2024年3月27日发(作者：河北省的中考数学试卷)

内蒙古呼和浩特市2024届高三第一次质量监测文科数学试

题

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

1

．若

zii

2

i

3

i

4

i

5

，则

z

的虚部是（

）

A

．

0B

．

1C

．

2D

．

3

2

．设集合

U

0,1,2,4,6,8

，集合

M

0,4,6,

，

N

0,1,6

，则

ð

U

M

ð

U

N

（

）

A

．

0,2,4,6,8

B

．

0,1,4,6,8

C

．

1,2,4,6,8

D

．

1,2,4,8

3

．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）

A

．

π

4

B

．

3π

4

C

．

3π

2

D

．

2π

4

．在

ABC

中，内角

A

，

B

，

C

的对边分别是

a

，

b

，

c

，若

acosBbcosAb

，且

C

π

，则

B

（

）

5

π

5

A

．

B

．

π

15

C

．

2π

15

D

．

4π

15

5

．已知

f

x

3x1



xa



3x1

是奇函数，则

a

（

）

C

．

0



6

．正六边形

ABCDEF

的边长是

2

，则

ACAD

（

）

A

．

3

B

．

23

C

．

63

A

．

2

B

．

1

D

．

1

D

．

12

22

7

．设

O

为平面直角坐标系的坐标原点，在区域

x,y

xy4

内随机取一点，记该



22

点为

A

，则点

A

落在区域

x,y

1xy4

内的概率为（

）



试卷第1页，共4页

A

．

1

8

B

．

1

4

C

．

2

1

D

．

3

4

x

8

．若函数

f

x

2

2

a

存在

1

个零点位于

1,2

内，则

a

的取值范围是（

）

x

A

．

0,3

B

．

3,3

C

．

3,3

D

．

3,0

9

．某学校举办作文比赛，共

6

个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，

则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为（

）

A

．

1

6

B

．

1

36

C

．

1

12

D

．

1

18

10

．已知函数

f

x

sin

x

的最小正周期为

π

，

x

π

时函数图像位于最低点，则

6

2π

f



（

）

3

A

．

3

2

B

．

1

2

2

C

．

1D

．

3

2

11

．已知实数

x

，

y

满足方程

x2

y

2

3

．则

xy

的最小值为（

）

A

．

62

B

．

62

C

．

62

D

．

62

x

2

y

2

12

．

B

为双曲线

设

A

，

若线段

AB

的中点为

M

1,2

，则直线

AB

1

右支上的两点，

816

的方程是（

）

A

．

xy30

B

．

2xy30

C

．

xy10

D

．

x2y30

二、填空题

x

3y



1

13

．若

x

，

y

满足约束条件

x

2y

9

，则

z2xy

的最小值为

3x

y

7

14

．若

0,π

，

tan

2

，则

sin

cos

．

．

15

．已知点

A

2,4

在抛物线

C

：

y

2

2px

上，则

A

到焦点

F

的距离为

．

16

．已知点

S

，

A

，

B

，

C

均在半径为

2

的球面上，

ABC

满足

AB1

，

BC3

，

AC2

，若

SA

平面

ABC

，则

SA

．

三、解答题

17

．某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请

8

名学生家长代表对集团

内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最高

120

分，最低

0

分，分数越

高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低）．去年测评的结果（单位：分）

试卷第2页，共4页

如下

甲校：

96

，

112

，

97

，

108

，

100

，

103

，

86

，

98

；

乙校：

108

，

101

，

94

，

105

，

96

，

93

，

97

，

106

；

(1)

分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数及方差；

(2)

根据以上数据，你认为这两所学校中哪所学校的人民满意度比较好．

18

．记

S

n

为数列

a

n

的前

n

项和，已知

(1)

求

a

n

的通项公式；

(2)

求数列

a

n

的前

n

项和

T

n

．

19

．如图所示，

AB

为圆

O

的直径，

PC

平面

ABC

，

Q

在线段

PA

上．

S

n

n

13

．

n

(1)

求证：平面

BCQ

平面

ACQ

；

(2)

若

Q

为靠近

P

的一个三等分点，

PCBC1

，

AC22

，求

V

P

BCQ

的值．

x

20

．设函数

f

x

eax

，

aR

．

(1)

当

a1

时，求函数

f

x

在

x1

处的切线方程；

(2)

讨论函数

f

x

的单调性；

(3)

若

f

x

x

在

R

上恒成立，求实数

a

的取值范围．

21

．已知抛物线

C

：

y

2

2px

焦点为

F

1,0

，直线

l

与抛物线

C

交于

A

x

1

,y

1

，

B

x

2

,y

2



两点，且

y

1

y

2

0

，

OAOB12

（

O

为坐标原点）．

(1)

求抛物线

C

的方程；

(2)

求证：直线

l

过定点．

22

．在平面直角坐标系

xOy

中，以坐标原点

O

为极点，

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，

x



2

tcos

π



曲线

C

1

的极坐标方程为

2cos

0

，曲线

C

2

的参数方程为

2



y

tsin

（

t

为参数）．

(1)

写出

C

1

的直角坐标方程；

试卷第3页，共4页

(2)

若

C

1

与

C

2

只有一个公共点，写出

C

2

的直角坐标方程．

23

．已知

f

x

2xx2

．

(1)

画出

f

x

的图像，并写出

f

x

的最小值；

(2)

求

f

x

与直线

y4

围成的封闭图形面积．

试卷第4页，共4页

参考答案：

1

．

B

【分析】求出

z

即可得到虚部

.

【详解】

zii

2

i

3

i

4

i

5

i1i1i=i

，故

z

的虚部是

1.

故选：

B

2

．

D

【分析】应用集合的并、补运算求集合即可

.

1,2,8},ð

【详解】由题设

ð

U

M{

U

N{2,4,8}

，

1,2,4,8}

.

所以

ð

U

M

ð

U

N

{

故选：

D

3

．

C

【分析】根据三视图确定几何体构成，应用圆柱体体积公式求几何体体积

.

【详解】由三视图知：几何体是将底面半径为

1

、高为

2

的圆柱体去掉四分之一所得，

所以，几何体体积是圆柱体的

故选：

C

4

．

D

【分析】由正弦定理得

sin(AB)sinB

，从而得

A＝2B

，再由内角和为

π

，求得

B

.

【详解】因为

acosBbcosAb

，

所以由正弦定理得

sinAcosBsinBcosAsinB

，

即

sin(AB)sinB

，

因为

A,B

0,π

，故

ABB

或

A－BB＝π

（舍）

所以

A＝2B

，

由

ABCπ

得

B

故选：

D

5

．

C

【分析】根据奇函数

f(0)0

求参数值，注意验证所得参数值是否满足函数为奇函数即可

.

【详解】由题设

f(0)(01)(0a)(01)a0

，则

f

x

x

3x1



3x1

，

而

f

x

x

3x1



3x1

x(3x1)(3x1)f(x)

满足题设

.

答案第1页，共12页

4π

，

15

33

3

，即

V2ππ

.

4

42

所以

a0

.

故选：

C

6

．

D

【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，从而利用平面向量数量积坐标公式计算即可

.

【详解】以

A

为坐标原点，

AB,AE

所在直线分别为

x,y

轴，建立平面直角坐标系，

则

A

0,0

,C3,3,D2,23

，





故

ACAD3,32,236612

.



故选：

D

7

．

D

【分析】根据几何概型的概率公式，由面积之比即可求解

.

22

【详解】

x,y

xy4

表示圆心为原点，半径为

2

的圆以及内部，区域



x,y

1x

2

y

2

4

表示圆心为原点，半径为

2

和半径为

1

的圆环以及内部，

4π

π3

，

4π4

所以概率为

故选：

D

答案第2页，共12页

8

．

A

【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可

.

x

【详解】若函数

f

x

2

2

a

存在

1

个零点位于

1,2

内，

x

f

x

2

x

2

a

单调递增

,

又因为零点存在定理，

x

22

f

1

2

1

a0,f

2

2

2

a0,

12

0a3

.

故选：

A.

9

．

A

【分析】应用古典概型的概率求法求甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率

.

【详解】由题意，甲乙抽到的主题都有

6

种，故甲乙抽到主题的组合有

6636

种，

甲乙抽到相同主题的组合有

6

种，

所以甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为

故选：

A

10

．

C

6

1

.

36

6

π



π

【分析】根据最小正周期可得

2

，且

f



sin



1

，再应用诱导公式求

6



3

2π



4π

f



sin

的值即可

.

3



3

【详解】由题意

2π

2

，则

f

x

sin

2x

，且

T

π



π

f



sin



1

，

6



3

2π



4π



π

所以

f



sin



sin

1

.

3



3



3

故选：

C

11

．

D

答案第3页，共12页

【分析】令

x23cos

,y3sin

,

[0,2π)

，将

xy

化为

的三角函数求最小值

.

【详解】令

x23cos

,y3sin

,

[0,2π)

，

π



则

x

y

2

3cos

3sin

2

6sin

，

4



π

5π

因为

sin



1

，当

＝

时取最小值，所以

xy

的最小值为

62

.

4

4

故选：

D

12

．

C

【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可

.

【详解】设

A

x

1

,y

1

,B

x

2

,y

2

，

x

1

2

y

1

2



1

816

x

1

x

2



x

1

x

2

y

1

y

2



y

1

x

2

，则有

2

，两式相减，得

2

816

x

2

y

2

1

816

因为线段

AB

的中点为

M

1,2

，

所以

x

1

x

2

2,y

1

y

2

4

，

因此由

x

1

x

2



x

1

x

2

y

1

y

2



y

1

x

2

816

y

1

x

2

1

，

x

1

x

2

即直线

AB

的斜率为

1

，方程为

y2x1xy10

，

代入双曲线方程中，得

y

2

4y140

，

因为

4

41

14

0

，

所以线段

AB

存在，

故选：

C

13

．

2

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再借助目标函数的几何意义求出最小值作答

.

2

x

3y



1

【详解】不等式组

x

2y

9

表示的平面区域，如图中阴影

ABC

，其中

A(1,4),B(5,2),C(2,1)

，

3x

y

7

答案第4页，共12页


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函数,平面,分析,满意度,应用