2023年12月27日发(作者：数学试卷九上及答案)
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第七章作业
评分要求：
1.合计100分
2.给出每小题得分(注意:写出扣分理由).
3.总得分在采分点1处正确设置.
1设R={
(1)求R的集合表达式(列元素法);
(2)求domR,ranR;
(3)求R?R;
(4)求R?{2,3,4,6};
(5)求R[{3}];
解
(1)R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2分】
(2)domR={0,3,6,9,12},ranR={0,1,2,3,4}【2分】
(3)R?R={<3,3>,<0,4>}【2分】
(4)R?{2,3,4,6}={<3,3>,<6,2>}【2分】
(5)R[{3}]={3}【2分】
2设R,F,G为A上的二元关系.证明:
(1)R?(F∪G)=R?F∪R?G
(2)R?(F∩G)?R?F∩R?G
(3)R?(F?G)=(R?F)?G.
【本题合计18分：每小题6分，证明格式正确得3分，错一步扣1分】
证明
(1)?
??t(xRt∧t(F∪G)y)复合定义
??t(xRt∧(tFy∨tGy)∪定义
??t((xRt∧tFy)∨(xRt∧tGy))∧对∨分配律
??t(xRt∧tFy)∨?t(xRt∧tGy)?对∨分配律
?x(R?F)y∨x(R?G)y复合定义
?x(R?F∪R?G)y∪定义
得证
(2)?
x(R?(F∩G))y
??t(xRt∧t(F∩G)y)复合定义
??t(xRt∧(tFy∧tGy))∩定义
??t((xRt∧tFy)∧(xRt∧tGy))∧幂等律,∧交换律,∧结合律
??t(xRt∧tFy)∧?t(xRt∧tGy)补充的量词推理定律
?x(R?F)y∧x(R?G)y复合定义
?x(R?F∪R?G)y∪定义专业知识 整理分享
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得证
(3)?
??s(
??s(
??s?t(
??t(?s(
??t(
?
得证
3设F={
理由.
【本题合计10分：每种性质2分----答对得1分，正确说明理由得1分】
解F={ 自反性:?x∈R, 对称性:? 不具有反自反性:反例<2,2>∈F 不具有反对称性:反例<2,3>,<3,2>∈F,显然2≠3 不具有传递性:反例<2,3.5>,<3.5,5>∈F,但<2,5>不属于F. 4设A={a,b,c},R={ (1)给出R的关系矩阵; (2)说明R具有的性质(用关系矩阵的判定方法说明理由) 【本题合计12分：第（1）小题2分；第（2）小题10分----答对性质得1分，说明理由得 1分】 解 (1)R的关系矩阵M(R)为 011 000 000 (2) 不具有自反性:M(R)的主对角线不是全为1 是反自反的:M(R)的主对角线全为0 不具有对称性:M(R)不是对称的 是反对称的:M(R)对称的位置至多有一个1 2)如下 是传递的:M(R 000 000 000 显然满足:如果M(R )任意位置为1,则M(R)对应位置也为1 2专业知识 整理分享 WORD格式可编辑 5设A≠?,R?A×A,证明 (1)r(R)=R∪IA -1 (2)s(R)=R∪R 【本题合计12分，每小题6分----证明格式正确得2分，过程错误一步扣1分】 证明 (1)只要证明r(R)?R∪IA和R∪IA?r(R)即可 先证r(R)?R∪IA: IA?R∪IA ?R∪IA自反(自反性的充要条件) ?r(R)?R∪IA(自反闭包的最小性) 再证R∪IA?r(R): R?r(R)∧IA?r(R)(自反闭包的性质及自反性的充要条件) ?R∪IA?r(R) 得证 -1-1及R∪R?s(R)即可(2)只要证明s(R)?R∪R -1:先证s(R)?R∪R (R∪R -1)=R∪R(理由如下:? -1-1-1 ) -1-1(逆运算定义) ? -1(∪定义)? ? -1∨ -1(∪定义,∪交换律) ? -1)=R∪R) -1-1所以(R∪R -1是对称的(对称性的充要条件) ?R∪R ?s(R)?R∪R -1(对称闭包的最小性) 再证R∪R -1-1?s(R): ?s(R)(后者理由如下: R?s(R)(闭包定义)∧R ? -1 ? ? ? -1?s(R))所以R -1?s(R)?R∪R 专业知识 整理分享 WORD格式可编辑 得证 6设A={a,b,c,d},R={ 【本题合计8分】 解依次求出W0,W1,W2,W3,W4=t(R)【2分】 W0=M(R)=0001 1010 1001 0010 【1分】专业知识 整理分享 WORD格式可编辑 W1=0001 1011 1001 0010 【1分】 W2=0001 1011 1001 0010 【1分】 W3=0001 1011 1001 1011 【1分】 W4=1011 1011 1011 1011 【1分】 即t(R)={ 【本题合计10分】 证明 自反性:?x∈A, xRx∧xR -1x?x(R∩R-1)x【3分】 对称性:?x,y∈A, x(R∩R -1)y?xRy∧xR-1y?yR-1x∧yRx?y(R∩R-1)x【3分】 传递性:?x,y,z∈A, -1-1-1-1 x(R∩R)y∧y(R∩R)z?xRy∧xRy∧yRz∧yRz ?(xRy∧yRz)∧(xR -1y∧yR-1z)?xRz∧xR-1z?x(R∩R-1)z【4分】 得证. 8设A={1,2,3,4},在A×A上定义二元关系R, ? (1)证明R是A×A上的等价关系; (2)确定由R引起的对A×A的划分. 【本题合计10分】 解 (1)自反性:? 对称性:? 传递性:? 1分】【 WORD格式可编辑 因此R是A×A上的等价关系. (2)根据R的定义, [ {{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<1,3>,<2,4>}, {<3,1>,<4,2>}, {<1,4>}, {<4,1>}}【2分】 9设R,S是A={1,2,3,4}上的等价关系,其关系矩阵分别为【本题合计5分】 11001000 M 1100 R 0010 M 0110 S 0110 00010001 ,. 求包含R与S的最小的等价关系. 分析:设包含R与S的最小等价关系为T，则RT,ST,所以RST.而T是等价关系， 根据等价关系的定义，T应该具有自反性、对称性和传递性。由于R与S是等价关系，具有上述三个性质，由第四节关系运算与关系性质的关系知，RS具有自反性、对称性，但 不一定有传递性。为此，需要使RS有传递性。又题目求要T是包含RS的最小等价关 系，所以，T应是包含RS且具有传递性的最小关系，从而由传递闭包的定义，T应是RS 的传递闭包，即T=t(RS)。如此，只需求出MT=Mt(RS)即可。 11001000 1100 0110 M， M，求解过程： R S 0010 0110 00010001 1100 所以 1110 MMMRSRS （指对应元素逻辑或），【2分】 0110 0001 1110 故由Warshall算法， 1110 MM。Tt(RS) 【3分】 1110 0001 10设R是集合A上的等价关系,|A|=n,|R|=r,|A/R|=t,证明:rt≥n 2.【本题合计5分】 证设A/R={B1,B2,⋯,Bt},|B1|=x1,|B2|=x2,⋯,|Bt|=xt,显然有1xin,xi∈N,1it. 专业知识 整理分享 WORD格式可编辑 由于A/R是A的划分,因此专业知识 整理分享 WORD格式可编辑 x1+x2+⋯+xt=n,(1).【1分】 根据Bi是等价类,对任意s,t∈Bi,有 x1 222+x2+⋯+xt=r,(2)【2分】 根据算术-均方根均值不等式有 222xxxtxxxt 1212 tt 代入(1)(2)可得rtn 2,得证.【2分】 专业知识 整理分享
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