二次函数求利润的最值问题

2024年3月29日发(作者：初中数学试卷题型分类汇总)

二次函数求商品利润的最值问题

例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查

反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．商品的进价为每件40元，如何定

价才能使利润最大？

分析：设每件降价x元〔以60元为基准降价〕，总利润为y元

列表分析法

售价／件 本钱／件

60-x 40

利润／件

(60-x-40)

总销量

(300+20x)

总利润

(60-x-40)

(300+20x)

根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质

即可求得如何定价才能使利润最大．

解： 设每件降价x元，总利润为y元。

那么y=〔60-40-x〕〔300+20x〕

=-20x

2

+100x+6000

=-20〔x-2.5〕

2

+6125

因此当x=2.5时，y有最大值6125．

答：每件定价为元时利润最大．

一、 说题意

1：题目涉及到的知识点

①二次函数最值问题

)

顶点

②利润问题

2、条件和未知条件之间的关系

每件的利润=每件的售价-每件的进价

总利润=每件的利润×所售的件数

3、题目的根底背景

二次函数的性质作为初中课本中的重要知识点，在实际生活中有着广泛

的应用，而应用二次函数的性质求商品利润最值的相关题目在练习和中考题

中经常出现，对于这类题，我们应先仔细分析题目中给出的信息，列出二次

函数，然后利用二次函数的性质，便可使这类题迎刃而解。

二、说思路

分析：设每件降价x元，那么每件的利润是〔60-x -40〕元，所售件数是

〔300+20x〕件，总利润为y元；根据总利润=每件的利润×所售的件数，即可

列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．

售价／件 本钱／件

60-x 40

利润／件

(60-x-40)

总销量

(300+20x)

总利润

(60-x-40)

(300+20x)

三、说思想

此题间接设每件降价为x元 比直接设每件定价为x元要在计算量上简单

本节主要学习了利用二次函数解决利润问题中的一些最值问题，解决这类问

题，一般先理清楚题中各个数量关系，通过建模思想建立函数模型，最后利

用二次函数中求最值的方法到达我们解决问题的目的

四、问题的延伸及拓展

变式训练：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市

场反映，每涨价2元，每星期可少卖出20件。商品的进价为每件40元，如

何定价才能使利润最大？

分析：此题的数量关系

（1） 每件利润=每件售价-每件进价

（2） 销售总利润=单件利润×销售件数

分析：设每件涨价x元，总利润为y元

售价／

件

60+x 40 (60+x-40)

解：设设每件涨价x元，总利润为y元

当x=5时 利润最大为6250元

60+x=60+5=65

答：当定价为65元时能获得最大利润，且最大利润为6250元

五、小结：

)

本钱／件 利润／件 总销量 总利润

运用函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤

（1） 设自变量 和函数

（2） 列出函数解析式和自变量的取值范围

（3） 化为顶点式，求出最值

（4） 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范

围内，并作答

注：当利润的值是常数时，问题通过方程来解；当利润为变量时，问

题通过函数关系式来解

六、反思：

此题继续经历利用二次函数解决实际最值问题；会综合运用二次函数和其他

数学知识解决利润等的函数最值问题，开展学生应用数学解决问题的能力，体会

数学与生活的密切联系和数学的应用价值。引导学生利用二次函数求最值问题考

前须知：1、根据实际问题求出函数解析式，求出自变量的取值范围 2.把解析式

化成顶点式〔可以用配方法也可以用公式法〕3、检查顶点的横坐标是否在自变

量的取值范围内。