2019年数学高考试卷(及答案)

2024年3月16日发(作者：杭州临平期末初三数学试卷)

2019年数学高考试卷(及答案)

一、选择题

1．如图，点是抛物线

线部分上运动，且

的焦点，点,分别在抛物线和圆

周长的取值范围是( )

的实

总是平行于轴，则

A

．

2

．若圆

A

．

21

B

．

C

．

D

．

22

与圆

C

2

:xy6x8ym0

外切，则

m

（

）

B

．

19 C

．

9 D

．

-11

3．

(x

A

．

80

2

2

5

)

展开式中的常数项为（

）

x

3

B

．

-80

C

．

40

D

．

-40

4．在某种信息传输过程中，用

4

个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同

排列表示不同信息，若所用数字只有

0

和

1

，则与信息

0110

至多有两个对应位置上的数字

相同的信息个数为

A

．

10

A

．

6

B

．

11

B

．

8

C

．

12

D

．

15

D

．

42

5．若设

a

、

b

为实数，且

ab3

，则

2

a

2

b

的最小值是（

）

C

．

26

6．设集合

U{1,2,3,4,5,6}

，

A{1,2,4}

，

B{2,3,4}

，则

C

U



AB



等于（

）

A

．

{5,6}

B

．

{3,5,6}

C

．

{1,3,5,6}

D

．

{1,2,3,4}

7．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（

）

A

．假设至少有一个钝角

C

．假设三角形的三个内角中没有一个钝角

8．下列说法正确的是

(

)

A

．

abac

2

bc

2

C

．

aba

3

b

3

B

．

aba

2

b

2

D

．

a

2

b

2

ab

B

．假设至少有两个钝角

D

．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

9．渐近线方程为

xy0

的双曲线的离心率是（ ）

A

．

2

2

B

．1

D

．2

C

．

2

10

．某公司的班车在

7:30

，

8:00

，

8:30

发车，小明在

7:50

至

8:30

之间到达发车站乘坐班

车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过

10

分钟的概率是

A

．

1

3

B

．

1

2

C

．

2

3

D

．

3

4

11．在等比数列



a

n



中，

a

4

4

，则

a

2

a

6



（ ）

A

．

4

B

．

16

C

．

8

D

．

32

12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角

三角形，则该几何体的外接球的表面积为

(

)

A

．

4



3

B

．

8



3

C

．

16



3

D

．

20



3

二、填空题

13．若不等式

|3xb|4

的解集中的整数有且仅有

1

，

2

，

3

，则

b

的取值范围是

14．事件

A,B,C

为独立事件，若

P



AB





111

,P



BC



,P



ABC





，则

688

P



B





_____

．

15．在

ABC

中，角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，

c4

，

a42sinA

，且

C

为锐

角，则

ABC

面积的最大值为

________

.

16．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为

2cm

，圆心角为

________

cm

.

17

．

(x)

的展开式中

x

5

的系数是

.

（用数字填写答案）

18．如图，用

6

种不同的颜色给图中的

4

个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使

用

3

种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作

答）．

3

2



的扇形，则此圆锥的高为

3

1

x

7

19

．在平面上，若两个正三角形的边长的比为

1

：

2

，则它们的面积比为

1

：

4

，类似地，在

空间内，若两个正四面体的棱长的比为

1

：

2

，则它们的体积比为

▲

20

．三个数成等差数列，其比为

3:4:5

，又最小数加上

1

后，三个数成等比数列，那么原三

个数是

三、解答题

21

．

11

分制乒乓球比赛，每赢一球得

1

分，当某局打成

10:10

平后，每球交换发球权，先多得

2

分的一方获胜，该局比赛结束

.

甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概

率为

0.5

，乙发球时甲得分的概率为

0.4

，各球的结果相互独立

.

在某局双方

10:10

平后，甲

先发球，两人又打了

X

个球该局比赛结束

.

（

1

）求

P

（

X=2

）；

（

2

）求事件

“X=4

且甲获胜

”

的概率

.

22．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行

调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照

分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图的的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；

（3）估计居民月用水量的中位数.

23．已知复数

z

1

m2i

，复数

z

2

1ni

，其中

i

是虚数单位，

m

，

n

为实数

.

（

1

）若

m1

，

n1

，求

z

1

z

2

的值；

（

2

）若

z

1

2

z

2

，求

m

，

n

的值

.

24

．已知

f



x



是二次函数，不等式

f



x



0

的解集是

0,5

，且

f



x



在区间

1,4

上

的最大值是

12

.

（

1

）求

f



x



的解析式；

（

2

）设函数

f



x



在

xt,t1

上的最小值为

gt

，求

gt

的表达式

.

25．设等差数列

{a

n

}

的前

n

项和为

S

n

，

a

3

4

，

a

4

S

3

，数列

{b

n

}

满足：对每





nN



,S

n

b

n

,S

n1

b

n

,S

n2

b

n

成等比数列.

（1）求数列

{a

n

},{b

n

}

的通项公式；

（2）记

C

n



a

n

,nN



,

证明：

C

1

C

2

+

2b

n

C

n

2n,nN



.

26．已知矩形

ABCD

的两条对角线相交于点

M

，

AB

边所在直线的方程为

（2，0）

x3y60

，点

T

在

AD

边所在直线上

.

（11，）

（

1

）求

AD

边所在直线的方程；

（

2

）求矩形

ABCD

外接圆的方程.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：

B

【解析】

【分析】

圆（

y

﹣

1

）

2

+x

2

＝

4

的圆心为（

0

，

1

），半径

r

＝

2

，与抛物线的焦点重合，可得

|FB|

＝

2

，

|AF|

＝

y

A

+1

，

|AB|

＝

y

B

﹣

y

A

，即可得出三角形

ABF

的周长＝

2+y

A

+1+y

B

﹣

y

A

＝

y

B

+3

，利用

1

＜

y

B

＜

3

，即可得出．

【详解】

抛物线

x

2

＝

4y

的焦点为（

0

，

1

），准线方程为

y

＝﹣

1

，

圆（

y

﹣

1

）

2

+x

2

＝

4

的圆心为（

0

，

1

），

与抛物线的焦点重合，且半径

r

＝

2

，

∴

|FB|

＝

2

，

|AF|

＝

y

A

+1

，

|AB|

＝

y

B

﹣

y

A

，

∴三角形

ABF

的周长＝

2+y

A

+1+y

B

﹣

y

A

＝

y

B

+3

，

∵

1

＜

y

B

＜

3

，

∴三角形

ABF

的周长的取值范围是（

4

，

6

）．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题．

2．C

解析：

C

【解析】

试题分析：因为

x

2

y

2

6x8ym0



x3







y4



25m

,

所以

22

25m0m25

且圆

C

2

的圆心为



3,4



,

半径为

25m

,

根据圆与圆外切的判定

(

圆

心距离等于半径和

)

可得



30







40



22

125m

m9

,

故选

C.

考点：圆与圆之间的外切关系与判断

3

．

C

解析：

C

【解析】

【分析】

先求出展开式的通项，然后求出常数项的值

【详解】

(x

2



2

r

2

5

rr105r

r25r

T(2)Cx

:

)

TC(x)()

展开式的通项公式为，化简得，

r15

r15

3

3

x

x

22

2

，故展开式中的常数项为

T

3

(2)C

5

40

.

令

105r0

，即

r

故选：

C.

【点睛】

本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键

.

4．B

解析：

B

【解析】

【分析】

【详解】

由题意知与信息

0110

至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：

第一类：与信息

0110

有两个对应位置上的数字相同有

C

4

2

6

个；

1

第二类：与信息

0110

有一个对应位置上的数字相同有

C

4

4

个；

0

第三类：与信息

0110

没有位置上的数字相同有

C

4

1

个，

由分类计数原理与信息

0110

至多有两个数字对应位置相同的共有

64111

个，

故选

B

．

5．D

解析：

D

【解析】

【分析】

利用基本不等式

ab

【详解】

由基本不等式可得

2

a

2

b

22

ab

，又因为

ab3

，所以

2

a

2

b

22

ab

42

（当且仅当

ab

故答案为：

D

【点睛】

本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础。

ab

转化为指数运算即可求解。

2

3

等号成立）

2

6．A

解析：

A

【解析】

【分析】

先求并集，得到

AB{1,2,3,4}

，再由补集的概念，即可求出结果

.

【详解】

因为

A{1,2,4}

，

B{2,3,4}

，所以

AB{1,2,3,4}

，

又

U{1,2,3,4,5,6}

，所以

C

U



AB



{5,6}

.

故选

A.

【点睛】

本题主要考查集合的并集与补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型

.

7

．

B

解析：

B

【解析】

用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题

“

三角形的内角至

多有一个钝角

”

的否定为

“

三角形的内角至少有两个钝角

”

，所以应假设三角形的内角至少有

两个钝角，故选

B

．

8．C

解析：

C

【解析】

【分析】

由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．

【详解】

选项

A

，当

c

＝0时，由

a

＞

b

，不能推出

ac

2

＞

bc

2

，故错误；

选项

B

，当

a

＝﹣1，

b

＝﹣2时，显然有

a

＞

b

，但

a

2

＜

b

2

，故错误；

选项

C

，当

a

＞

b

时，必有

a

3

＞

b

3

，故正确；

选项

D

，当

a

＝﹣2，

b

＝﹣1时，显然有

a

＞

b

，但却有

a

＜

b

，故错误．

故选：

C

．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．

22

9．C

解析：

C

【解析】

【分析】

本题根据双曲线的渐近线方程可求得

ab

，进一步可得离心率

.

容易题，注重了双曲线基

础知识、基本计算能力的考查

.

【详解】

根据渐近线方程为

x

±

y

＝0的双曲线，可得

ab

，所以

c

2a

则该双曲线的离心率为

e



故选

C

．

【点睛】

c

2

，

a

理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求

.

部分考生易出现理解性错误

.

10．B

解析：

B

【解析】

试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每

30

分钟发出一辆，到达发车站的时间总长

度为

40

，等车不超过

10

分钟的时间长度为

20

，故所求概率为

【考点】几何概型

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型

,

求解几何概型问题的关键是确定

“

测度

”,

常见的

测度有长度、面积、体积等

.

201



，选

B.

402

11

．

B

解析：

B

【解析】

2

等比数列的性质可知

a

2

a

6

a

4

16

,

故选

B

.

12

．

C

解析：

C

【解析】

【分析】

根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的

半径，从而求出球的表面积公式．

【详解】

由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面

SAC

底面

ABC

，高为

SO3

；

其中

OAOBOC1

，

SO

平面

ABC

，

其外接球的球心在

SO

上，设球心为

M

，

OMx

，根据

SM=MB

得到：在三角形

MOB

中，

MB=

1x

2

，SM3x

，

1x

2

3x

，

解得

x

3

，

3



外接球的半径为

R3

3



23

；

33



三棱锥外接球的表面积为

S4



(

23

)

2



16



．

33

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了三视图复原几何体形状的判断问题，也考查了三棱锥外接球的表面积计算问

题，是中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的

性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆

心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同

样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样

两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底

面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂

直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球

.

二、填空题

13

．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有

123

知解得

解析：

(5,7)

【解析】

【分析】

【详解】

由

|3xb|4

得

b4b4

x

33

b4



01





3

由整数有且仅有

1

，

2

，

3

知



，解得

5b7

b4



34



3



14．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详

解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式

及对立事件的概率关系属于中档题

解析：

1

2

【解析】

【分析】

【详解】

分析：根据独立事件的关系列出方程，解出

P



B



.

详解：设

P



A



a,P



B



b,P



C



c

,