2024年4月2日发(作者：零失误高中数学试卷答案)

线性回归方程

教学目标:

（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法；

（2）掌握散点图的画法及在统计中的作用；

（3）掌握回归直线方程的实际应用。

教学重点: 线性回归方程的求解。

教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。

教学过程:

一、复习练习

1．下例说法不正确的是（ B ）

A.在线性回归分析中，

x

和

y

都是变量；

B.变量之间的关系若是非确定关系,那么

x

不能由

y

唯一确定;

C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系;

D.相关关系是一种非确定性关系.

ˆ

0.5x0.81

,则

x

=25时,

y

的估计值为__11.69____. 2．已知回归方程

y

3．三点

(3,10),(7,20),(11,24)

的线性回归方程是 （ D ）

A

y1.751.75x

B

y1.755.75x

ˆˆ

ˆˆ

C

y1.755.75x

D

y1.751.75x

4．我们考虑两个表示变量

x

与

y

之间的关系的模型，

为误差项，模型如下：

模型１:

y64x

：；模型２：

y64xe

．

（１）如果

x3,e1

，分别求两个模型中

y

的值；

（２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型．

解 (1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18;

模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.

(2)模型１中相同的x值一定得到相同的y值.所以是确定性模型；模型２中相同的x值，

因

不同，且

为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。

二、典例分析

例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10

次试验，测得数据如下：

零件个数

x

（个）

加工时间

y

（分）

10 20 30 40 50 60

70

80 90 100

62 68 75 81 89 95 102 108 115 122

请判断

y

与

x

是否具有线性相关关系，如果

y

与

x

具有线性相关关系，求线性回归方

程．

解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性

相关关系．由测得的数据表可知：

x55,y91.7,

x

i

38500,

y

i

87777,

x

i

y

i

55950

22

i1i1i1

101010

b

xy10xy

ii

i1

10

10

x

i

2

10x

i1

2

55950105591.7

0.668

2

385001055

aybx91.70.6685554.96

因此，所求线性回归方程为

ybxa0.668x54.96

例2、已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：

x

y

45 42 46 48 42 35 58 40 39 50

6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.59 8.72

x

(血球体积

,ml

)，

y

（红血球数，百万）

（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程并画出图形．

x

解：

1

(45424648423558403950)44.50

10

y

1

(6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72)

10

=7.37

设回归直线方程为

ybxa

b

则

xy10xy

ii

i1

10

10

x

i1

2

i

10x

2

0.175

aybx

= -0.418

所以所求回归直线的方程为

y0.175x0.148

例3、以下是收集到的新房屋销售价格

y

与房屋的大小

x

的数据：

房屋大小

x

（

m

）

80

销售价格

y

（万

元）

（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中

加上回归直线；（３）计算此时

Q(a,b)

和

Q(2,0.2)

的值，并作比较．

解：（1）

35

25

20

销售价格y（万

元）

销售价格y（万元）

2

105

22

110

21.6

115]

24.8

135

29.2 18.4

30

15

10

5

050100150

0

(2)

n5,

x

i

545,x109,

y

i

116,y23.2,

i1i1

5

2

55

x

i1

i

60952,

x

i

y

i

12952

i1

5

b

512952545116

0.1962,a23.20.19621091.8166

2

560952545

所以,线性回归方程为

y0.1962x1.8166

(3)

Q(1.8166,0.1962)5.171,Q(2,0.2)7.0

由此可知,求得的

a1.8166,b0.9162

是函数Q(a,b)取最小值的

a

,

b

值.

三、课堂练习

1.为了考察两个变量

x

和

y

之间的线性相关性,甲乙两位同学各自独立做了10次和15次实

验,并且利用线性回归直线分别为

l

1

,

l

2

,已知两人获得的实验数据中,变量

x

和

y

的数据平

均值都相等,且分别为s,t那么下例说话正确的是( )

A．直线

l

1

和

l

2

一定有公共点(s,t) B．直线

l

1

和

l

2

相交,但交点不一定是(s,t)

C．必有

l

1

//

l

2

D．

l

1

和

l

2

与必定重合

2．已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y（万元），有如下统计资料：

使用年限x

维修费用y

2

2．2

3

3．8

4

5．5

5

6．5

6

7．0

设

y

对

x

程线性相关关系．试求：

（1）线性回归方程

ybxa

的回归系数a,b；

（2）估计使用年限为10年时，维修费用多少？

四、回顾小结：求线性回归方程的步骤：

ˆ

(1)计算平均数x、y，

(2)计算x

i

与y

i

的积，求

x

i

y

i

，

2

(3)计算

x

2

，y

i

，

i

(4)将上述有关结果代入公式，求b，a写出回归直线方程．

五、课外作业： 课本第82页第9题．


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