2024年4月1日发(作者：数学试卷考了96分的反思)

专题16 函数动点问题中三角形存在性

模型一、等腰三角形存在性问题

以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.

模型二、直角三角形存在性问题

以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直

角”.

【例1】（2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线

y

=

ax

－

2

3

x

+

c

经过点

A

(－

2

1,0),

B

(4,0)，与

y

轴交于点

C

，点

P

是

x

轴下方的抛物线上一动点（包含点

A

、

B

）.作直线

BC

，若过点

P

作

x

轴的垂线，交直线

BC

于点

Q

.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在点

P

的运动过程中，是否存在点

P

，使△

CPQ

是等腰三角形？若存在，直接写出点

P

的横坐标，

若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：

y

=

a

（

x

+1）（

x

－4），

将点（0，－2）代入上式，得：

a

=

即抛物线的解析式为：

y

=

（2）由

y

=

1

，

2

1

2

3

x

－

x

－2；

22

1

2

3

x

－

x

－2得：

C

(0,－2), 由勾股定理得：

BC

=2

5

,

22

1

由

C

(0,－2),

B

(4,0)得直线

BC

的解析式为：

y

=

x

－2，

2

1

2

31

设

P

（

m

，

m

－

m

－2），则

Q

(

m

，

m

－2)，

222

过

Q

作

QM

⊥

y

轴于

M

，则

QM

∥

AB

，

∴

CQm

CQQM

， ,即

BCAB

25

4

5m

,

2

22

∴

CQ

=

3

3

1

1

1

PQ

=－

m

2

+2

m

,

PC

=

m

2

m

2

m

=

m

1

m

，

2

2

2

2

2

①当

CQ

=

PQ

时，

5m

1

2

=－

m

+2

m

，解得：

m

=0（舍）或

m

=4－

5

；

2

2

②当

CQ

=

PC

时，

3

5m

1

=

m

1

m

，解得：

m

=0（舍）或

m

=2或

m

=4（舍）；

2

2



2

③当

PQ

=

PC

时，

2

3

1

2

3

1

－

m

+2

m

=

m

1

m

，解得：

m

=0（舍）或

m

=；

2

22

2

综上所述，存在点

P

，使△

CPQ

是等腰三角形，点

P

的横坐标为：4－

5

或2或

2

2

3

.

2

【变式1－1】（2018·开封二模）如图，抛物线

L

：

y

=

ax

+

bx

+3与

x

轴交于

A

、

B

两点（

A

点在

B

点的左

侧），与

y

轴交于点

C

，已知点

B

(3,0)，抛物线的对称轴为

x

=1.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线向下平移

h

个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△

OBC

内部（包含△

OBC

边

界），求

h

的取值范围；

（3）设点

P

是抛物线

L

上任一点，点

Q

在直线

l

：

x

=－3上，△

PBQ

能否成为以点

P

为直角顶点的等腰

直角三角形？若能，写出符合条件的点

P

的坐标，若不能，请说明理由.

【答案】见解析.


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