2024年3月16日发(作者：沉浸式批改数学试卷大学)
2019年高考数学试卷带答案
一、选择题
1．已知在
ABC
中，
sinA:sinB:sinC3:2:4
，那么
cosC
的值为（ ）
A
．
1
4
B
．
1
4
C
．
2
3
D
．
2
3
2．设向量
a
，
b
满足
a2
，
|b||ab|3
，则
a2b
（ ）
A
．6
B
．
32
C
．10
D
．
42
3．下列四个命题中，正确命题的个数为( )
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线一定可以确定一个平面；
③若
M
，
M
，
l
，则
Ml
；
④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A
．
1
A
．
a1,b1
B
．
2
B
．
a1,b1
C
．
3
C
．
a1,b1
D
．
4
D
．
a1,b1
4．若
a,bR,i
为虚数单位，且
(ai)ibi
，则
5．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4
100
米接力队，老师要安排他们四人的出场顺
序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；
丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒
.
老师听了他们
四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在
老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是
( )
A
．甲
B
．乙
C
．丙
D
．丁
6
．
sin47sin17cos30
cos17
3
2
A
．
B
．
1
2
C
．
1
2
D
．
3
2
7．已知
i
为虚数单位，复数
z
满足
(1i)zi
，则
z
（ ）
A
．
1
4
B
．
1
2
C
．
2
2
22
D
．
2
8．已知
2
a
3
b
6
，则
a
，
b
不可能满足的关系是（）
A
．
abab
B
．
ab4
D
．
a
2
b
2
8
C
．
a1
b1
2
x
2
y
2
9．设
F
为双曲线
C
：
2
2
1
（
a>0
，
b>0
）的右焦点，
O
为坐标原点，以
OF
为直径
ab
的圆与圆
x
2
+y
2
=a
2
交于
P
、
Q
两点．若
|PQ|=|OF|
，则
C
的离心率为
A
．
2
C
．
2
10．已知当
m
，
n[1
，
1)
时，
sin
A
．
mn
C
．
mn
11．已知
tan(
)
A
．
13
18
B
．
3
D
．
5
m
2
sin
n
2
n
3
m
3
，则以下判断正确的是
(
)
B
．
|m||n|
D
．
m
与
n
的大小关系不确定
2
1
，
tan(
)
，则
tan(
)
的值等于（
）
5
444
B
．
3
13
D
．
18
22
12
．已知锐角三角形的边长分别为
2
，
3
，
x
，则
x
的取值范围是（
）
C
．
A
．
5x13
C
．
2x
B
．
13x5
D
．
5x5
3
22
5
二、填空题
13．设
为第四象限角，且
sin3
13
＝，则
tan 2
＝
________
.
sin
5
14．在
ABC
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
A
3
，
a3
，b=1,则
c
_____________
15．已知函数
ysin(2x
)(
________
．
16．已知圆
C
经过
A(5,1),B(1,3)
两点，圆心在
x
轴上，则
C
的方程为
__________
．
17．在极坐标系中，直线
cos
sin
a(a0)
与圆
2cos
相切，则
)
的图象关于直线
x
对称，则
的值是
22
3
a
__________
．
18．如图，圆C（圆心为C）的一条弦AB的长为2，则
ABAC
=
______
．
19．已知正三棱锥
PABC
的底面边长为3，外接球的表面积为
16
，则正三棱锥
PABC
的体积为
________
.
20．若函数
f(x)xx1alnx
在
(0,)
上单调递增，则实数
a
的最小值是
2
__________
．
三、解答题
21
．已知圆
O
1
和圆
O
2
的极坐标方程分别为
ρ=2,ρ
2
-2
(1)
把圆
O
1
和圆
O
2
的极坐标方程化为直角坐标方程
.
ρcos(θ-)=2.
(2)
求经过两圆交点的直线的极坐标方程
.
22．已知函数
f
x
mx2
，
mR
，且
f
x2
0
的解集为
1,1
（
1
）求
m
的值；
（
2
）若
a,b,cR
，且
111
m
，求证
a2b3c9
a2b3c
5
.
5
23．如图：在
ABC
中，
a10
，
c4
，
cosC
（
1
）求角
A
；
（
2
）设
D
为
AB
的中点，求中线
CD
的长
.
24．选修4-5：不等式选讲
设函数
f(x)|x2||x1|
.
（1）求
f(x)
的最小值及取得最小值时
x
的取值范围；
（2）若集合
{x|f(x)ax10}R
，求实数
a
的取值范围.
1
xx2
25．若不等式
ax5x20
的解集是
，求不等式
ax
2
5xa
2
10
的
2
2
解集．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：
A
【解析】
【分析】
【详解】
a:b:csinA:sinB:sinC3:2:4
，不妨设
a3k,b2k,c4k
，
,
则
cosC
3k
2k
4k
23k2k
222
1
，选
A.
4
2．D
解析：
D
【解析】
【分析】
由题意，根据向量的模的运算，可得
2
2
+3
2
+2ab3
，求得
ab2
，再根据向量模
的运算，即可求解．
【详解】
∵向量
a
，
b
满足
a2
，
bab3
，∴
2
2
3
2
2ab3
，解得
ab2
．
则
a2ba4b4ab2
2
43
2
4
2
42
．故选D．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数
量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运
算能力，属于基础题．
22
3．A
解析：
A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（
1
）不正
确；
两条异面直线不能确定一个平面，故（
2
）不正确；
若
M
∈
α
，
M
∈
β
，
α∩β=l
，则
M
∈
l
，故（
3
）正确；
空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的
3
条侧棱），故（
4
）不正
确，
综上所述只有一个说法是正确的，
故选
A
．
4．C
解析：
C
【解析】
【分析】
利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果
.
【详解】
因为
(ai)ibi
，
即
1aibi
，
因为
a,bR,i
为虚数单位，所以
a1,b1
，
故选
C.
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题
.
5．C
解析：
C
【解析】
【分析】
跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一
棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一
棒，不合题意．
【详解】
由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，
∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，
当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；
当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．
故跑第三棒的是丙．
故选：
C
．
【点睛】
本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能
力，是基础题．
6．C
解析：
C
【解析】
【分析】
由
sin47sin
3017
，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可
.
【详解】
sin47
0
sin17
0
cos30
0
sin(1730)sin17cos30
0
cos17
cos17
sin17cos30cos17sin30sin17cos30
1
sin30
．故选
C
．
2
cos17
【点睛】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
（
1
）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公
式；
（
2
）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；
（
3
）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
7．C
解析：
C
【解析】
由题得
z
ii(1i)1i11112
.
故选
C.
iz()
2
()
2
1i2222222
8
．
C
解析：
C
【解析】
【分析】
根据
2
a
3
b
6
即可得出
a1log
2
3
，
b1log
3
2
，根据
log
2
3log
3
21
，
log
3
2log
3
22
，即可判断出结果．
【详解】
∵
2
a
3
b
6
；
∴
alog
2
61log
2
3
，
blog
3
61log
3
2
；
∴
ab2log
2
3log
3
24
，
ab2log
2
3log
3
24
，故
A,B
正确；
a1
b1
22
log
2
3
log
3
2
2log
2
3log
3
22
，故
C
错误；
22
22
∵
a
2
b
2
22
log
2
3log
3
2
log
2
3
log
3
2
24log
2
3log
3
22log
2
3log
3
28
，故
D
正确
故
C
．
【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：
ab2ab
和不
等式
a
2
b
2
2ab
的应用，属于中档题
9．A
解析：
A
【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出
P
点坐标，代入圆的方程得到
c
与
a
关系，可求双曲线的离
心率．
【详解】
设
PQ
与
x
轴交于点
A
，由对称性可知
PQx
轴，
又
c
PQ|OF|c
，
|PA|,PA
为以
OF
为直径的圆的半径，
2
c
A
为圆心
|OA|
．
2
cc
P
,
，又
P
点在圆
x
2
y
2
a
2
上，
22
c
2
c
2
c
2
c
2
222
a
，即
a,e
2
2
．
442a
e2
，故选
A
．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，
避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重
点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
10．C
解析：
C
【解析】
【分析】
由函数的增减性及导数的应用得：设
f(x)xsin
3
x
2
函数，又
m
，
n[1
，
1)
时，根据条件得
f(m)f(n)
，即可得结果．
【详解】
解：设
f(x)xsin
则
f(x)3x
3
2
3
,x[1,1]
，求得可得
f(x)
为增
x
2
,x[1,1]
，
0
，
2
cos
x
2
即
f(x)xsin
x
2
,x[1,1]
为增函数，
又
m
，
n[1
，
1)
，
sin
即
sin
m
2
sin
n
2
n
3
m
3
，
m
22
所以
f(m)f(n)
，
所以
mn
．
故选：
C
．
【点睛】
m
3
sin
n
n
3
，
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
11．B
解析：
B
【解析】
【分析】
由题可分析得到
tan
+
【详解】
由题
,
tan
,
由差角公式
,
将值代入求解即可
4
4
21
tan
tan
4
54
3
,
tan
+
tan
21
22
4
4
1tan
tan
1
54
4
故选：
B
【点睛】
本题考查正切的差角公式的应用
,
考查已知三角函数值求三角函数值问题
12．A
解析：
A
【解析】
试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边
3
对的锐
222
2x3
角为角
，根据余弦定理得
cos
0
，解得
x5
；设
x
边对的锐角为
4x
2
2
3
2
x
2
，根据余弦定理得
cos
0
，解得
0x13
，所以实数
x
的取值范
12
围是
5x13
，故选
A.
考点：余弦定理
.
二、填空题
13
．－【解析】因为＝＝＝＝＝
4cos2α
－
1
＝
2(2cos2α
－
1)
＋
1
＝
2cos2α
＋
1
＝所
以
cos2α
＝又
α
是第四象限角所以
sin2α
＝－
tan2α
＝－点睛：三角函数求值常用
方法：异名三角函数化为同
解析：－
【解析】
因为
＝
3
4
sin
2
sin3
＝
sin
sin
sin2
cos
cos2
sin
sin
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