2024年3月26日发(作者：这些数学试卷上奇葩的答案)

第十二讲 行程问题之相遇与追击

内容概括

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在对小学数学的学

习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三

个基本量，它们之间的关系如下：

（1）速度×时间=路程 可简记为：

s = vt

（2）路程÷速度=时间 可简记为：

t = s÷v

（3）路程÷时间=速度 可简记为：

v = s÷t

显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.

相遇问题：速度和×相遇时间=路程和

S

和

v

和

t

追及问题：速度差×追及时间=路程差

S

差

v

差

t

对于上面的公式大家已经不陌生了，在下面的学习中我们将和小朋友们一起复习回顾以前的相关知

识，而后拓展提高！

相遇问题

【例1】 两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车

多行5千米，4小时后两车相遇了吗？

分析：40 +5 = 45（千米），（40 + 45）×4 = 340（千米），340千米 < 400千米 ，因为两车4小时共行340

千米，所以4小时后两车没有相遇.

【巩固】甲、乙两地相距480千米.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行52千米， 行驶312千米后遇到

从乙地开来的另一辆汽车.如果乙地开来的汽车每小时行42千米，算一算这两辆车是不是同时开出的？

分析：312÷52 = 6（小时），（480—312）÷42 = 4（小时），从甲地开出的汽车行驶6小时，从乙地开出的

汽车行驶4小时，所以说，这两辆车不是同时开出的.

【例2】 大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校，大头儿子从学校回家，他们同时出发，

小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？

分析：大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60(米／分钟)，小头爸爸的速度：(60+24)÷2=42(米／

分钟)，大头儿子的速度：60—42=18(米／分钟).

【前铺】阿呆和小新同时从A、B两地相对出发，阿呆每分钟走20米，小新骑着自己的三轮车每分钟比

阿呆快42米，经过20分钟后两人相遇，你知道A、B两地间的距离吗？

分析：（法1）小新的速度是：每分钟62米，A、B两地间的距离=阿呆走过的路程+小新走过的路程=

20×20+62×20=400+1240=1640（米），请教师画图帮助学生理解分析.注意利用乘法分配律的反向应用就

可以得到公式：

S

和

v

和

t

.对于刚刚学习奥数的孩子，注意引导他们认识、理解进而应用公式.

（法2）直接利用公式：

S

和

v

和

t

=（20+62）×20=1640（米）.

【巩固】孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河

见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距

500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？

分析：建议教师画线段图。我们可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：(200+150)×2=700(千米)，

又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：700+500=1200(千米)。

【例3】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地

S

城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车分

别往南和往北驶去，南辕先生出发2小时后北辙先生才出发，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，

那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?

分析：教师在讲解此题之前可以先将条件稍稍改变成两人同时出发，那么两人虽然不是相对而行，但是仍

合力完成了路程，这样学生就容易得到本题答案，50×2+（50+60）×5=650（千米）.

【例4】 夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点

50米处相遇，求两地的距离是多少米?

分析：根据题意，我们可以画线段图如右图，从

图中可以看出（可让学生先判断相遇点在中点哪

一侧，为什么？）：

夏夏所行路程=全程一半 – 50米 ；

冬冬所行路程=全程一半 + 50米 ；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了50×2=100(米)，冬冬比夏夏每

分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：(60+50)×10=1100(米).

【例5】 甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，

再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西

两镇之间的路程是多少千米？

分析：教师注意帮助学生画图分析.从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程.已知甲

比乙少行120千米，甲每小时比乙少行（70—60 =）10千米，120÷10 = 12（小时），说明相遇时，两辆车

共同行驶了12小时.那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是（60 + 70）×6 = 780

（千米）

【例6】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米，汽车每小时行48

千米．两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回．汽车到甲地立即返回．两车在距离

中点108千米的地方再次相遇，那么甲、乙两地间的路程是多少千米?

分析：在第二次相遇时，甲、乙两车的路程差为：108×2=216 ，从出发到第二次相遇两车共行了：216

÷（54-48）=36小时，第二次相遇两车共行3个全程，所以两车行一个全程用：36÷3=12小时，甲、乙

两地的路程为：（54+48）×12=1224(千米)．

【例7】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进

到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离．

分析：画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行

进的路线)后，可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两

地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距

离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了

95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3

个95千米，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，

可得：95×3-25=285-25=260(千米)．

追击问题

【例8】 龟兔赛跑同时出发，全程7000米，乌龟以每分30米的速度爬行，兔子每分钟跑330米．兔子跑

了10分钟就停下来睡了200分钟，醒来后立即以原速往前跑．当兔子追上乌龟时，离终点的距离是多少

千米?

分析：兔子追乌龟的追及路程差为：30×(10+200)-330×10=3000(米)，兔子追上乌龟的追及时间为：3000

÷(330-30)=10(分)，离终点的距离为：7000-330×(10+10)=400(米).小朋友，你知道谁先到达终点么？

【例9】 小伟和小华从学校到电影院看电影，小伟以每分60米的速度向影院走去，5分后小华以每分80

米的速度向影院走去，结果两人同时到达影院.学校到影院的路程是多少米？

分析：小伟先走的路程是：60×5＝300（米），小华追上小伟所用的时间（也就是小华从学校到影院所用

的时间）是：300÷（80-60）=15（分），学校到影院的路程（也就是小华所走的路程）是：80×15=1200

（米）.

【例10】 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75

米.问家到公园多远？

分析：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去

追赶，追上所需时间是：50×10÷（75-50）=20（分钟），因此，小张走的距离是：75×20＝1500（米）.

【例11】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长

800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第一次超过正南需要多少分钟？第三次超过正南需要多少分钟？

分析：小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据

S

差

v

差

t

，可知小新第一次超过正南需要：800÷

（250-210）=20（分钟），第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要800×3÷（250-210）=60分钟.

【例12】 两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同

时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？

分析：在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地出发，其实追及路程或相隔距

离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度.

环形道一周的长度：（250-200）×45=2250（米）.反向出发的相遇时间：2250÷（250+200）=5（分钟）.

附加题目

【附1】 甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，6小时相遇．相遇后甲车继续行驶4小时到达B地．乙

车每小时行30千米，A、B两地相距多少千米?

分析：乙车6小时行驶路程为：30×6=180(千米)，甲车每小时行驶路程为：180÷4=45(千米)，两地的路

程为：（30+45）×6=450（千米）.

【附2】客车和货车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时走80千米，货车每小时走64千米，两车相

遇后，又以原来的速度继续前进，客车到乙站后立即返回，货车到甲站立即返回，两车再次相遇时，客车

比货车多行384千米，甲、乙两站间的路程是多少千米？

分析：384÷（80-64）= 24（小时），24÷3 = 8（小时），（80 + 64）×8 = 1152（千米）.

【附3】兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1. 3米，妹

每秒走1. 2米，问他们第十次相遇时，妹还需走多少米才能回到出发点？

分析：兄妹从同一地点背向而行，每相遇一次，两人共同要走一周（30米），两人第十次相遇时，共同走

了10周.30÷（1. 3 + 1. 2）= 12（秒），12×10 = 120（秒），1. 2×120 = 144(米），144÷30 = 4（圈）……

24（米），30—24 = 6（米）.


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