专题训练利润最值问题

2024年3月29日发(作者：数学试卷在qq打开时乱码)

专题训练 利润最值问题

数学来源于生活,生活也离不开数学,利用数学知识解决生活中的问题,是数

学教学的目的,也是新课改的要求。数学涉及生活的方方面面,小到计算柴米油盐,

大到计算企业的收支状况。纵观近几年各地的数学中考试题,“利润最大值”问题

也常有出现,难易程度不一,它涉及方程、二次函数等方面的知识。在解决此类问

题时,学生一定要结合实际情况灵活运用数学知识,不能生搬硬套数学公式。下面

笔者结合具体试题,分析归纳此类问题的解题策略。

1. (2020成都8分)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，

某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫，已知商家购进一批产

品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的

月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x<24)满足一次函数的关系，

部分数据如下表：

x(元/件)

y(件)

12

1200

13

1100

14

1000

15

900

16

800

(1)求y与x的函数关系式；

(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试

问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．

解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，

由表格知，当x＝12时，y＝1200；当x＝13时，y＝1100，



12k＋b＝1200



k＝－100

则有



，解得



，



13k＋b＝1100



b＝2400

∴y与x的函数关系式为y＝－100x＋2400；(4分)

(2)设商家线上和线下的月利润总和为w元，则可得

w＝400(x－2－10)＋y(x－10)＝－100(x－19)

2

＋7300.

∵－100<0，12≤x＜24，

∴当x为19元/件时，月利润总和达到最大，此时最大利润是7300元．(8分)

2. (2020福建8分)某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为

10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由

于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产

的销售量都不超过20吨．

(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公

司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？

(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．

解：(1)设这个月该公司销售甲特产x吨，则销售乙特产(100－x)吨，

由题意得10x＋(100－x)＝235，

解得x＝15，则100－x＝85.

答：这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；(3分)

(2)设一个月销售甲特产m吨，则销售乙特产(100－m)吨，且0≤m≤20，获

得的总利润为w万元．

公司获得的总利润w＝(10.5－10)m＋(1.2－1)(100－m)

＝0.3m＋20.

∵0.3＞0，∴w随着m的增大而增大．

又∵0≤m≤20，

∴当m＝20时，公司获得的总利润取得最大值，最大值为0.3×20＋20＝26

万元．

答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润为26万元．(8分)

3. (2020丹东10分)某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50