因式分解常用方法(初二数学例题详解)

2024年4月3日发(作者：数学试卷激励语录大全图片)

因式分解常用方法（初二数学例题详解）

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将

初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

一、提公因式法.

如多项式

ambmcmm(abc),

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

二、运用公式法.

运用公式法，即用

a

2

b

2

(ab)(ab),

a

2

2abb

2

(ab)

2

,

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

amanbmbn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前

两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联

系。

解：原式=

(aman)(bmbn)

=

a(mn)b(mn)

每组之间还有公因式！

=

(mn)(ab)

思考：此题还可以怎样分组？

此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：

2ax10ay5bybx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=

(2ax10ay)(5bybx)

原式=

(2axbx)(10ay5by)

=

2a(x5y)b(x5y)

=

x(2ab)5y(2ab)

=

(x5y)(2ab)

=

(2ab)(x5y)

练习：分解因式1、

aabacbc

2、

xyxy1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：

xyaxay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外

分组。

解：原式=

(xy)(axay)

=

(xy)(xy)a(xy)

=

(xy)(xya)

例4、分解因式：

a2abbc

解：原式=

(a2abb)c

=

(ab)c

=

(abc)(abc)

注意这两个例题的区别！

练习：分解因式3、

xx9y3y

4、

xyz2yz

1

22222

22

222

222

2

22

22

22

综合练习：（1）

x

3

x

2

yxy

2

y

3

（2）

axbxbxaxab

22

（3）

x

2

6xy9y

2

16a

2

8a1

（4）

a6ab12b9b4a

432

（5）

a2aa9

（6）

4a

2

x4a

2

yb

2

xb

2

y

22

（7）

x

2

2xyxzyzy

2

（8）

a2ab2b2ab1

（9）

y(y2)(m1)(m1)

（10）

(ac)(ac)b(b2a)

333

222

（11）

a(bc)b(ac)c(ab)2abc

（12）

abc3abc

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——

x

2

(pq)xpq(xp)(xq)

进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

2

例5、分解因式：

x5x6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2

2

2

解：

x5x6

=

x(23)x23

1 3

=

(x2)(x3)

1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：

x7x6

解：原式=

x[(1)(6)]x(1)(6)

1 -1

=

(x1)(x6)

1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)

x14x24

(2)

a15a36

(3)

x4x5

22

2

练习6、分解因式(1)

xx2

(2)

y2y15

(3)

x10x24

2

（二）二次项系数不为1的二次三项式——

axbxc

条件：（1）

aa

1

a

2

a

1

c

1

（2）

cc

1

c

2

a

2

c

2

（3）

ba

1

c

2

a

2

c

1

ba

1

c

2

a

2

c

1

分解结果：

axbxc

=

(a

1

xc

1

)(a

2

xc

2

)

例7、分解因式：

3x11x10

分析： 1 -2

3 -5

（-6）+（-5）= -11

2

2

2

222

2

2

解：

3x

2

11x10

=

(x2)(3x5)

练习7、分解因式：（1）

5x

2

7x6

（2）

3x

2

7x2

（3）

10x

2

17x3

（4）

6y

2

11y10

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：

a

2

8ab128b

2

分析：将

b

看成常数，把原多项式看成关于

a

的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b

8b+(-16b)= -8b

解：

a

2

8ab128b

2

=

a

2

[8b(16b)]a8b(16b)

=

(a8b)(a16b)

练习8、分解因式(1)

x

2

3xy2y

2

(2)

m

2

6mn8n

2

(3)

a

2

ab6b

2

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、

2x

2

7xy6y

2

例10、

x

2

y

2

3xy2

1 -2y 把

xy

看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式=

(x2y)(2x3y)

解：原式=

(xy1)(xy2)

练习9、分解因式：（1）

15x

2

7xy4y

2

（2）

a

2

x

2

6ax8

综合练习10、（1）

8x

6

7x

3

1

（2）

12x

2

11xy15y

2

（3）

(xy)

2

3(xy)10

（4）

(ab)

2

4a4b3

（5）

x

2

y

2

5x

2

y6x

2

（6）

m

2

4mn4n

2

3m6n2

（7）

x

2

4xy4y

2

2x4y3

（8）

5(ab)

2

23(a

2

b

2

)10(ab)

2

（9）

4x

2

4xy6x3yy

2

10

（10）

12(xy)

2

11(x

2

y

2

)2(xy)

2

思考：分解因式：

abcx

2

(a

2

b

2

c

2

)xabc

3