值、平均值)。这个估计值可能与实际值一致，也可能不一致，因而就产生

了估计值的代表性问题。我们知道，各估计值与实际值的离差，有正有负，有大

有小。回归方程的代表性，不可以按某一个离差来决定，而是要从一系列离差即

总离差的情况来决定。因此，需要计算一个指标，综合反映这种误差的大小和回

归方程的代表性。这个指标称为估计标准误差。