2024年3月27日发(作者：2002年湖南数学试卷)
其中可以用“两点之间的所有连线中，线段最短”这个数学基本事实来解释的有( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
5．平面上
A
，
B
两点间的距离是指( )
A．经过
A
，
B
两点的直线
B．射线
AB
C．
A
，
B
两点间的线段
D．
A
，
B
两点之间线段的长度
6．
A
，
B
是河流
l
两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向
A
，
B
两村供水，抽水站修在什么地方才能使所
需的管道最短？请在图2－3－4中表示出抽水站点
P
的位置，并说明你的理由．
图2－3－4
7．根据数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，回答下列问题：
(1)数轴上表示－3和－9的两点之间的距离是多少？数轴上表示2和－8的两点之间的距离是多少？
(2)数轴上表示
x
和－2的两点
A
和
B
之间的距离是多少？如果|
AB
|＝4，那么
x
的值为多少？
8．如图2－3－5所示为一张长方形纸片．
(1)量一量，长比宽长了多少？
(2)用折纸的方法比较长与宽的大小．
第 100 页 共 340 页
图2－3－5
9．为了解决某地的缺水问题，政府准备投资建设一个蓄水池．不考虑其他因素，请你在图2－3－6中画出蓄
水池点
E
的位置，使它到
A
，
B
，
C
，
D
4个村庄的距离和最小，并说明理由．
图2－3－6
第 101 页 共 340 页
【详解详析】
1．A 2.
d
3．解：如图所示：
4．B 5.D
6．解：如图所示：
理由：两点之间的所有连线中，线段最短．
7．解：(1)数轴上表示－3和－9的两点之间的距离是6，数轴上表示2和－8的两点之间的距离是10.
(2)
A
，
B
两点之间的距离是|
x
＋2|.如果|
AB
|＝4，那么
x
的值为2或－6.
9．解：蓄水池点
E
的位置如图所示．
理由：两点之间的所有连线中，线段最短．
2.4 线段的和与差
知识点 1 线段和与差的表示
1．根据图2－4－1填空：
图2－4－1
(1)
AC
＝________＋________；
(2)
CD
＝
BD
－________；
(3)
BC
＝________－
AB
；
第 102 页 共 340 页
(4)
CD
＝
AB
＋
BD
－________．
2．如图2－4－2所示，
P
，
Q
是线段
AB
上的两点，且
PQ
＝
QB
，则
AQ
＝________＋
PQ
＝
AP
＋________．
图2－4－2
3．如图2－4－3，下列关系式中与图不符的是( )
图2－4－3
A．
AD
－
CD
＝
AC
B．
AB
＋
BC
＝
AC
C．
BD
－
BC
＝
AB
＋
BC
D．
AD
－
BD
＝
AC
－
BC
4．已知线段
AB
＝3 cm，延长线段
BA
到点
C
，使
BC
＝2
AB
，求
AC
的长．
知识点 2 线段和与差的作图
5．教材例1变式已知线段
a
，
b
，小雪作出了如图2－4－4所示的图形，其中
AD
是所求线段，则线段
AD
＝
________(用含
a
，
b
的式子表示)．
1
2
图2－4－4
6．如图2－4－5，已知线段
a
，
b
(
a
>
b
)，画线段
AB
，使
AB
＝2
a
－2
b
.(不写作图过程，仅保留作图痕迹)
第 103 页 共 340 页
图2－4－5
知识点 3 线段的中点
1
7．如图2－4－6，若
C
是线段
AB
的中点，则________＝________＝________；或______＝2________＝2________．
2
图2－4－6
8．如图2－4－7，
C
，
D
是线段
AB
上的两点，
D
是线段
AC
的中点．若
AB
＝10 cm，
BC
＝4 cm，则
AD
的长为( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
图2－4－7
图2－4－8
9．如图2－4－8，
C
是线段
AB
上一点，
M
是
AC
的中点，
N
是
BC
的中点，如果
MC
比
NC
长2 cm，那么
AC
比
BC
长( )
A．2 cm B．4 cm C．1 cm D．6 cm
10．如图2－4－9，已知
C
是线段
AB
的中点，
D
是线段
CB
的中点，
BD
＝2 cm，求
AD
的长．
图2－4－9
11．点
M
在线段
AB
上，下面给出的四个式子中，不能判定
M
是线段
AB
的中点的是( )
第 104 页 共 340 页
1
A．
AB
＝2
AM
B．
BM
＝
AB
2
C．
AM
＝
BM
D．
AM
＋
BM
＝
AB
12．点
A
，
B
，
C
在同一条数轴上，其中点
A
，
B
表示的数分别是－3，1.若
BC
＝2，则
AC
等于( )
A．3 B．2
C．3或5 D．2或6
2
13．如图2－4－10，把一根绳子对折成线段
AB
，从点
P
处把绳子剪断，已知
AP
＝
PB
.若剪断后的各段绳子中
3
最长的一段为60 cm，则绳子的原长为( )
图2－4－10
A．60 cm B．100 cm
C．150 cm D．100 cm或150 cm
14．有两根木条，一根长60 cm，另一根长100 cm，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的
中点之间的距离是____________．
15．如图2－4－11，已知线段
AB
＝80 cm，
M
为
AB
的中点，点
P
在
MB
上，
N
是
PB
的中点，且
NB
＝14 cm，求
MP
的长．
图2－4－11
1
16．画线段
MN
＝3 cm，在线段
MN
上取一点
Q
，使
MQ
＝
NQ
，延长线段
MN
至点
A
，使
AN
＝
MN
；延长线段
NM
至点
2
第 105 页 共 340 页
B
，使
BN
＝3
BM
，根据所画图形解答下列各题：
(1)求线段
BM
的长度；
(2)求线段
AN
的长度；
(3)
Q
是哪些线段的中点？图中共有多少条线段？
17．如图2－4－12，延长线段
AB
到点
C
，使
BC
＝2
AB
，取线段
AC
的中点
D
.已知
BD
＝2，求线段
AC
的长．
图2－4－12
18．(1)如图2－4－13，线段
AB
＝4，
O
是线段
AB
上一点，
C
，
D
分别是线段
OA
，
OB
的中点，小明据此很轻松
地求得
CD
＝2.你知道小明是怎样求出来的吗？
(2)小明在反思过程中突发奇想：若点
O
运动到线段
AB
的延长线上，其他条件不变，原有的结论“
CD
＝2”是
否仍然成立？请你帮小明画出图形，并说明理由．
图2－4－13
第 106 页 共 340 页
【详解详析】
1．(1)
AB
BC
(2)
BC
(3)
AC
(4)
AC
1
2．
AP
PB
[解析] 因为
AQ
＝
AP
＋
PQ
，
PQ
＝
QB
，所以
PQ
＝
PB
，
2
1
所以
AQ
＝
AP
＋
PB
.
2
3．C
4．解：如图所示．因为
BC
＝2
AB
，
AB
＝3 cm，
所以
BC
＝6 cm，
所以
AC
＝
BC
－
AB
＝6－3＝3(cm)．
5．2
a
－
b
6.略
7．
AC
BC
AB
AB
AC
BC
8．B [解析] 因为
D
是线段
AC
的中点，所以
AC
＝2
AD
.因为
AC
＝
AB
－
BC
＝10－4＝6(cm)，所以
AD
＝3 cm.
9．B [解析] 因为
M
是
AC
的中点，
N
是
BC
的中点，所以
AC
＝2
MC
，
BC
＝2
NC
，所以
AC
－
BC
＝(
MC
－
NC
)×2＝2×2
＝4(cm)，即
AC
比
BC
长4 cm.
10．解：因为
D
是线段
CB
的中点，
BD
＝2 cm，
所以
CB
＝2
BD
＝4 cm，
CD
＝
BD
＝2 cm.
因为
C
是线段
AB
的中点，
所以
AC
＝
CB
＝4 cm，
所以
AD
＝
AC
＋
CD
＝4＋2＝6(cm)．
11．D
12．D.
13．D
14．80 cm或20 cm
[解析] 把两根木条分别看成两条线段
AB
，
BC
，设
BC
＝60 cm，
AB
＝100 cm，
AB
的中点是
M
，
BC
的中点是
N
.
第 107 页 共 340 页
11
如图①，当点
C
在线段
AB
的延长线上时，
MN
＝
BM
＋
BN
＝
AB
＋
BC
＝50＋30＝80(cm)．
22
11
如图②，当点
C
在线段
AB
上时，
MN
＝
BM
－
BN
＝
AB
－
BC
＝50－30＝20(cm)．
22
15．解：因为
N
是
PB
的中点，所以
PB
＝2
NB
＝2×14＝28(cm)．
又因为
M
是
AB
的中点，
11
所以
AM
＝
MB
＝
AB
＝×80＝40(cm)，
22
所以
MP
＝
MB
－
PB
＝40－28＝12(cm)．
16．解：根据题意画出图形，如图所示．
(1)因为
MN
＝3 cm，
MQ
＝
NQ
，所以
MQ
＝
NQ
＝1.5 cm.
1
又因为
BM
＝
BN
，所以
BM
＝
MQ
＝
NQ
＝1.5 cm.
3
1
(2)因为
AN
＝
MN
，
MN
＝3 cm，
2
所以
AN
＝1.5 cm.
(3)由题意，知
BM
＝
MQ
＝
QN
＝
NA
，
所以
Q
既是线段
MN
的中点，也是线段
AB
的中点．
图中共有10条线段，它们分别是线段
BM
，
BQ
，
BN
，
BA
，
MQ
，
MN
，
MA
，
QN
，
QA
，
NA
.
133
17．解：因为
BC
＝2
AB
，所以
AC
＝3
AB
.因为
D
是
AC
的中点，所以
AD
＝
AC
＝
AB
.因为
BD
＝
AD
－
AB
，所以2＝
AB
222
－
AB
，解得
AB
＝4，所以
AC
＝3×
4＝12.
18．解：(1)当点
O
是线段
AB
上的一点时，
因为
C
，
D
分别是线段
OA
，
OB
的中点，
第 108 页 共 340 页
11
所以
OC
＝
OA
，
OD
＝
OB
，
22
111
所以
CD
＝
OC
＋
OD
＝
OA
＋
OB
＝(
OA
＋
OB
)．
222
因为
OA
＋
OB
＝
AB
＝4，
11
所以
CD
＝
AB
＝×4＝2.
22
(2)当点
O
运动到线段
AB
的延长线上时，原有的结论“
CD
＝2”仍然成立，如图所示．
理由：因为
C
，
D
分别是线段
OA
，
OB
的中点，
11
所以
OC
＝
OA
，
OD
＝
OB
.
22
因为
CD
＝
OC
－
OD
，
111
所以
CD
＝
OA
－
OB
＝(
OA
－
OB
)．
222
因为
OA
－
OB
＝
AB
，
AB
＝4，
11
所以
CD
＝
AB
＝×4＝2.
22
2.5 角以及角的度量
知识点 1 角的定义和表示方法
1．下列说法：①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边必须画得一样长；④角
的两边是两条射线；⑤因为平角的两边也成一条直线，所以一条直线可以看成一个平角．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图2－5－1，下列说法错误的是( )
A．∠1与∠
AOB
表示同一个角
B．∠β表示的是∠
BOC
C．图中共有三个角：∠
AOB
，∠
AOC
，∠
BOC
第 109 页 共 340 页
D．∠
AOC
也可用∠
O
来表示
图2－5－1 图2－5－2
3．图2－5－2中小于平角的角有( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
知识点 2 角的度量单位及换算
4．完成下列角度的换算．
(1)65.34°＝________°________′________″；
(2)72°15′＝________°；
(3)0.2°＝________′；
(4)1.45°＝________′.
5．用度表示下列各角：
(1)15°24′36″；
(2)36°25′12″；
(3)50°65′60″.
第 110 页 共 340 页
6．已知∠
A
＝25°12′，∠
B
＝25.12°，∠
C
＝25.2°，下列结论中正确的是( )
A．∠
A
＝∠
B
B．∠
A
＝∠
C
C．∠
B
＝∠
C
D．以上均不正确
7．[教材练习第2题变式]当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时是( )
A．9点钟 B．8点钟
C．4点钟 D．8点钟或4点钟
8．如图2－5－3所示，写出所有以点
O
为顶点的角：________________，写出所有以点
B
为顶点的小于平角
的角：__________________．
图2－5－3
9．小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，请说出小明到家时钟表上的时针和
分针的夹角为________度．
10．根据如图2－5－4 所示的图形，回答下列问题：
图2－5－4
(1)从一点
O
出发引出2条射线，可组成________个角；
(2)从一点
O
出发引出3条射线，可组成________个角；
(3)从一点
O
出发引出4条射线，可组成________个角；
(4)从一点
O
出发引出5条射线，可组成________个角；
(5)从一点
O
出发引出
n
(
n
≥2，且
n
为正整数)条射线，可组成________个角．
第 111 页 共 340 页
第 112 页 共 340 页
【详解详析】
1．A [解析] 只有说法④正确．故选A.
2．D [解析] ∠
AOC
不能用∠
O
表示，故D选项错误．故选D.
3．C
4．(1)65 20 24 (2)72.25 (3)12 (4)87
36
24.6
°＝15.41°. 5．解： (1)15°24′36″＝15°24′＋
′＝15°24.6′＝15°＋
60
60
12
25.2
°＝36.42°. (2)36°25′12″＝36°25′＋()′＝36°25.2′＝36°＋
60
60
6
(3)50°65′60″＝50°66′＝51°6′＝51°＋
°＝51.1°.
60
6．B [解析] 先将三个角的单位统一成度再进行比较，∠
A
＝25°12′＝25.2°，所以∠
A
＝∠
C
.故选B.
7．D [解析] 因为钟表上每相邻两个表示整点的大格之间的夹角是30°，所以当分针指向12，时针这时恰好
与分针成120°的角时，时针距分针4个格，所以只有8点钟或4点钟时符合要求．故选D.
8．∠
AOB
，∠
AOC
，∠
BOC
∠
ABO
，∠
CBO
，∠
CBE
，∠
EBA
9．65
10．(1)1 (2)3 (3)6 (4)10 (5)
n
（
n
－1）
2
2．6 角的大小
知识点 1 比较角的大小的方法
1．射线
OC
，
OD
与∠
AOB
的关系如图2－6－1所示，下列各式中错误的是( )
A．∠
AOB
＜∠
AOD
B．∠
BOC
＜∠
AOB
C．∠
COD
＜∠
AOD
D．∠
AOB
＜∠
AOC
2．∠α和∠β的顶点和一边都重合，另一边都在公共边的同侧，且∠α>∠β，那么∠α的另一边落在∠β
的( )
A．另一边上 B．内部
C．外部 D．以上说法都不对
第 113 页 共 340 页
图2－6－1 图2－6－2
3．如图2－6－2所示，其中最大的角是________，∠
DOC
，∠
DOB
，∠
DOA
的大小关系是________________(用
“＞”连接)．
4．如图2－6－3，直线
AB
和
CD
相交于点
O
.
(1)分别测量∠
AOC
，∠
AOD
，∠
BOD
和∠
BOC
的度数；
(2)∠
AOC
和∠
BOD
相等吗？∠
AOD
和∠
BOC
呢？
图2－6－3
5．如图2－6－4，比较∠
AOB
，∠
AOC
，∠
AOD
，∠
AOE
的大小．
图2－6－4
第 114 页 共 340 页
知识点 2 角的画法
6．不能用一副三角尺画出的角的度数是( )
A．75° B．85° C．105° D．150°
7．如图2－6－5，已知∠1，用直尺和圆规求作一个角，使它等于∠1.(不写作法，保留作图痕迹)
图2－6－5
8．已知∠
A
＝18°18′，∠
B
＝18.18°，∠
C
＝18.3°，下列说法正确的是( )
A．∠
A
＝∠
B
B．∠
A
＝∠
C
C．∠
A
<∠
B
D．∠
A
>∠
C
图2－6－6
9．在图2－6－6所示的4×4的方格中，记∠
ABD
＝∠α，∠
DEF
＝∠β，∠
CGH
＝∠γ，则(
A．∠β<∠α<∠γ
B．∠β<∠γ<∠α
C．∠α<∠γ<∠β
D．∠α<∠β<∠γ
10．比较两个角的大小，有以下两种方法：
第 115 页 共 340 页
)
方法一：用量角器量出两个角的度数，则度数大的角大；
方法二：构造图形，若一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大．
对于如图2－6－7给定的∠
ABC
与∠
DEF
，用以上两种方法分别比较它们的大小．(注：构造图形时，用尺规作
图作出示意图)
图2－6－7
1．D [解析] 由图可知∠
AOB
＜∠
AOD
，故A选项正确；因为射线
OC
在∠
AOB
的内部，所以∠
BOC
＜∠
AOB
，故
B选项正确；由图可知∠
COD
＜∠
AOD
，故C选项正确；因为射线
OC
在∠
AOB
的内部，所以∠
AOB
>∠
AOC
，故D选项
错误．
2．C [解析] 如图所示：
故选C.
3．∠
AOD
∠
DOA
>∠
DOB
>∠
DOC
4．解：(1)∠
AOC
＝30°，∠
AOD
＝150°，∠
BOD
＝30°，∠
BOC
＝150°.
第 116 页 共 340 页
(2)∠
AOC
＝∠
BOD
，∠
AOD
＝∠
BOC
.
5．解：∠
AOB
<∠
AOC
<∠
AOD
<∠
AOE
.
6．B [解析] 一副三角尺的度数分别是30°，60°，90°和45°，45°，90°，所以可以拼出75°，105°，
150°的角，但不能拼出85°的角．
7．解：如图，∠
ABC
即为所求作的角．
8．B.
9．B
10． 解：方法一：测量得∠
ABC
＝45°，∠
DEF
＝65°，所以∠
ABC
<∠
DEF
.
方法二：以
E
为顶点，
EF
为一边，作∠
FEA
′，使∠
FEA
′＝∠
ABC
，且
EA
′与
ED
在
EF
的同侧，如图，则
∠
FEA
′<∠
DEF
.又因为∠
FEA
′＝∠
ABC
，所以∠
ABC
<∠
DEF
.
第1课时 角的和与差及角的平分线
知识点 1 角的和与差
1．如图2－7－1，下列式子中错误的是( )
A．∠
AOC
＝∠
AOB
＋∠
BOC
B．∠
AOC
＝∠
AOD
－∠
COD
C．∠
AOC
＝∠
AOB
＋∠
BOD
－∠
BOC
D．∠
AOC
＝∠
AOD
－∠
BOD
＋∠
BOC
第 117 页 共 340 页
图2－7－1 图2－7－2
2．把两块三角尺按如图2－7－2所示那样拼在一起，则∠
ABC
等于( )
A．70° B．90° C．105° D．120°
3．如图2－7－3，
O
是直线
l
上一点，∠
AOB
＝105°，则∠1＋∠2＝________°.
图2－7－3 图2－7－4
4．如图2－7－4，已知∠
AOC
＝90°，直线
BD
过点
O
，∠
COD
＝115°，则∠
AOB
的度数为________．
5．如图2－7－5，已知∠
AOC
＝∠
BOD
＝110°，∠
BOC
＝75°，求∠
AOD
的度数．
图2－7－5
第 118 页 共 340 页
知识点 2 角的平分线
6．如图2－7－6，已知
OC
是∠
AOB
的平分线，下列结论不正确的是( )
1
A．∠
AOB
＝∠
BOC
B．∠
AOC
＝∠
AOB
2
C．∠
AOC
＝∠
BOC
D．∠
AOB
＝2∠
AOC
图2－7－6 图2－7－7
7．如图2－7－7，
OC
是∠
AOB
的平分线，
OD
平分∠
AOC
，且∠
COD
＝25°，则∠
AOB
的度数是( )
A．50° B．75° C．100° D．120°
8．如图2－7－8，
OB
是∠
AOC
的平分线，
OD
是∠
COE
的平分线．如果∠
AOC
＝80°，∠
COE
＝60°，则∠
BOD
的
度数为( )
图2－7－8
A．50° B．60° C．65° D．70°
9．如图2－7－9，从直线
AB
上任一点引一条射线
OC
，已知
OD
平分∠
BOC
.若
∠
EOD
＝90°，则
OE
一定是∠
AOC
的平分线，请说明理由．
图2－7－9
第 119 页 共 340 页
知识点 3 角度的加减运算
10．计算：50°－15°30′＝________．
11．计算：36°30′54″＋59°28′59″－61°5′9″＝________．
12．把一副三角尺按照如图2－7－10所示的位置摆放，则形成两个角，分别设为∠α，∠β.若已知∠α＝65°，
则∠β的度数为( )
图2－7－10
A．15° B．25° C．35° D．45°
13．已知直线
AB
上有一点
O
，射线
OD
和射线
OC
在
AB
的同侧，∠
AOD
＝42°，
∠
BOC
＝34°，则∠
AOD
与∠
BOC
的平分线的夹角的度数是( )
第 120 页 共 340 页
A．142° B．90° C．38° D．以上都不对
14. 将一张纸按如图2－7－11所示的方式折叠，
BC
，
BD
为折痕，则∠
CBD
的度数为( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
图2－7－11 图2－7－12
15．如图2－7－12，已知
OE
平分∠
AOB
，
OD
平分∠
BOC
，∠
AOB
为直角，∠
EOD
＝
70°，则∠
BOC
的度数为________．
16．如图2－7－13，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点
O
，则
∠
AOB
＋∠
DOC
＝________°.
图2－7－13
17．已知：如图2－7－14，∠
AOB
＝40°，∠
BOC
＝90°，∠
COD
＝30°，求
∠
AOC
＋∠
BOD
的度数．
图2－7－14
第 121 页 共 340 页
18. 已知∠
AOB
＝80°，∠
BOC
＝20°，求∠
AOC
的度数．
19．如图2－7－15，
OB
平分∠
AOC
，∠
AOD
＝78°.
(1)若∠
BOC
＝20°，求∠
COD
的度数；
(2)若
OC
是∠
AOD
的平分线，求∠
BOD
的度数．
图2－7－15
20．两个角的顶点重合，且有一边重合，另一边互为反向延长线．若这两个角的度数之比为5∶4，则这两个角
的度数差是( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
21．如图2－7－16，已知同一平面内∠
AOB
＝90°，∠
AOC
＝60°.
第 122 页 共 340 页
(1)填空：∠
BOC
＝________°.
(2)若
OD
平分∠
BOC
，
OE
平分∠
AOC
，则∠
DOE
的度数为________°.
(3)在(2)的条件下，如果将题目中“∠
AOC
＝60°”改成“∠
AOC
＝2∠α(∠α<
45°)”，其他条件不变，你能求出∠
DOE
的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
图2－7－16
第 123 页 共 340 页
【详解详析】
1．C
2．D [解析] ∠
ABC
＝30°＋90°＝120°.
3．75 [解析] 因为∠1＋∠
AOB
＋∠2＝180°，
所以∠1＋∠2＝180°－∠
AOB
＝180°－105°＝75°.
4．25°
5．解：因为∠
AOC
＝110°，∠
BOC
＝75°，
所以∠
AOB
＝∠
AOC
－∠
BOC
＝110°－75°＝35°.
又因为∠
BOD
＝110°，
所以∠
AOD
＝∠
AOB
＋∠
BOD
＝35°＋110°＝145°，
即∠
AOD
＝145°.
1
6．A [解析] 因为
OC
是∠
AOB
的平分线，所以∠
AOC
＝∠
AOB
，∠
AOC
＝∠
BOC
，∠
AOB
＝2∠
AOC
，所以A选项
2
错误，B，C，D选项正确，故选A.
7．C [解析] 因为
OC
平分∠
AOB
，
1
所以∠
AOC
＝∠
AOB
.
2
又因为
OD
平分∠
AOC
，
1111
所以∠
COD
＝∠
AOC
＝×∠
AOB
＝∠
AOB
.
2224
因为∠
COD
＝25°，
所以∠
AOB
＝4∠
COD
＝100°.故选C.
8．D [解析] 因为
OB
是∠
AOC
的平分线，所以∠
COB
＝∠
AOB
＝40°.
因为
OD
是∠
COE
的平分线，所以∠
COD
＝∠
EOD
＝30°，所以∠
BOD
＝∠
COB
＋∠
COD
＝40°＋30°＝70°.
9．解：如图，因为∠2＋∠3＝90°，
第 124 页 共 340 页
所以∠1＋∠4＝90°.
因为
OD
平分∠
BOC
，
所以∠3＝∠4，
所以∠1＝∠2，
所以
OE
一定是∠
AOC
的平分线．
10．34°30′
11．34°54′44″
12．B [解析] 观察图形可知∠α＋∠β＋90°＝180°，即∠β＝180°－90°－65°＝25°.
11
13．A [解析] 设
OM
，
ON
分别是∠
AOD
，∠
BOC
的平分线，则∠
AOM
＝∠
AOD
＝21°，∠
BON
＝∠
BOC
＝17°，
22
所以∠
MON
＝180°－∠
AOM
－∠
BON
＝180°－21°－17°＝142°.
14．B
1
[解析] ∠
CBD
＝ ×180°＝90°.
2
15．50°
16．180°.
17．解：因为∠
AOC
＝∠
AOB
＋∠
BOC
＝40°＋90°＝
130°，∠
BOD
＝∠
BOC
＋∠
COD
＝90°＋30°＝120°，
所以∠
AOC
＋∠
BOD
＝130°＋120°＝250°.
18．解：当
OC
在∠
AOB
的外部时，如图①，∠
AOC
＝
∠
AOB
＋∠
BOC
＝80°＋20°＝100°；
当
OC
在∠
AOB
的内部时，如图②，∠
AOC
＝∠
AOB
－∠
BOC
＝80°－20°＝60°.
综上所述，∠
AOC
的度数为100°或60°.
图① 图②
第 125 页 共 340 页
19．解：(1)因为
OB
平分∠
AOC
，∠
BOC
＝20°，
所以∠
AOB
＝∠
BOC
＝20°，
所以∠
AOC
＝∠
BOC
＋∠
AOB
＝40°.
又因为∠
AOD
＝78°，
所以∠
COD
＝∠
AOD
－∠
AOC
＝78°－40°＝38°.
(2)因为
OC
平分∠
AOD
，
11
所以∠
DOC
＝∠
AOC
＝∠
AOD
＝× 78°＝39°.
22
因为
OB
平分∠
AOC
，
11
所以∠
BOC
＝∠
AOC
＝×39°＝19.5°，
22
所以∠
BOD
＝∠
DOC
＋∠
BOC
＝39°＋19.5°＝58.5°.
20．B
21．解：(1)因为∠
AOB
＝90°，∠
AOC
＝60°，所以∠
BOC
＝∠
AOB
＋∠
AOC
＝90°＋60°＝150°.故答案为150.
(2)因为
OD
平分∠
BOC
，
OE
平分∠
AOC
，
11
所以∠
COD
＝∠
BOC
＝75°，∠
COE
＝∠
AOC
＝30°，
22
所以∠
DOE
＝∠
COD
－∠
COE
＝45°.
故答案为45.
(3)能．因为∠
AOB
＝90°，∠
AOC
＝2∠α，
所以∠
BOC
＝90°＋2∠α.
因为
OD
，
OE
分别平分∠
BOC
，∠
AOC
，
11
所以∠
COD
＝∠
BOC
＝45°＋∠α，∠
COE
＝∠
AOC
＝∠α，
22
所以∠
DOE
＝∠
COD
－∠
COE
＝45°.
第 126 页 共 340 页
第2课时 互余、互补及其性质
知识点 1 互余、互补的概念
1．若∠α与∠β互为余角，则∠α＋∠β＝________；若∠α与∠β互为补角，则∠α＋
∠β＝________．
2．[2017·常德]若一个角为75°，则它的余角的度数为( )
A．285° B．105° C．75° D．15°
3．若∠
A
＝34°，则∠
A
的补角的度数为( )
A．56° B．146° C．156° D．166°
4．一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是________．
5．已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补．若∠1＝63°，则∠3＝________．
6．如图2－7－17，
O
是直线
AE
上的一点，
OB
是∠
AOC
的平分线，
OD
是∠
COE
的平分线．
(1)图中互余的角有哪几对？
(2)图中互补的角有哪几对？
图2－7－17
第 127 页 共 340 页
知识点 2 互余、互补的性质
7．(1)若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则
∠2________∠3(填“>”“<”或“＝”)，理由：
________________________．
(2)若∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，且∠1＝∠2，则∠3________∠4(填“>”“<”或“＝”)，理由：
________________________．
(3)若∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，则
∠2________∠3(填“>”“<”或“＝”)，理由：
________________________．
(4)若∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°，且∠1＝∠2，则∠3________∠4(填“>”“<”或“＝”)，理由：
________________________．
8．如图2－7－18，
OD
平分∠
BOC
，
OE
平分∠
AOC
.若∠
BOC
＝70°，∠
AOC
＝50°.
(1)求出∠
AOB
及其补角的度数；
(2)请求出∠
DOC
和∠
AOE
的度数，并判断∠
DOE
与∠
AOB
是否互补，并说明理由．
图2－7－18
9．将一副三角尺按如图2－7－19所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是( )
第 128 页 共 340 页
图2－7－19
10．下列说法正确的是( )
A．互补的两个角一个是锐角，一个是钝角
B．180°的角是补角
C．互余的两个角可能是等角
D．只有锐角有补角
11．已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β－∠γ的值等于(
A．45° B．60° C．90° D．180°
12．如果一个角和它的余角的比是1∶3，那么这个角的度数为________．
13．已知∠α与∠β互补，且∠α>∠β，试判断∠β与
1
2
(∠α－∠β)的数量关系．
14.如图2－7－20，将两块直角三角尺的直角顶点
C
叠放在一起．
(1)若∠
DCE
＝35°，求∠
ACB
的度数；
(2)若∠
ACB
＝140°，求∠
DCE
的度数；
(3)写出∠
ACB
与∠
DCE
的数量关系，并说明理由．
图2－7－20
第 129 页 共 340 页
)
15．如图2－7－21，
O
为直线
AB
上的一点，∠
AOE
为直角，∠
DOF
＝90°，
OB
平分∠
COD
，则图中与∠
DOE
互余
的角有哪些，与∠
DOE
互补的角有哪些？
图2－7－21
16．如图2－7－22，∠
AOB
∶∠
BOC
∶∠
COD
＝2∶3∶4，射线
OM
，
ON
分别平分∠
AOB
与∠
COD
，已知∠
MON
＝90°，
则∠
AOB
等于( )
图2－7－22
A．20° B．30° C．40° D．45°
17．如图2－7－23①，∠
AOB
，∠
COD
都是直角．
(1)试猜想，∠
AOD
和∠
BOC
在数量上是否存在相等、互余或互补的关系？你能说明你的猜想的正确性吗？
(2)当∠
COD
绕点
O
旋转到图2－7－23②所示的位置时，(1)中的猜想还成立吗？
第 130 页 共 340 页
图2－7－23
【详解详析】
1．90° 180°
2．D [解析] 它的余角的度数为90°－75°＝15°.故选D.
3．B [解析] ∠
A
的补角的度数为180°－34°＝146°.故选B.
4．144°38′ [解析] 根据题意得这个角为90°－54°38′＝35°22′， 则这个角的补角为180°－35°22′
＝144°38′.
5．153° [解析] 因为∠1是∠2的余角，∠3是∠2的补角，所以∠3－∠1＝90°，所以∠3＝90°＋63°＝
153°.
6．解：(1)∠
AOB
与∠
DOE
，∠
AOB
与∠
COD
，∠
COD
与∠
BOC
，∠
BOC
与∠
DOE
都是互余的角．
(2)∠
AOB
与∠
BOE
，∠
BOC
与∠
BOE
，∠
AOC
与∠
COE
，∠
COD
与∠
AOD
，∠
EOD
与∠
AOD
都是互补的角．
第 131 页 共 340 页
7．(1)＝ 同角的余角相等 (2)＝ 等角的余角相等 (3)＝ 同角的补角相等 (4)＝ 等角的补角相等
8．解：(1)∠
AOB
＝∠
BOC
＋∠
AOC
＝70°＋50°＝120°，
其补角为180°－∠
AOB
＝180°－120°＝60°.
11
(2)∠
DOC
＝∠
BOC
＝×70°＝35°，
22
11
∠
AOE
＝∠
AOC
＝×50°＝25°.
22
∠
DOE
与∠
AOB
互补．
理由：因为∠
DOE
＝∠
DOC
＋∠
COE
＝∠
DOC
＋∠
AOE
＝35°＋25°＝60°，
所以∠
DOE
＋∠
AOB
＝60°＋120°＝180°，
故∠
DOE
与∠
AOB
互补．
9．C
10．C.
11．C
12．[22.5°
1
[解析] 根据题意，知这个角的度数是90°×＝22.5°.
4
13．解：因为∠α与∠β互补，
所以∠α＋∠β＝180°，
所以∠β＝180°－∠α，
11
所以∠β的余角为90°－(180°－∠α)＝∠α－90°＝∠α－(∠α＋∠β)＝∠α－
22
11
∠β＝(∠α－∠β)，
22
1
所以∠β＋(∠α－∠β)＝90°.
2
14．解：(1)因为∠
ECB
＝90°，∠
DCE
＝35°，
所以∠
DCB
＝90°－35°＝55°.
第 132 页 共 340 页
因为∠
ACD
＝90°，
所以∠
ACB
＝∠
ACD
＋∠
DCB
＝145°.
第 133 页 共 340 页
(2)因为∠
ACB
＝140°，∠
ACD
＝90°，
所以∠
DCB
＝140°－90°＝50°.
因为∠
ECB
＝90°，
所以∠
DCE
＝90°－50°＝40°.
(3)∠
ACB
＋∠
DCE
＝180°(或∠
ACB
与∠
DCE
互补)．
理由：因为∠
ECB
＝90°，∠
ACD
＝90°，
所以∠
ACB
＝∠
ACD
＋∠
DCB
＝90°＋∠
DCB
，
∠
DCE
＝∠
ECB
－∠
DCB
＝90°－∠
DCB
，
所以∠
ACB
＋∠
DCE
＝180°.
15．[解析] 本题要根据余角、补角的定义，结合图形认真观察．
解：因为∠
BOE
＝∠
AOB
－∠
AOE
＝180°－90°＝90°，
所以∠
BOD
＋∠
DOE
＝90°，
即∠
DOE
与∠
BOD
互余．
因为
OB
平分∠
COD
，
所以∠
BOC
＝∠
BOD
，
所以∠
DOE
与∠
BOC
互余．
因为∠
DOF
＝90°，
所以∠
DOE
＋∠
EOF
＝90°，
所以∠
DOE
与∠
EOF
互余．
即与∠
DOE
互余的角有∠
BOD
，∠
BOC
，∠
EOF
.
因为∠
DOE
＋∠
BOF
＝∠
DOE
＋∠
EOF
＋∠
BOE
＝∠
DOF
＋∠
BOE
＝180°，
所以∠
DOE
与∠
BOF
互补．
因为∠
DOE
＋∠
COE
＝∠
DOE
＋∠
COB
＋∠
BOE
＝∠
DOE
＋∠
BOD
＋∠
BOE
＝
∠
BOE
＋∠
BOE
＝180°，
所以∠
DOE
与∠
COE
互补，
第 134 页 共 340 页
即与∠
DOE
互补的角有∠
BOF
，∠
COE
.
16．B
17．解：(1)猜想：∠
AOD
与∠
BOC
互补．
因为∠
AOD
＝∠
AOB
＋∠
BOD
＝90°＋∠
BOD
，
∠
BOD
＝90°－∠
BOC
，
所以∠
AOD
＝90°＋90°－∠
BOC
，
所以∠
AOD
＋∠
BOC
＝180°，
即∠
AOD
与∠
BOC
互补．
(2)(1)中的猜想仍然成立．
因为∠
AOB
，∠
COD
都是直角，
所以∠
AOB
＋∠
COD
＝180°.
又因为∠
AOB
＋∠
BOC
＋∠
COD
＋∠
AOD
＝ 360°，
所以∠
AOD
＋∠
BOC
＝180°，
所以∠
AOD
与∠
BOC
互补．
2.7角的和与差
一、选择题
1.下列哪个角不能由一副三角板作出( )
A.105º B.15º C.175º D.135º
2.已知∠α＝35°19′，则∠α的余角等于（ ）
A.144°41′ B.144°81′ C.54°41′ D.54°81′
3.如图，O为直线AB上的一点，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则图中互余的角有（
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
第 135 页 共 340 页
）
4.已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1=65°，则∠3=（ ）
A.65° B.25° C.115°
D.155°
5.直线AB上有一点O，射线OD和射线OC在AB同侧，∠AOD=60°，∠BOC=30°，则∠AOD与∠BOC的平分线的夹角
的度数是（ ）
A.75° B.90° C.135° D.以上都不对
二、填空题
6. 23°45ˊ+24°15ˊ=_______；136°6ˊ-43°54ˊ28\"=_______．
7.30ˊ的补角是_______，3446ˊ23\"的余角是______．
8.小明家位于小强家北偏西30º的方向上，那么小强家位于小明家_________的方向上.
9.钟表在整点时，时针与分针的夹角会出现5种度数相等的情况，请分别写出它们的度数 ．
10.两个角，它们的比是6：4，其差为36º，则这两个角的关系是________.
三、解答题
11.如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角.
12.打台球，我会，看我打得准不准．
如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将红球撞入袋中，此时∠1=∠2，并且∠2+∠3=90º，如果
红球与洞口连线和台球桌面边缘夹角∠3=30º，那么∠1应等于多少度，才能保证红球能直接入袋？此时的∠1与∠
3是什么关系？
第 136 页 共 340 页
13.如图，∠AOC为直角,OC是∠BOD的平分线,且∠AOB=40°,求∠AOD的度数.
14．如图，已知∠AOC=90°，∠COD比∠DOA大28°，因为OB是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．
答案：
1C；2C；3D；4D；5C；
6.48°，92 °11ˊ32 \"；；7.179°30ˊ，55°13ˊ37\"；8.南偏东30度；9.30º，60º，90º，120º，150º；10.互
补；
11.解：设这个角为x°，则这个的补角的度数为(180－x)°，它的余角的度数为(90－x)°.
于是根据题意，得180°－x＝4(90°－x).
解得x＝60°.
故这个角的度数是60°.
12．∠1=60º，∠1+∠3=90º．
13.解:因为∠BOC=∠AOC－∠AOB=90°－40°=50°,
又OC平分∠BOD,
所以∠COD=∠BOC=50°,
所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+50°=140°.
14.解：因为OB是∠AOC的平分线，∠AOC=90°,
第 137 页 共 340 页
所以∠BOC=∠AOB=45°.
因为∠COD比∠DOA大28°，
所以∠COB+∠BOD－（∠AOB－∠BOD）=28°，
所以∠BOD=14°.
2.8平面图形的旋转
跟踪反馈 挑战自我
一、选一选，看完四个选项再做决定！（每小题3分，共24分）
1. 下列现象属于平移的是（ ）．
（A）摩托车急刹车时向前滑动 （B）汽车在运动过程中车轮的转动
（C）拧开自来水龙头的过程 （D）钟表上时针的匀速转动
2.观察下面图案，在A，B，C，D四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ）
（1） （A）
（B）
（C）
（D）
3.如图，将边长为2个单位的等边△
ABC
沿边
BC
向右平移1个单位得到△
DEF
，则四边形
ABFD
的周长为（
A
D
BE
C
F
图2
（A）6 （B） 8 （C） 10 （D）12
4. 如图，
Rt△ABC
沿直角边
BC
所在的直线向右平移得到
△DEF
，下列结论中正确的有（ ）
第 138 页 共 340 页
）
A D
B E C F
①
△ABC≌△DEF
；②
DEF90
；③
ACDF
；④
ECCF
.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
5. 如图，△ABD 经过旋转后到达△ ACE 的位置，下列说法不正确的是（ ）.
（A）点 A 是旋转中心（B）∠DAC 是一个旋转角（C）AB = AC（D）△ABD )≌△ ACE
6. 在图中，将左边方格纸中的图形绕O点顺时针旋转90°得到的图形是（ ）
（A） （B） （C） （D）
△AOB
中，
∠B30
．7.如图，将
△AOB
绕点
O
顺时针旋转
52
得到
△A
OB
，边
A
B
与边
OB
交于点
C
（
A
不在
OB
上），则
∠A
CO
的度数为（ ）
B
A
C
B
A
O
（第7题）
第 139 页 共 340 页
（A）
22
（B）
52
（C）
60
（D）
82
8.如图，
△ACD
和
△AEB
都是等腰直角三角形，
CADEAB90
，四边形
ABCD
是平行四边形，下列结
论中错误的是（ ）
E
A
D
B
C
（A）
△ACE
以点
A
为旋转中心，逆时针方向旋转
90
后与
△ADB
重合
（B）
△ACB
以点
A
为旋转中心，顺时针方向旋转
270
后与
△DAC
重合
（C）沿
AE
所在直线折叠后，
△ACE
与
△ADE
重合
（D）沿
AD
所在直线折叠后，
△ADB
与
△ADE
重合
二、填一填，要相信自己的能力！（每小题3分，共24分）
1. 在平移过程中,平移后的图形与原来的图形________和_________都相同,•因此对应线段和对应角都________.
2. 如图，△ACD通过平移得到△CBE，请找出图中的等量关系：______________（至少三组）
3.一列火车在笔直的铁轨上做匀速直线运动，已知火车在两分钟内走了1500米，那么坐在1号车厢乘客的速度是
_________________.
4. 在5×5方格纸中将图①中的图形N平移后的位置如图②所示，请写出你的平移方法：__________________（写
出一种即可）.
第 140 页 共 340 页
5. 如图，照相时为了把近处的较高物体照下来，常常保持镜头中心不动，使相机旋转一定的角度，若
A
点从水平
位置顺时针旋转了
30
，那么
B
点从水平位置顺时针旋转了 _________度．
A
B
，2)
，将
OA
绕原点
O
按顺时针方向旋转
90
得到
OA
，则点
A
的坐标6.在平面直角坐标系中，点
A
的坐标为
(1
是 ．
7. 如 图 所 示，如 果 四 边 形CDEF 旋转后能与正方形ABCD 重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的
点有______个 .
8.如图，下面的图案由三个叶片组成，绕点
O
旋转
120
后可以和自身重合，若每个叶片的面积为
4cm
，
∠AOB
．．
为
120
，则图中阴影部分的面积之和为 _______
cm
．
2
2
A
O
（第8题）
B
三、做一做，要注意认真审题！（本大题共40分）
第 141 页 共 340 页
1.如图，横、纵相邻格点间的距离均为1个单位．
（1）在格点中画出图形
ABCD
先向右平移6个单位，再向上平移2个单位后的图形；
（2）请写出平移前后两图形应对点之间的距离．
C
B
A
2.如图，在平面直角坐标系中，先把梯形
ABCD
向左平移6个单位长度得到梯形
A
1
B
1
C
1
D
1
.
（1）请你在平面直角坐标系中画出梯形
A
1
B
1
C
1
D
1
；
（2）以点
C
1
为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点
C
1
顺时针方向旋转
90
得到梯形
A
2
B
2
C
2
D
2
，请你画出梯形
A
2
B
2
C
2
D
2
．
（第1题图）
D
3. 小宁和婷婷在一起做拼图游戏，他们用“
语言进行了表述：
第 142 页 共 340 页
、△△、=”构思出了独特而有意义的图形并根据图形还用简洁的
观察以上图案:
（1）这个图案有什么特点？
（2）它可以通过一个“基本图案”经过怎样的平移而形成？
（3）在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？你能解释其中的道理吗？
4. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转变换后到△ACE的位置．
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转变换后，点M转到了什么位置？
四、探索创新，相信你能做到！（本大题共12分）
如图，在网格中有一个四边形图案．
(1)请你画出此图案绕点D顺时针方向旋转90，180，270的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴
影位置涂错；
(2)若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A
1
、A
2
、A
3
，求四边形AA
1
A
2
A
3
的面积；
(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
000
第 143 页 共 340 页
参考答案：
一、
题号
答案
二、
1. 形状，大小，相等；
2. AC=CB，AD=CE，CD=BE，∠A=∠BCE，∠ACD=∠B，∠D=∠E（任写三个）；
3.750米/分；
4. 先向下移动2格，再向左移动1格（或先向左移动1格，再向下移动2格）；
5. 30；
1)
; 6.
(2，
1
A
2
C
3
B
4
C
5
B
6
B
7
D
8
B
7.3；
8.
4
;
三、
1. 解：（1）画图正确得4分．
C
C
第 144 页 共 340 页
B
B
D
D
A
（2）
210
个单位．
2.略；
3. （1）其特点可以看成由一个“基本图形”经过平移而得到另一个图形
（2）（1）~（5）均可以看成前一个图形是后一个图形向前平移一定距离后得到的．
（6）中的下面图形可以看成是上面图形向下平移一段距离再向右平移一段距离后得到的．
（3）不发生改变，由平移的定义可知．平移不改变图形的大小和形状．
4. （1）旋转中心是A；
（2）旋转了60°；
（3）点M旋转到了AC的中点位置上．
四、
(1)如图，正确画出图案.
(2)如图，
S
四边形AA
1
A
2
A
3
=
S
四边形AB
1
B
2
B
3
-4
S
#BAA
3
第 145 页 共 340 页
1
2
=(3+5)-4××3×5
2
=34.
故四边形AA
1
A
2
A
3
的面积为34．
(3)结论：AB+BC=AC或勾股定理的文字叙述.
提升能力 超越自我
1. 如图所示，桌面上有一排围棋子，共8颗，左边4颗是白子，•右边4颗是黑子，如果只允许将相邻的两颗棋子
同时移动，那么你能经过几次移动后，使它们黑白相间？
222
2. 如图，长方形
ABCD
中，
O
为
AC
的中点，△
ADC
是否可由△
CBA
旋转而得到？若不能，说明其理由；若能，请指
出旋转中心，旋转角是多少度？
A
D
O
BC
3. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，一三角板的45°角的顶点与C点重合，与AB边交于点E、F，来回
转动三角板，保证与AB边总有交点E、F，
（1）请你用测量的方法，来判定在转动的过程中，AE、EF、BF三条线段中，哪条总是最长》
（2）小明将△CFB绕C点按顺时针方向旋转90°后，得到了一个结论：
AEBFEF
，你能说出理由吗？
C
222
A
E F
B
参考答案：
1. 解：经过4次移动后，能使它们黑白相间．
如答图所示，先将左边的两个白子分别移到图（1）的位置，再按图（2）、（3）、（4）的提示依次移动两个棋子．
第 146 页 共 340 页
2. 解：因为△
ADC
≌△
CBA
（SSS）．将△
CBA
绕点
O
旋转
180
后，△
CBA
与△
ADC
重合，因此△
ADC
可由△
CBA
旋转
而得到，旋转角为
180
．
3.（1）EF；
（2）将△CFB绕C点按顺时针方向旋转90°后得到△CDA，则BF=AD，∠DCF=90°.连接DE，因为∠ECF=45°，所
以∠DCE=45°.因为CD=CF，CE=CE，所以△CDE≌△CFE，所以DE=FE，因为
AEADDE
，即
AEBFEF
.
222222
2.8 平面图形的旋转
知识点 1 旋转的概念
1．下面生活中的实例，不是旋转的是( )
A．传送带传送货物 B．螺旋桨的运动
C．风车风轮的运动 D．自行车车轮的运动
2．将图2－8－1所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是( )
A B C D
图2－8－1 图2－8－2
知识点 2 旋转的性质
3．如图2－8－3，四边形
OACB
绕点
O
旋转到四边形
ODFE
，在这个旋转过程中，旋转中心是________，旋转角
是________，
AO
与
DO
的关系是________，∠
AOD
与∠
BOE
的关系是____________．
图2－8－3 图2－8－4
第 147 页 共 340 页
4.[2017·宜宾]如图2－8－4，将三角形
AOB
绕点
O
按逆时针方向旋转45°后得到三角形
COD
.若∠
AOB
＝15°，
则∠
AOD
的度数是________．
知识点 3 旋转作图
5．如图2－8－5，在正方形网格中有三角形
ABC
，三角形
ABC
绕
O
点按逆时针方向旋转90°后的图案应该是
( )
图2－8－5
6．(1)如图2－8－6，将点
A
绕点
O
顺时针旋转60°，请在图中画出点
A
的对应点．
图2－8－6
第 148 页 共 340 页
(2)在如图2－8－7所示的网格图中作出三角形
ABC
以点
A
为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后的三角形
AB
1
C
1
.
图2－8－7
7．如图2－8－8，将三角形
OAB
绕着点
O
逆时针旋转两次得到三角形
OA
″
B
″，每次旋转的角度都是50°.若
∠
B
″
OA
＝120°，则∠
AOB
＝________°.
图2－8－8
8．[教材习题B组第2题变式]请在图2－8－9中画出三角形
ABO
以点
O
为旋转中心逆时针分别旋转90°，180°，
270°时对应的图形．
9．如图2－8－10，在三角形
ABC
中，
AB
＝
BC
＝
AC
，
D
是
BC
边上的一点，三角形
ABD
经过旋转后到达三角形
ACE
的位置．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果
M
是
AB
的中点，那么经过上述的旋转后，点
M
到了什么位置？
图2－8－10
第 149 页 共 340 页
第 150 页 共 340 页
【详解详析】
1．A 2.D
3．点
O
∠
BOE
(或∠
AOD
)
AO
＝
DO
∠
AOD
＝∠
BOE
[解析] 因为四边形
OACB
绕点
O
旋转到四边形
ODFE
，点
B
的对应点为点
E
，所以旋转中心为点
O
，旋转角为
∠
BOE
(或∠
AOD
)．
因为对应点到旋转中心的距离相等，
所以
AO
＝
DO
.
又因为旋转角相等，所以∠
AOD
＝∠
BOE
.
4．60° [解析] 由题意及旋转的性质，得∠
AOC
＝45°.因为∠
AOB
＝15°，
所以∠
COD
＝∠
AOB
＝15°，所以∠
AOD
＝45°＋15°＝60°，故答案为60°.
5．A
6．解：(1)如图所示，点
A
的对应点为点
A
′.
(2)如图所示的三角形
AB
1
C
1
.
7．20 [解析] 由旋转的性质可知，∠
BOB
′＝∠
B
′
OB
″＝50°.因为∠
B
″
OA
＝120°，所以∠
AOB
＝∠
B
″
OA
－∠
BOB
′－∠
B
′
OB
″＝20°.
8．解：如图所示，三角形
ABO
以点
O
为旋转中心逆时针分别旋转90°，180°，270°后的对应图形为三角形
A
′
B
′
O
，三角形
A
″
B
″
O
，三角形
A
″\'
B
″\'
O
.
第 151 页 共 340 页
9．解：(1)旋转中心是点
A
.
(2)旋转了60°.
(3)点
M
到了
AC
的中点处．
第二章 几何图形的初步认识单元测试
类型之一 立体图形的识别与分类
1．下列物体的形状类似于长方体的是( )
A．西瓜 B．砖块
C．沙堆 D．蒙古包
2. 分别说出图2－X－1中的5个几何体的名称，并说明它们是由哪些面围成的．
图2－X－1
第 152 页 共 340 页
3．将图2－X－2中的几何体分类，并说明理由．
图2－X－2
类型之二 用数学知识解释现实生活中的实际问题
4．下列现象可以用“线动成面”来解释的是( )
A．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹
B．扔一块小石子，石子在空中飞行的路线
C．天空划过一道流星
D．汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹
5．如图2－X－3，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线．能解释这一
实际应用的数学知识是______________．
图2－X－3
第 153 页 共 340 页
6．如图2－X－4，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出现这一现象的原因：
____________________________________．
图2－X－4
类型之三 线段和角的计算
7. 如图2－X－5所示，已知
O
是直线
AB
上一点，∠1＝40°，
OD
平分∠
BOC
，则∠2的度数是(
A．20° B．25° C．30° D．70°
图2－X－5 图2－X－6
8．如图2－X－6，已知
M
是线段
AB
的中点，
N
是线段
AM
上的点，且满足
AN
∶
MN
＝1∶2.若
AN
＝2 cm，则
AB
的长度是( )
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
9．用度表示：2700″＝________°.
10．如图2－X－7，
C
，
D
是线段
AB
上的两点，
AB
＝8 cm，
CD
＝3 cm，
M
，
N
分别为
AC
，
BD
的中点．
(1)求
AC
＋
BD
的长；
(2)求点
M
，
N
之间的距离；
(3)如果
AB
＝
a
，
CD
＝
b
，求
MN
的长．
图2－X－7
第 154 页 共 340 页
)
11.如图2－X－8所示，∠
AOB
＝54°，
OC
是∠
AOB
内部的一条射线，
OD
，
OE
分别是∠
AOC
，∠
BOC
的平分线．
(1)求∠
DOE
的度数，并写出∠
DOE
与∠
AOB
的数量关系；
(2)若∠
AOB
＝∠α，其他条件不变，则∠
DOE
的度数是多少？
图2－X－8
类型之四 余角和补角
12．[2017·宜宾期末]如果锐角∠α的补角是138°，那么锐角∠α的余角是( )
A．38° B．42° C．48° D．52°
13．[2017·中山市一模]已知∠
A
＝80°，那么∠
A
补角为________度．
14．若两个互补的角的度数之比为1∶2，则这两个角中较小的角是________度．
类型之五 图形的旋转
15．下列图形中，绕中心顺时针旋转60°后，能与自身重合的是( )
图2－X－9
16．[2017·涿州一模]如图2－X－10，三角形
ODC
是由三角形
OAB
绕点
O
顺时针旋转30°后得到的图形．若
点
D
恰好落在
AB
上，且∠
AOC
的度数为100°，则∠
DOB
的度数是( )
图2－X－10
第 155 页 共 340 页
A．40° B．30° C．38° D．15°
17．如图2－X－11①，教室里有一只倒地的装垃圾的簸箕，
BC
与地面的夹角为50°，∠
C
＝25°，小贤同学将
它扶起平放在地面上(如图②)，则簸箕柄
AB
绕点
C
转动的角度为________．
图2－X－11
第 156 页 共 340 页
18. 如图2－X－12，在正方形网格中，以点
A
为旋转中心，将三角形
ABC
按逆时针方向旋转90°，画出旋转
后的三角形
AB
1
C
1
.
图2－X－12
类型之六 数学活动
19．如图2－X－13，已知线段
AB
＝6，点
C
在线段
AB
上，分别取
AC
，
BC
的中点
D
，
E
.
(1)若
AC
＝2，求线段
DE
的长，观察
DE
与线段
AB
的关系；
(2)若
C
为线段
AB
上的一个动点，其余条件不变，求
DE
的长，并观察
DE
的长短与线段
AB
的关系；
(3)若
AB
＝
a
，
C
为线段
AB
上的一个动点，
D
，
E
仍分别是
AC
，
BC
的中点，你能否求出
DE
的长度？
图2－X－13
第 157 页 共 340 页
教师详解详析
【详解详析】
1．B
2．解：(1)长方体：由6个平面围成．
(2)圆柱：由两个圆和一个曲面围成．
(3)圆锥：由一个圆和一个曲面围成．
(4)球：由一个曲面围成．
(5)三棱柱：由5个平面围成．
3．解：答案不唯一，如：正方体、长方体、三棱锥分为一类；圆柱、圆锥、球分为一类．理由：正方体、长
方体、三棱锥的面都是平面，而圆柱、圆锥、球中都有曲面．
4．D [解析] A选项，面动成体；B选项，点动成线；C选项，点动成线；D选项，线动成面．故选D.
5．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
6．两点之间的所有连线中，线段最短
7．D [解析] 因为∠1＋2∠2＝180°，∠1＝40°，
所以∠2＝70°.
8．D
1
9．0.75 [解析] 因为1°＝60′，1′＝60″，所以1°＝3600″，所以1″＝()°，
3600
2700
所以2700″＝()°＝0.75°.
3600
10．解：(1)
AC
＋
BD
＝
AB
－
CD
＝8－3＝5(cm)．
故
AC
＋
BD
的长是5 cm.
(2)因为
M
，
N
分别为
AC
，
BD
的中点，
1
所以
MC
＋
DN
＝(
AC
＋
BD
)＝2.5 cm，
2
所以
MN
＝
MC
＋
DN
＋
CD
＝2.5＋3＝5.5(cm)．
故点
M
，
N
之间的距离是5.5 cm.
第 158 页 共 340 页
(3)因为
AB
＝
a
，
CD
＝
b
，
所以
AC
＋
BD
＝
AB
－
CD
＝
a
－
b
.
因为
M
，
N
分别为
AC
，
BD
的中点，
11
所以
MC
＋
DN
＝(
AC
＋
BD
)＝(
a
－
b
)，
22
11
所以
MN
＝
MC
＋
DN
＋
CD
＝(
a
－
b
)＋
b
＝(
a
＋
b
)．
22
1
故
MN
的长是(
a
＋
b
)．
2
11．解：(1)因为
OD
平分∠
AOC
，
OE
平分∠
BOC
，
11
所以∠
COD
＝∠
AOC
，∠
COE
＝∠
BOC
，
22
所以∠
DOE
＝∠
COD
＋∠
COE
11
＝∠
AOC
＋∠
BOC
22
1
＝(∠
AOC
＋∠
BOC
)
2
1
＝∠
AOB
2
1
＝×54°
2
＝27°.
1
即∠
DOE
＝∠
AOB
.
2
11
(2)由(1)可知∠
DOE
＝∠
AOB
＝∠α.
22
12．C [解析] 因为锐角∠α的补角是138°，所以∠α＝180°－138°＝42°，所以锐角∠α的余角是90°
－42°＝48°.故选C.
13．100 [解析] 因为∠
A
＝80°，所以∠
A
的补角为180°－80°＝100°.
14．60
15．D [解析] A选项中的图形绕中心旋转90°或90°的整数倍时，能与自身重合；B选项中的图形绕中心旋
第 159 页 共 340 页
转120°或120°的整数倍时，能与自身重合；C选项中的图形绕中心旋转72°或72°的整数倍时，能与自身重合；
只有D选项符合题意．
16．A [解析] 由题意，得∠
AOD
＝30°，∠
BOC
＝30°.又∠
AOC
＝100°，
所以∠
DOB
＝100°－30°－30°＝40°.故选A.
17．105° [解析] 如图，连接
AC
，并延长至点
E
，∠
DCE
＝180°－∠
DCB
－
∠
ACB
＝105°.故簸箕柄
AB
绕点
C
转动的角度为105°.
18．解：三角形
AB
1
C
1
如图所示．
19．解：(1)因为
AC
＝2，
AB
＝6，且点
C
在线段
AB
上，
所以
BC
＝
AB
－
AC
＝6－2＝4.
因为
D
，
E
分别是
AC
，
BC
的中点，
11
所以
CD
＝
AC
＝1，
CE
＝
BC
＝2，
22
所以
DE
＝
CD
＋
CE
＝1＋2＝3.
1
所以
DE
＝
AB
.
2
(2)因为
D
，
E
分别是
AC
，
BC
的中点，
11
所以
CD
＝
AC
，
CE
＝
BC
，
22
1111
所以
DE
＝
CD
＋
CE
＝
AC
＋
BC
＝(
AC
＋
BC
)＝×6＝3.
2222
DE
＝
AB
.
第 160 页 共 340 页
1
2
11
(3)能求出
DE
的长度．由(2)知
DE
＝
AB
＝
a
.
22
[点评] 本题点
C
由定点到动点，但
AC
与
BC
的和不变，动中求解．结合图形使用数形结合的思想方法求解，
变化中得到不变的等量关系．
3．1 用字母表示数
知识点 用字母表示数量关系
1．三个连续的奇数中，最大的一个是2
n
＋3，那么最小的一个是( )
A．2
n
－1 B．2
n
＋1
C．2(
n
－1) D．2(
n
－2)
2．购买1个单价为
a
元的面包和3瓶单价为
b
元的饮料，所需的钱数为( )
A．(
a
＋
b
)元 B．3(
a
＋
b
)元
C．(3
a
＋
b
)元 D．(
a
＋3
b
)元
3．如果手机通话每分钟收费
m
元，那么通话
n
分钟收费________元．
4．小亮在百米赛跑时，用时
a
秒，则他的速度为________米/秒．
5．某种苹果的售价是每千克
x
元，用面值100元的人民币购买5千克这种苹果，应找回________元．
6．母亲今年
x
岁，女儿的年龄比母亲年龄的一半大两岁，四年后，母亲的年龄是__________岁，女儿的年龄
是__________岁．
7．[教材习题A组第3题变式]用两种方法表示图3－1－1中阴影部分的面积．
图3－1－1
8．某商品原价每件
x
元，后来店主将每件增加10元，再降价25%，则现在的单价(单位：元/件)是( )
第 161 页 共 340 页
A．25%
x
＋10 B．(1－25%)
x
＋10
C．25%(
x
＋10) D．(1－25%)(
x
＋10)
9．一个两位数，十位上的数字是
m
，个位上的数字比十位上的数字大3，则此两位数是________．
10．如图3－1－2，两个形状、大小相同的长方形的一部分重叠在一起，重叠部分是边长为2的正方形，则阴
影部分的面积是________．
图3－1－2
第 162 页 共 340 页
11．观察下列各数填空．
(1)1，4，7，10，13，16，…，第
n
个数为________；
3579
(2)1，，，，，…，第
n
个数为________．
491625
1
12．如图3－1－3，长方形的宽为
a
，长为
b
，空白部分是四个大小相等的圆形．
4
(1)用式子表示阴影部分的面积；
(2)当
a
＝3，
b
＝5时，求阴影部分的面积(结果保留π)．
图3－1－3
13．张老师到体育用品专卖店为学校购买排球，排球的单价为
a
元/个，买10个以上(不包含10个)按七折优
惠，用含字母的式子表示：
(1)购买30个排球应付多少钱？
第 163 页 共 340 页
(2)购买
b
个排球应付多少钱？
第 164 页 共 340 页
【详解详析】
100
1．A 2.D 3.
mn
4.
a
1
5．(100－5
x
) 6.(
x
＋4)
x
＋6
2
7．解：方法1：
b
(
a
－
x
)；方法2：
ab
－
bx
.
8．D
9．10
m
＋(
m
＋3)
[解析] 十位上的数字是
m
，则个位上的数字是
m
＋3，故这个两位数为10
m
＋(
m
＋3)．
10．2
ab
－8 [解析] 阴影部分的面积＝两个长均为
a
、宽均为
b
的长方形的面积－两个边长均为2的正方形的
面积，即2
ab
－2×2＝2
ab
－8.
2
n
－1
11．(1)3
n
－2 (2)
2
2
n
1
a
2
12．解：(1)阴影部分的面积为
ab
－π
＝
ab
－π
a
.
4
2
(2)当
a
＝3，
b
＝5时，
1
2
19
2
阴影部分的面积是
ab
－π
a
＝3×5－π×3＝15－π.
444
13．解：(1)21
a
元．
(2)分两种情况：
当0<
b
≤10且
b
为整数时，购买
b
个排球应付
ab
元；
当
b
>10且
b
为整数时，购买
b
个排球应付0.7
ab
元．
2
3.2 第1课时 代数式
知识点 1 代数式的意义
第 165 页 共 340 页
1
1．下列式子：①
a
＋
b
＝
b
＋
a
；②；③3
a
－1；④
a
>2；⑤1.其中属于代数式的有( )
x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．[教材练习第1题变式]代数式3(
y
－1)的正确含义是( )
A．3乘
y
再减1 B．3与
y
的积减去1
C．
y
与1的差的3倍 D．
y
的3倍减去1
3．[2017·卢龙县期中]下面用数学语言叙述
1
a
－b，其中表达不正确的是(
A
．比a的倒数小b的数
B
．1除以a的商与b的绝对值的差
C
．1除以a的商与b的相反数的和
D
．b与a的倒数的差的相反数
4．“x的2倍与5的和”用代数式表示为________．
5．指出下列各小题中的两个代数式的意义有什么不同．
(1)5(x－3)，5x－3； (2)
1
x－y
，
1
x
－
1
y
.
知识点 2 列代数式
6．下列各个代数式书写符合要求的是( )
第 166 页 共 340 页
)
A．3÷
ab
B．
b
×
m
×
n
2
22
C．1
xy
D．
a
＋
b
3
7．若一个正方形的边长为
a
，则这个正方形的周长是________．
8．有三个连续自然数，中间一个是
n
，则另外两个分别是________，________．
9．“买单价为
c
元/个的球
n
个，付给450元，应找回多少钱？”结果用代数式表示为____________元．
10．某中学原有教师
n
名，现因工作需要，增加了20%的教师，则该校现在一共有
________________________________________________________________________名教师．
第 167 页 共 340 页
11．下列代数式书写规范的有( )
1
na
2
①(
a
＋
b
)
h
÷2；②1
x
；③
a
；④6×
a
；⑤－；⑥3
a
－.
2
mb
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1
12. “
x
的2倍与
y
的差的平方的”，用代数式表示正确的是( )
3
11
22
A．(2
x
－
y
)• B．2
x
－
y
33
1
1
2
C.
2
x
－
y
D.(2
x
－
y
)
3
3
13．如图3－2－1是长10 cm，宽6 cm的长方形，在四个角处各剪去一个边长为
x
cm的小正方形，将剩余部
分做一个有底无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是( )
2
图3－2－1
A．(6－2
x
)(10－2
x
)cm
B．
x
(6－
x
)(10－
x
)cm
C．
x
(6－2
x
)(10－2
x
)cm
D．
x
(6－2
x
)(10－
x
)cm
14．出租车的计价方式为当行驶路程不超过3千米时收费6元，若超过3千米，则超出的部分每千米按1.2元
收费(不足1千米按1千米收费)．
(1)行驶路程为2千米时，此人应花________元；行驶路程为10千米时，此人应花________元；
(2)用代数式表示此人乘出租车行驶
x
千米所需要的费用(
x
>3且
x
为正整数)．
第 168 页 共 340 页
3
3
3
3
第 169 页 共 340 页
【详解详析】
1．B [解析] ②③⑤是代数式，①④不是代数式．
2．C 3.B
4．2
x
＋5 [解析] 根据题意，
x
的2倍与5的和也就是2
x
与5的和．故答案为2
x
＋5.
5．解：(1)5(
x
－3)表示5与
x
－3的积；5
x
－3表示
x
的5倍与3的差．
(2)
111
表示
x
与
y
的差的倒数；－表示
x
，
y
的倒数的差．
x
－
yxy
6．D [解析] A选项中除法运算一般以分数的形式表示；B选项中字母与字母相乘，乘号应省略；C选项中带
分数要写成假分数．
7．4
a
8.
n
－1
n
＋1
9．(450－
cn
) 10.(1＋20%)
n
11．C
（
a
＋
b
）
h
3
[解析] ①应写成.②应写成
x
.④应写成6
a
.③⑤⑥是正确的．
22
12．D [解析] 先表示差，然后再表示差的平方，最后表示其三分之一，即
x
的2倍与
y
的差为2
x
－
y
，
x
的2
11
2
倍与
y
的差的平方的表示为(2
x
－
y
).故选D.
33
13．C
14．解：(1)当行驶路程为2千米时，收费为6元；
当行驶路程为10千米时，
此时超出部分为10－3＝7(千米)，
所以超出部分费用为7×1.2＝8.4(元)，
所以总费用为8.4＋6＝14.4(元)．
故填6，14.4.
(2)由(1)可知，超出部分费用为1.2(
x
－3)元，
所以总费用为[1.2(
x
－3)＋6]元．
第 170 页 共 340 页
更多推荐
旋转,图形,下列,平移,表示,选项,线段,中心
发布评论