2024年3月27日发(作者：合肥高一数学试卷的难度)
_....._
内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共
12
小题，每小题
5
分，满分
60
分）
1
．已知复数
z
满足
=i
，则
z
在复平面内对应的点位于（ ）
A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限
2
．已知集合
A={y|y=2
x
+1}
，
B={x|x
2
+x
＞
0}
，
A
∩
B=
（ ）
A
．
{x|x
＞
0} B
．
{x|
﹣
1
＜
x
＜
1} C
．
{x|x
＞
1} D
．
{x|x
＞
0
或
x
＜﹣
1}
3
．函数
f
（
x
）
=ln
（
x+1
）﹣的零点所在区间是（ ）
A
．（，
1
）
B
．（
1
，
e
﹣
1
）
C
．（
e
﹣
1
，
2
）
D
．（
2
，
e
）
4
．阅读程序框图，若输出
S
的值为﹣
14
，则判断框内可填写（ ）
A
．
i
＜
6
？
B
．
i
＜
8
？
C
．
i
＜
5
？
D
．
i
＜
7
？
等于（ ）
5
．已知正项等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
2
+a
3
=6a
1
，则
A
．
5 B
．
6 C
．
8 D
．
9
6
．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A
．
23 B
．
21 C
．
19 D
．
18
7
．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）
A
．
8
．
||=1
，
|
B
．
|=2
，
•
C
．
D
．
=
λ
+
μ
（
λ
，
μ
∈
R
），则等
=0
，点
D
在
∠
CAB
内，且
∠
DAB=30
°
，设
于（ ）
A
．
3 B
．
C
．
D
．
2
_....._
_....._
9
．
fx
）
=Acosf
已知函数（（
ω
x+
φ
）的图象如图所示，（
=
﹣，
f
）则（
=
）（ ）
A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
10
．已知点
A
（
0
，
2
），抛物线
C
：
y
2
=mx
（
m
＞
0
）的焦点为
F
，射线
FA
与抛物线
C
相交于点
M
，与其准
线相交于点
N
，若
|FM|
：
|MN|=1
：，则三角形
OFN
的面积为（ ）
A
．
2 B
．
2 C
．
4 D
．
2
11
．已知平面
α
截一球面得圆
M
，过圆心
M
与
α
成
60
°
二面角的平面
β
截该球面得圆
N
，若该球的表面积
为
64
π
，圆
M
的面积为
4
π
，则圆
N
的半径为（ ）
A
．
B
．
3 C
．
D
．
12
．已知
a
＜
0
，则
x
0
满足关于
x
的方程
ax=b
的充要条件是（ ）
A
．∃
x
∈
R
，
ax
2
﹣
bx
≥
ax
B
．∃
x
∈
R
，
ax
2
﹣
bx
≤
ax
C
．∀
x
∈
R
，
ax
2
﹣
bx
≥
ax
D
．∀
x
∈
R
，
ax
2
﹣
bx
≤
ax
﹣
bx
0
﹣
bx
0
﹣
bx
0
﹣
bx
0
二、填空题（共
4
小题，每小题
5
分，满分
20
分）
13
．双曲线
x
2
﹣
4y
2
=2
的虚轴长是 ．
14
．从
5
台甲型和
4
台乙型电视机中任意取出
3
台，其中至少要有甲型与乙型电视机各
1
台，则不同的取
法共有 种．
15
．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问
物几何？ ．（只需写出一个答案即可）
16
．已知数列
{a
n
}
的各项均为正整数，对于
n
∈
N
*
有
a
n+1
=
正整数）．
a
1
=11
时，
a
65
=
．
三、解答题（共
5
小题，满分
60
分）
17
．已知函数
f
（
x
）
=
（
Ⅰ
）若
f
（
a
）
=
，求
tan
（
a+
）的值；
，
．
（
其中
k
为使
a
n+1
为奇数的
（
Ⅱ
）在
△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，且满足（
2a
﹣
c
）
cosB=bcosC
，若
f
（
A
）
=
试证明：
a
2
+b
2
+c
2
=ab+bc+ca
．
18
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，底面
ABCD
是菱形，
∠
DAB=60
°
，
PD
⊥
平面
ABCD
，
PD=AD=1
，点
E
，
F
分别为
AB
和
PD
中点．
（
Ⅰ
）求证：直线
AF
∥
平面
PEC
；
（
Ⅱ
）求
PC
与平面
PAB
所成角的正弦值．
_....._
_....._
19
．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为
0.25
，乙
河流发生洪水的概率为
0.18
，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为
了保护设备，施工部门提出以下两种方案：
方案
1
：建一保护围墙，需花费
1000
元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，
设备仍将受损，损失约
56000
元；
方案
2
：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为
60000
元，只有一条河流发生洪水时，损失为
10000
元．
（
Ⅰ
）试求方案
2
中损失费
ξ
（随机变量）的分布列及期望；
（
Ⅱ
）试比较哪一种方案好．
20
．在直角坐标系
xOy
中，已知中心在原点，焦点在
x
轴上的椭圆
E
的离心率为，且过点
M
（
2
，
3
）．
（
Ⅰ
）求椭圆
E
的方程；
（
Ⅱ
）设
P
是椭圆
E
上一点，过
P
作两条斜率之积的直线
l
1
，
l
2
．以椭圆
E
的右焦点
C
为圆心
作圆，当直线
l
1
，
l
2
都与圆
C
相切时，求
P
的坐标．
21
．已知函数
f
（
x
）
=x
2
﹣
alnx+
（
a
﹣
1
）
x
，其中
a
∈
R
．
（
Ⅰ
）当
a
≤
0
时，讨论函数
f
（
x
）的单调性；
（
Ⅱ
）若对任意
x
1
，
x
2
∈（
1
，
∞
），且
x
1
≠
x
2
，＞﹣
1
恒成立，求
a
的取值范围．
为半径
请考生在
22
、
23
、
24
三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
[
选修
4-1
：几何证明选讲]
22
．已知
△
ABC
中，
AB=AC
，
D
为
△
ABC
外接圆劣弧上的点（不与点
A
，
C
重合），延长
BD
至
E
，延
长
AD
交
BC
的延长线于
F
（
1
）求证：
∠
CDF=
∠
EDF
；
（
2
）求证：
AB
•
AC
•
DF=AD
•
FC
•
FB
．
[
选修
4-4
：坐标系与参数方程]
23
．在直角坐标系
xOy
中，射线
OM
的参数方程为（
t
为参数，
t
≥
0
），以
O
为极点，
x
轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
的极坐标方程为
ρ
=2cos
θ
．
（
Ⅰ
）求射线
OM
的极坐标方程；
（
Ⅱ
）已知直线
l
的极坐标方程是
2
ρ
sin
（
θ
+
点为
Q
，求线段
PQ
的长．
_....._
）
=3
，射线
OM
与曲线
C
的交点为
O
、
P
，与直线
l
的交
_....._
[
选修
4-5
：不等式选讲]
24
．已知函数
f
（
x
）
=|x
﹣
2a|+|x
﹣
a|
，
x
∈
R
，
a
≠
0
（
1
）当
a=1
时，解不等式：
f
（
x
）＞
2
（
2
）若
b
∈
R
，证明：
f
（
b
）
≥
f
（
a
），并求在等号成立时的范围．
_....._
_....._
内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共
12
小题，每小题
5
分，满分
60
分）
1
．已知复数
z
满足
=i
，则
z
在复平面内对应的点位于（ ）
A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算求得
z
，则答案可求．
【解答】解：由
∴
∴
z
在复平面内对应的点的坐标为（
=i
，得
z
﹣
i=zi
，即（
1
﹣
i
）
z=i
，
．
），位于第二象限．
故选：
B
2
．已知集合
A={y|y=2
x
+1}
，
B={x|x
2
+x
＞
0}
，
A
∩
B=
（ ）
A
．
{x|x
＞
0} B
．
{x|
﹣
1
＜
x
＜
1} C
．
{x|x
＞
1} D
．
{x|x
＞
0
或
x
＜﹣
1}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出
A
中
y
的范围确定出
A
，求出
B
中
x
的范围确定出
B
，找出
A
与
B
的交集即可．
【解答】解：由
A
中
y=2
x
+1
＞
1
，得到
A={y|y
＞
1}
，
由
B
中不等式变形得：
x
（
x+1
）＞
0
，
解得：
x
＜﹣
1
或
x
＞
0
，即
B={x|x
＜﹣
1
或
x
＞
0}
，
则
A
∩
B={x|x
＞
1}
，
故选：
C
．
3
．函数
f
（
x
）
=ln
（
x+1
）﹣的零点所在区间是（ ）
A
．（，
1
）
B
．（
1
，
e
﹣
1
）
C
．（
e
﹣
1
，
2
）
D
．（
2
，
e
）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】函数
f
（
x
）
=ln
（
x+1
）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
【解答】解：∵
f
（
e
﹣
1
）
=lne
﹣
f
（
2
）
=ln3
﹣
1
＞
lne
﹣
1=0
，
∴函数
f
（
x
）
=ln
（
x+1
）﹣的零点所在区间是
（
e
﹣
1
，
2
），
故选
C
．
4
．阅读程序框图，若输出
S
的值为﹣
14
，则判断框内可填写（ ）
=1
﹣
=
＜
0
，
_....._
_....._
A
．
i
＜
6
？
B
．
i
＜
8
？
C
．
i
＜
5
？
D
．
i
＜
7
？
【考点】程序框图．
【分析】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．
【解答】解：第一次执行循环体时，
S=1
，
i=3
；第二次执行循环时，
S=
﹣
2
，
i=5
；第三次执行循环体时，
S=
﹣
7
，
i=7
，第四次执行循环体时，
S=
﹣
14
，
i=8
，
所以判断框内可填写
“
i
＜
8
？
”
，
故选
B
．
5
．已知正项等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
2
+a
3
=6a
1
，则等于（ ）
A
．
5 B
．
6 C
．
8 D
．
9
【考点】等比数列的前
n
项和．
【分析】利用等比数列的通项公式及其前
n
项和公式即可得出．
【解答】解：设正项等比数列
{a
n
}
的公比为
q
＞
0
，∵
a
2
+a
3
=6a
1
，
∴
解得
q=2
．
，化为
q
2
+q
﹣
6=0
，
则
===9
．
故选：
D
．
6
．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A
．
23 B
．
21 C
．
19 D
．
18
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，分别令
x=0
，
1
，
2
，
3
，
4
解不等式组即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；
当
x=0
时，不等式组等价为
当
x=1
时，不等式组等价为
当
x=2
时，不等式组等价为
，即
0
≤
y
≤
6
，此时
y=0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，有
7
个整点，
，即
1
≤
y
≤
，此时
y=1
，
2
，
3
，
4
，
5
，有
5
个整点，
，即
2
≤
y
≤
5
，此时
y=2
，
3
，
4
，
5
，有
4
个整点，
_....._
_....._
当
x=3
时，不等式组等价为
当
x=4
时，不等式组等价
当
x
≥
5
时，不等式组无解，
综上共有
7+5+4+2+1=19
个，
故选：
C
，即
3
≤
y
≤
，此时
y=3
，
4
，有
2
个整点，
，即
y=4
，此时
y
有
1
个整点，
7
．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．
【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．
且底面直角梯形的上底为
1
，下底为
2
，高为
1
，四棱锥的高为
1
．
四个侧面都是直角三角形，
其中
△
PBC
的高
PB===
故其侧面积是
S=S
△
PAB
+S
△
PBC
+S
△
PCD
+S
△
PAD=
=
故选
A
8
．
||=1
，
||=2
，
•
=0
，点
D
在
∠
CAB
内，且
∠
DAB=30
°
，设
=
λ
+
μ
（
λ
，
μ
∈
R
），则等
于（ ）
A
．
3 B
．
C
．
D
．
2
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
_....._
_....._
【分析】
•
=0
，∴，
⊥
，建立平面直角坐标系，分别写出
B
、
C
点坐标，由于
∠
DAB=30
°
，设
D
点坐标为（
y
，
y
），由平面向量坐标表示，可求出
λ
和
μ
．
【解答】解：由
•
=0
，∴，
⊥
，
以
A
为原点，以所在的直线为
x
轴正半轴，以所在的直线为
y
轴的正半轴，
则
B
点坐标为（
1
，
0
），
C
点坐标为（
0
，
2
），
∠
DAB=30
°
设
D
点坐标为（
y
，
y
），
=
λ
+
μ
（
λ
，
μ
∈
R
），
即（
y
，
y
）
=
（
λ
，
2
μ
），
，
=2
．
，
故选：
D
．
9
．
fx
）
=Acosf
已知函数（（
ω
x+
φ
）的图象如图所示，（
=
﹣，
f
）则（
=
）（ ）
A
．﹣
B
．﹣
C
．
D
．
【考点】余弦函数的图象．
【分析】由周期求出
ω
，由特殊点的坐标求出
φ
的值，可得
f
（
x
）的解析式，再利用诱导公式求得
f
（
的值．
【解答】解：由函数
f
（
x
）
=Acos
（
ω
x+
φ
）的图象，可得
=
∵
f
（
∴
f
（
）
=Acos
（
3
•
）
=Acos
（
+
φ
）
=Asin
φ
=
﹣，
+
φ
）
=
﹣
Asin
φ
=
，
=
﹣，∴
ω
=3
，
）
故选：
C
．
10
．已知点
A
（
0
，
2
），抛物线
C
：
y
2
=mx
（
m
＞
0
）的焦点为
F
，射线
FA
与抛物线
C
相交于点
M
，与其准
线相交于点
N
，若
|FM|
：
|MN|=1
：，则三角形
OFN
的面积为（ ）
A
．
2 B
．
2 C
．
4 D
．
2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】作出
M
在准线上的射影
K
，根据
|KM|
：
|MN|
确定
|KN|
：
|KM|
的值，进而列方程求得
m
，再由三角
形的面积公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：抛物线
C
：
y
2
=mx
的焦点
F
（，
0
），
设
M
在准线上的射影为
K
，
由抛物线的定义知
|MF|=|MK|
，
由
|FM|
：
|MN|=1
：，可得
|KM|
：
|MN|=1
：
则
|KN|
：
|KM|=2
：
1
，
k
FN
=
又
k
FN
=
﹣
=
﹣，
=
﹣
2
，
即有
=2
，求得
m=4
，
则三角形
OFN
的面积为
•
y
N
•
|OF|=
×
4
×
1=2
．
_....._
_....._
故选：
A
．
11
．已知平面
α
截一球面得圆
M
，过圆心
M
与
α
成
60
°
二面角的平面
β
截该球面得圆
N
，若该球的表面积
为
64
π
，圆
M
的面积为
4
π
，则圆
N
的半径为（ ）
A
．
B
．
3 C
．
D
．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】先求出圆
M
的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出
OM
的长，找出二面角的平面角，
从而求出
ON
的长，最后利用垂径定理即可求出圆
N
的半径．
【解答】解：球的表面积为
64
π
，可得球面的半径为
4
．
∵圆
M
的面积为
4
π
∴圆
M
的半径为
2
根据勾股定理可知
OM=2
∵过圆心
M
且与
α
成
60
°
二面角的平面
β
截该球面得圆
N
∴
∠
OMN=30
°
，
在直角三角形
OMN
中，
ON=
，∴圆
N
的半径为．
故选：
D
．
12
．已知
a
＜
0
，则
x
0
满足关于
x
的方程
ax=b
的充要条件是（ ）
A
．∃
x
∈
R
，
ax
2
﹣
bx
≥
ax
B
．∃
x
∈
R
，
ax
2
﹣
bx
≤
ax
C
．∀
x
∈
R
，
ax
2
﹣
bx
≥
ax
D
．∀
x
∈
R
，
ax
2
﹣
bx
≤
ax
﹣
bx
0
﹣
bx
0
﹣
bx
0
﹣
bx
0
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】
a
＜
0
，
x
0
满足关于
x
的方程
ax=b
，则
x
0
=
．配方
数的单调性即可判断出结论．
【解答】解：∵
a
＜
0
，
x
0
满足关于
x
的方程
ax=b
，则
x
0
=
．
=
∵
a
＜
0
，∴当
x=
时，
﹣．
有最大值，∴
_....._
=
﹣．利用二次函
≤
﹣
bx
0
．
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