2024年3月19日发(作者：史上最好的数学试卷)
准考证号姓名
（在此卷上答题无效）
萍乡市2022－
2023学年度高三期末考试试卷
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1
．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是
否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔
在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
3
．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设集合
A
1,0,1,2
，
Byy
2
x
,
xA
，则
AB
A．
1,2
B．
1
,2
2
C．
1,2
D．
1
2．已知
i
为虚数单位，则复数
1
的实部与虚部之和为
1i
A．
1
B．
0
C．
1
D．
2
3．在各项均为正数的等差数列
a
n
中，
a
2
3
，若
a
2
,a
3
1,a
5
3
成等比数列，则公差
d
A．
1
或
2
B．
2
C．
1
或
2
D．
1
4．已知
m
和
n
是空间中两条不同的直线，
和
是两个不重合的平面，下列命题正确的是
A．若
mn
，
n
，则
m
B．若
m
，
n
，
，则
mPn
C．若
mP
，
mn
，则
n
D．若
m
，
m
，则
5．关于某校运动会
5000
米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题
p
；
“乙得第二”为命题
q
；“丙得第三”为命题
r
.若
pq
为真命题，
pq
为假命题，
(q)r
为假命题，则下列说法一定正确的为
A．甲不是第一
C．丙不是第三
B．乙不是第二
D．根据题设能确定甲、乙、丙的顺序
6．在二项式
(a2x)
6
的展开式中，若
x
3
的系数为
160
，则
a
A．
1
B．
1
C．
3
4
D．
3
4
7．函数
ykx
与
ylnx
的图象有且只有一个公共点，则实数
k
的取值范围为
A．
k1
B．
k
1
e
C．
k
1
或
k0
e
D．
k1
或
k0
8．分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出
图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同．谢尔
宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方
法是：将一个正方形均分为
9
个小正方形，再将中间的正方形去掉，
称为一次迭代；然后对余下的
8
个小正方形做同样操作，直到无限次，
如右上图．进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如右下图，从正方
形
ABCD
内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为
A．
1
C．
2
9
9
B．
17
D．
3
81
17
9．已知
f
x
是定义在
R
上的奇函数，
f
x
是其导函数.当
x0
时，
f
x
x
2
0
，且
f
2
3
，则
f
x
A．
-2,
1
3
x
1
的解集是
3
C．
2,+
D．
-,-2
B．
2,2
10．下列关于函数
f
(
x
)
sin2
x
1
有关性质的描述，正确的是
cos
x
B．函数
f
x
的图象关于直线
x
A．函数
f(x)
的最小正周期为
2
对称
2
C．函数
f(x)
的最小正周期为
D．函数
f
x
的图象关于直线
x
对称
11．点
M
为抛物线
y
2
8x
上任意一点，点
N
为圆
x
2
y
2
4x30
上任意一点，
P
为直
线
axya10
的定点，则
MPMN
的最小值为
A．
2
B．
2
C．
3
D．
22
12．已知函数
f
x
axlna
，
g
x
x
e
x
ln
x
，若关于
x
的不等式
f
x
g
x
在区间
(0,)
内有且只有两个整数解，则实数
a
的取值范围为
e
2
B．
(e,]
2
e
2
e
3
D．
(,]
23
A．
e,e
2
C．
e,e
23
萍乡市2022－
2023学年度高三期末考试试卷
理科数学
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做
答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．
13．在平面直角坐标系中，角
的顶点在坐标原点，始边与
x
轴的非负半轴重合，已知角
终边过点
P(2,1)
，则
sin2
__________．
14．在平面直角坐标系中，向量
a
,
b
满足
a
1,1
,2a3b
1,5
，则
ab
__________．
15．在
ABC
中，内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，若
ABC
的周长为
7
，面积为
37
，且
4
ab8c28
，则
c
__________．
16．已知球
O
是棱长为
1
的正四面体的内切球，
AB
为球
O
的一条直径，点
P
为正四面体表面
上的一个动点，则
PA
PB
的取值范围为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
1
记
S
n
为数列
的前
n
项和，已知
a
1
1
，
a
n
S
n
n
2
n
1
．
a
n
(1)求数列
a
n
的通项公式；
a
n
3
n
1
(2)求数列
的前
n
项和
T
n
．
2
n
1
18.（本小题满分12分）
如图，在五面体
ABCDE
中，
ABC
为等边三角形，平面
ABC
平面
ACDE
，且
DEAEAC90
，
AC2AE2ED2
，
F
为边
BC
的中点．
(1)证明：
DF
平面
ABE
；
(2)求
EF
与平面
ABE
所成角的正弦值．
19.（本小题满分12分）
1
，乙答对每道题的概率均
2
为
p(0p1)
，两人答每道题都相互独立.答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得
10
分，
1
答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为，若抢到，答对得
10
分，
2
甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为
对方得
0
分，答错得
0
分，对方得
5
分.
(1)若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为
f(p)
，求
f(p)
的最大值和此
时乙答对每道题的概率
p
0
；
(2)以(1)中确定的
p
0
作为
p
的值，求乙在第二轮得分
X
的数学期望．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆
E
的中心在原点，周长为
8
的
ABC
的顶点
A3,0
为椭圆
E
的左焦点，顶点
B,C
在
E
上，且边
BC
过
E
的右焦点．
(1)求椭圆
E
的标准方程；
(2)椭圆
E
的上、下顶点分别为
M,N
，点
P
m,2
mR,m0
，若直线
PM,PN
与椭圆
E
的另一个交点分别为点
S,T
，求证：直线
ST
过定点，并求该定点坐标．
21.（本小题满分12分）
已知函数
f
x
a
e
x
1
ln
x
．
x
(1)若
a0
，求
f
x
的极值；
(2)若
f
x
1
恒成立，求实数
a
的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题做答，只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第
一个题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中，以原点
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知
曲线
C
1
:
0
0
0,
,
0
与曲线
C
2
:
2
4
sin
30
相交于
P,Q
两点．
(1)写出曲线
C
2
的直角坐标方程，并求出
0
的取值范围；
(2)求
11
的取值范围．
OPOQ
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数
f
x
ax1b
a0,b0
的图象与
x
轴围成的封闭图形的面积为
1
．
(1)求实数
a,b
满足的关系式；
(2)若对任意
xR
，不等式
f
x
a
x
2
恒成立，求实数
b
的取值范围.
b
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