2024年4月13日发(作者：山东省高三一二模数学试卷)
2009年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果
∥，那么（ ）
A．k=1且c与d同向 B．k=1且c与d反向
C．k=﹣1且c与d同向 D．k=﹣1且c与d反向
3．（5分）为了得到函数y=lg
（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的底面边长为1，AB
1
与底面ABCD成60°
角，则A
1
C
1
到底面ABCD的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点
5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5分）若（1+）
5
=a+b（a，b为有理数），则a+b=（ ）
A．45 B．55 C．70 D．80
7．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为
（ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
8．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x
2
于A，B
两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“
A．直线l上的所有点都是“
B．直线l上仅有有限个点是“
C．直线l上的所有点都不是“
点”
点”
点”
点”，那么下列结论中正确的是（ ）
D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）= ．
点”
10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为 ．
11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜
率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为 ．
12．（5分）椭圆+=1的焦点为F
1
、F
2
，点P在椭圆上，若|PF
1
|=4，则
|PF
2
|= ，∠F
1
PF
2
的大小为 ．
13．（5分）若函数则不等式的解集为 ．
14．（5分）{a
n
}满足：a
4n
﹣
3
=1，a
4n
﹣
1
=0，a
2n
=a
n
，n∈N
*
则a
2009
= ；a
2014
= ．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，
∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．
17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是
相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．
18．（13分）设函数f（x）=xe
kx
（k≠0）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．
19．（14分）已知双曲线C：
方程为x=
=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x
2
+y
2
=2上动点P（x
0
，y
0
）（x
0
y
0
≠0）处的切线，l与双
曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．
20．（13分）已知数集A={a
1
，a
2
，…，a
n
}（1≤a
1
＜a
2
＜…a
n
，n≥2）具有性质P；
对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a
i
a
j
与两数中至少有一个属于A．
（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）证明：a
1
=1，且；
（Ⅲ）证明：当n=5时，a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，a
5
成等比数列．
2009年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确
定复数z所在象限．
【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，
∴复数z所对应的点为（﹣2，1），
故选B
2．（5分）（2009•北京）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=
﹣，如果∥，那么（ ）
A．k=1且c与d同向 B．k=1且c与d反向
C．k=﹣1且c与d同向 D．k=﹣1且c与d反向
【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足
条件，从而选出应选的选项．
【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，
则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），
显然，与不平行，排除A、B．
若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），
即∥ 且与反向，排除C，
故选 D．
3．（5分）（2009•北京）为了得到函数y=lg
象上所有的点（ ）
的图象，只需把函数y=lg x的图
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．
【解答】解：∵，
∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个
单位长度
故选C．
4．（5分）（2009•北京）若正四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的底面边长为1，AB
1
与底
面ABCD成60°角，则A
1
C
1
到底面ABCD的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．
【解答】解：依题意，BB
1
的长度即A
1
C
1
到上面ABCD的距离，
∠B
1
AB=60°，BB
1
=1×tan60°=
故选：D．
，
5．（5分）（2009•北京）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于
基础知识、基本运算的考查．将a=
cos2a=时，a=
结论．
【解答】解：当a=
cos2a=cos（4kπ+
+2kπ（k∈Z）时，
）=cos=
+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但
+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到
反之，当cos2a=时，
有2a=2kπ+
或2a=2kπ﹣
故选A．
6．（5分）（2009•北京）若（1+
A．45 B．55 C．70 D．80
【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简
展开式求出a，b，求出a+b
【解答】解析：由二项式定理得：
（1+
=1+5
=41+29
）
5
=1+C
5
1
+20+20
，
+C
5
2
（
+20+4
⇒a=kπ+
⇒a=kπ﹣
（k∈Z），
（k∈Z），
）
5
=a+b（a，b为有理数），则a+b=（ ）
）
2
+C
5
3
（）
3
+C
5
4
（）
4
+C
5
5
•（）
5
∴a=41，b=29，a+b=70．
故选C
7．（5分）（2009•北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位
偶数的个数为（ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位
不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有
9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．
【解答】解：由题意知本题要分类来解，
当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，
因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256
当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，
共有9×8×1=72
根据分类计数原理知共有256+72=328
故选B
8．（5分）（2009•北京）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线
y=x
2
于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“
是（ ）
A．直线l上的所有点都是“
B．直线l上仅有有限个点是“
C．直线l上的所有点都不是“
点”
点”
点”
点”
点”，那么下列结论中正确的
D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“
【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B
的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有
解，进而可推断出直线l上的所有点都符合．
【解答】解：设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）
∵A，B在y=x
2
上
∴n=m
2
，2n﹣x+1=（2m﹣x）
2
消去n，整理得关于x的方程
x
2
﹣（4m﹣1 ）x+2m
2
﹣1=0
∵△=8m
2
﹣8m+5＞0恒成立，
∴方程恒有实数解，
∴故选A．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）（2009•北京）= ．
【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到
，由此能够得到的值．
【解答】解：
=
=
=
．
故答案为：．
10．（5分）（2009•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为 ﹣
6 ．
【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线
过（4，﹣2）点时s有最小值．
【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：y﹣x=0
平移l过点A（4，﹣2）时s有最小值﹣6，
故答案为﹣6．
11．（5分）（2009•北京）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））
处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为 ﹣1 ．
【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题．
【解答】解；取f（x）=x
2
﹣1，如图，
易得该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．
故应填﹣1．
12．（5分）（2009•北京）椭圆+=1的焦点为F
1
、F
2
，点P在椭圆上，若|PF
1
|=4，
则|PF
2
|= 2 ，∠F
1
PF
2
的大小为 120° ．
【分析】第一问用定义法，由|PF
1
|+|PF
2
|=6，且|PF
1
|=4，易得|PF
2
|；第二问如
图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．
【解答】解：∵|PF
1
|+|PF
2
|=2a=6，
∴|PF
2
|=6﹣|PF
1
|=2．
在△F
1
PF
2
中，
cos∠F
1
PF
2
=
==﹣，
∴∠F
1
PF
2
=120°．
故答案为：2；120°
13．（5分）（2009•北京）若函数
为 [﹣3，1] ．
则不等式的解集
【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解
法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．
【解答】解：①由．
②由．
∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，
故答案为：[﹣3，1]．
14．（5分）（2009•北京）{a
n
}满足：a
4n
﹣
3
=1，a
4n
﹣
1
=0，a
2n
=a
n
，n∈N
*
则a
2009
= 1 ；
a
2014
= 0 ．
【分析】由a
4n
﹣
3
=1，a
4n
﹣
1
=0，a
2n
=a
n
，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，
第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007
项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．
【解答】解：∵2009=503×4﹣3，
∴a
2009
=1，
∵a
2014
=a
1007
，
1007=252×4﹣1，
∴a
2014
=0，
故答案为：1，0．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）（2009•北京）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为
．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出
sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，
，
利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；
（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a
不知道，所以利用正弦定理求出a即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且
∴A为锐角，
则sinA=
∴
∴sinC=sin（
＞0，
=
﹣A）=cosA+sinA=
，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=
又∵，
∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴a==，
×=．
∴△ABC的面积S=absinC=××
16．（14分）（2009•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，
∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．
【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证
BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥
BC，满足定理所需条件；
（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在
Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；
（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣
DE﹣P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在
点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．
【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DE=BC．
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．
又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=AB．
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，
．
即AD与平面PAC所成角的正弦值为
（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，
∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．
这时，∠AEP=90°，
故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．
17．（13分）（2009•北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是
否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是
2min．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．
【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第
一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生
的概率，根据公式得到结果．
（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，
根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．
【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件
A，
∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口
遇到红灯”，
∴事件A的概率为
（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）
事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），
∴
∴即ξ的分布列是
ξ
P
0
，
2
4
6
8
∴ξ的期望是
18．（13分）（2009•北京）设函数f（x）=xe
kx
（k≠0）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．
【分析】（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0
处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）
＜0求得的区间是单调减区间即可；
（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内
单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，
由此即可求k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e
kx
，f′（0）=1，f（0）=0，
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；
（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e
kx
=0，得x=﹣（k≠0），
若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＞0，
函数f（x）单调递增，
若k＜0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，
f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（﹣，+∞，）时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，
即k≤1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，
若k＜0，则当且仅当﹣≥1，
即k≥﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，
综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时，
k的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]．
19．（14分）（2009•北京）已知双曲线C：
为，右准线方程为x=
=1（a＞0，b＞0）的离心率
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x
2
+y
2
=2上动点P（x
0
，y
0
）（x
0
y
0
≠0）处的切线，l与双
曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．
【分析】（ I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出
双曲线方程．
（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标
之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，，
解得a=1，c=
b
2
=c
2
﹣a
2
=2，
，
∴所求双曲C的方程．
（Ⅱ）设P（m，n）（mn≠0）在x
2
+y
2
=2上，
圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），
化简得mx+ny=2．
以及m
2
+n
2
=2得
（3m
2
﹣4）x
2
﹣4mx+8﹣2m
2
=0，
∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m
2
＜2，
3m
2
﹣4≠0，且△=16m
2
﹣4（3m
2
﹣4）（8﹣2m
2
）＞0，
设A、B两点的坐标分别（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），
x
1
+x
2
=，x
1
x
2
=．
∵，
且
=x
1
x
2
+[4﹣2m（x
1
+x
2
）+m
2
x
1
x
2
]
=+[4﹣+]
=﹣=0．
∴∠AOB的大小为90
0
．
20．（13分）（2009•北京）已知数集A={a
1
，a
2
，…，a
n
}（1≤a
1
＜a
2
＜…a
n
，n≥2）
具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a
i
a
j
与两数中至少有一个属于A．
（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）证明：a
1
=1，且；
（Ⅲ）证明：当n=5时，a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，a
5
成等比数列．
【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a
i
a
j
与两数中至少有一
个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商
是否为该集合中的元素；
（Ⅱ）由性质P，知a
n
a
n
＞a
n
，故a
n
a
n
∉A，从而1=∈A，a
1
=1．再验证又∵
＜＜…＜＜，，，…，，从而
++…++=a
1
+a
2
+…+a
n
，命题得证；
（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，
∴该数集不具有性质P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，
∴该数集具有性质P．
（Ⅱ）∵A={a
1
，a
2
，…，a
n
}具有性质P，
∴a
n
a
n
与中至少有一个属于A，
由于1≤a
1
＜a
2
＜…＜a
n
，∴a
n
a
n
＞a
n
故a
n
a
n
∉A．
从而1=∈A，a
1
=1．
∵1=a
1
＜a
2
＜…a
n
，n≥2，∴a
k
a
n
＞a
n
（k=2，3，4，…，n），
故a
k
a
n
∉A（k=2，3，4，…，n）．
由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．
又∵＜＜…＜＜，
∴，，…，，
从而++…++=a
1
+a
2
+…+a
n
，
∴且；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，
有，，即a
5
=a
2
•a
4
=a
3
2
，
∵1=a
1
＜a
2
＜…＜a
5
，∴a
3
a
4
＞a
2
a
4
=a
5
，∴a
3
a
4
∉A，
由A具有性质P可知∈A．
由a
2
•a
4
=a
3
2
，得∈A，
且1＜，∴，
∴，
即a
1
，a
2
，a
3
，a
4
，a
5
是首项为1，公比为a
2
等比数列．
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