高中数学必修三线性回归方程

2024年4月2日发(作者：2019新疆中考数学试卷)

高中数学必修三讲义

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统计第三讲：变量间的相关关系

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一、两个变量的线性相关

1、线性回归方程：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有

线性相关关系，这条直线叫做回归直线，回归直线对应的方程叫做回归直线方程（简称回归方程）。

2、回归方程求法：设已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据

(x

1

,y

1

),(x

2

,y

2

),,(x

n

,y

n

)

，直线

方程

ybxa

，其中

a,b

是待定参数.

nn



(x

i

x)(y

i

y)



x

i

y

i

nxy





i1





i1

n



b

n

2

. 经数学上的推导，

a,b

的值由下列公式给出：



22

(x

i

x)x

i

nx





i1i1







aybx

其中，回归直线的斜率为

b

，截距为

a

，即回归方程为

ybxa

.

上述求回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.

3、回归方程应用：利用回归方程，我们可以进行预测并对总体进行估计.

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二、相关关系的强弱

1、相关系数：若相应于变量

x

的取值

x

i

，变量

y

的观测值为

y

i

(1in)

，则变量

x

与

y

的相关系数

r



(xx)(yy)

ii

i1

n



(x

i

x)

2



(y

i

y)

2

i1i1

nn

，即

r



xynxy

ii

i1

n

(



x

i

2

nx)(



y

i

2

ny)

i1i1

n

2

n

，

2

2、通常用

r

来衡量

x

与

y

之间的线性关系的强弱

（1）

r

的范围为

1r1

，

r

为正时，

x

与

y

正相关；

r

为负时，

x

与

y

负相关

（2）

|r|

越接近于1，

x

与

y

的相关程度越大；当

|r|1

时，所以数据点都在一条直线上.

（3）

|r|

越接近于0，二者的相关程度越小

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典例1 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如

下：

零件数x（个）

加工时间y（分钟）



10 20 30 40 50

64 69 75 82 90

由表中数据，求得线性回归方程为

y

=0.65x+

a

，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为（ ）

A．101分钟 B．102分钟 C．103分钟 D．104分钟



典例2 下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过 （ ）

x

y

A．点（2，2）

0

1

1

3

2

5

3

7

D．点（1.5，4） B．点（1.5，2） C．点（1，2）

典例3 对相关系数r，下列说法正确的是 （ ）

A．r越大，线性相关程度越大 B．r越小，线性相关程度越大

C．|r|越大，线性相关程度越小，|r|越接近0，线性相关程度越大

D．|r|≤1且|r|越接近1，线性相关程度越大，|r|越接近0，线性相关程度越小

典例4 假设关于某设备的使用年限

x

(年)和所支出的年平均维修费用

y

(万元)(即维修费用之和除以使用年

限),有如下的统计资料：

使用年限

x

维修费用

y

（

1

）画出散点图；

（

2

）从散点图中发现使用年限与所支出的年平均维修费用之间关系的一般规律；

（

3

）求回归方程；

（4）估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?

2

2.2

3

3.8

4

5.5

5

6.5

6

7.0

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典例5 中国柳州从2011年起每年国庆期间都举办一届国际水上狂欢节，到2016年已举办了六届，旅游部

门统计在每届水上狂欢节期间，吸引了不少外地游客到柳州，这将极大地推进柳州的旅游业的发展，现将

前五届水上狂欢节期间外地游客到柳州的人数统计如下表：

年份

水上狂欢节届编号

x

外地游客人数

y

（单位：十万）

2011年

1

0.6

2012年

2

0.8

2013年

3

0.9

2014年

4

1.2

2015年

5

1.5

（1）求

y

关于

x

的线性回归方程

ybxa

；

（2）旅游部门统计在每届水上狂欢节期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）

中的线性回归方程，预测2017年第7届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为本市增加的旅游收入达多

少？

典例6 保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失

数额y（单位：千元）有如下的统计资料：

距消防站距离x（千米）

火灾损失费用y（千元）

1.8

17.8

2.6

19.6

3.1

27.5

4.3

31.3

5.5

36.0

6.1

43.2

如果统计资料表明y与x有线性相关关系，试求：

（Ⅰ）求相关系数r（精确到0.01）；（Ⅱ）求线性回归方程（精确到0.01）；

（III）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失（精确到0.01）．

参考数据：



y

i

=175.4，：



x

i

y

i

=764.36，



（x

i

–

x

）（y

i

–

y

）=80.30，



（x

i

–

x

11i1i1

666n

）

2

=14.30，

ii



（y

i

–

y

）

i1

n

2

≈471.65，



(x

i

x)

2



(y

i

y)

2

≈82.13 参考公式：相关系数r=

i1i1

nn





xx



yy





(xx)



(yy)

i1

n

2

n

i1

i

i1

i

n

n

，

2

ˆ





i1



ˆ

t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b

ˆ

a

ˆ

+

b

回归方程

y

x

i

x



y

i

y



n

i1



(x

i

x)

2

ˆ

x．

ˆ

y–b

，

a