2023年12月27日发(作者：综合高中班数学试卷)

2.13 设解释I为：个体域DI

={-2,3,6},一元谓词F（X）：X3，G（X）：X>5,R(X):X7。在I下求下列各式的真值。

（1）x(F(x)G(x))

解：x(F(x)G(x))

(F(-2) G(-2)) (F(3) G(3)) (F(6) G(6))

((-23) (-2>5)) ((33) (3>5)) ((63) (6<5))

((1 0))((1 0)) ((0 0))

000

0

(2) x(R(x)F(x))G(5)

解：x(R(x)F(x))G(5)

(R(-2)F(-2)) (R(3)F(3)) (R(6)F(6)) G(5)

((-27) (-23)) (( 37) (33)) (( 67) (63))  (5>5)

(1 1) (1 1) (10)  0

1 1 0  0

0

(3)x(F(x)G(x))

解：x(F(x)G(x))

(F(-2)  G(-2))  (F(3) G(3))  (F(6) G(6))

((-23)  (-2>5))  ((33)  (3>5))  ((63)  (6>5))

(1  0)  (1  0)  (0  1)

1  1  1

1

2.14 求下列各式的前束范式，要求使用约束变项换名规则。

（1）xF(x)→yG(x,y)

(2)

（xF(x,y)

yG(x,y) ）

解：（1）

xF(x)→yG(x,y)

xF(x)→

yG(z,y) 代替规则

xF(x)→yG(z,y) 定理2.1（2 ）

x(F(x) →yG(z,y) 定理2.2（2）③

xy(F(x) →G(z,y)) 定理2.2（1）④

（2）

（xF(x,y)

yG(x,y) ）

(zF(z,y)

tG(x,t)) 换名规则

(zF(z,y) )(tG(x,t) )

zF(z,y)

tG(x,z)

z (F(z,y)

tG(x,z))

z

t(F(z,y)

G(x,t))

2.15 求下列各式的前束范式，要求使用自由变项换名规则。（代替规则）

（1） xF(x)∨yG(x,y)

xF(x) ∨yG(z,y) 代替规则

x（F(x) ∨yG(z,y)） 定理2.2（1）①

xy（F(x) ∨G(z,y)） 定理2.2（2）①

（2） x(F(x) ∧yG(x,y,z)) →zH(x,y,z)

x(F(x) ∧yG(x,y,t)) →zH(s,r,z) 代替规则

xy (F(x) ∧G(x,y,t)) →zH(s,r,z) 定理2.2（1）②

x（y (F(x) ∧G(x,y,t)) →zH(s,r,z)） 定理2.2（2）③

xy（(F(x) ∧G(x,y,t)) →zH(s,r,z)） 定理2.2（1）③

xyz（(F(x) ∧G(x,y,t)) →H(s,r,z)） 定理2.2（2）④

2.17构造下面推理的证明。

（1） 前提 ：xF(x)→y((F(y)∨G(y))→R(y))

xF(x)

结论：xR(x)

证明：① xF(x) 前提引入

② F（c） EI

③ y((F(y)∨G(y))→R(y)) 前提引入错了

④ F（c）∨G(c) →R(c) UI

⑤ F（c）→(F（c）∨G(c) →R(c)) 前提引入错了

⑥ F（c）∨G(c) →R(y) 假言推理②⑤

⑦ R(c) 假言推理②⑥

xR(x) EG

应改为： ① xF(x) 前提引入

② xF(x)→y((F(x)∨G(y))→R(y)) 前提引入

③ y((F(x)∨G(y))→R(y)) ①②假言推理

④ F（c） ①EI

⑤ F（c）∨G(c) →R(c) ③UI

⑥ F（c）∨G(c) ④附加

⑦ R(c) ⑤⑥假言推理

⑧ xR(x) ⑦EG

（2）前提：x(F(x)→(G(y) R(x))),xF(x).

结论：x(F(x)R(x)).

证明：

①xF(x) 前提引入

②F(c) ①EI

③x(F(x)→(G(y) R(x))) 前提引入

④F(c)→(G(c)  R(c)) ③UI

⑤G(c)  R(c) ②④假言推理

⑥R(c) ⑤化简

⑦F(c)R(c) ②⑥合取

⑧x(F(x)R(x)) ⑦EG

2.18在一阶逻辑中构造下面推理的证明。

大熊猫都产在中国，欢欢是大熊猫。所以，欢欢产在中国。

解： 将命题符号化.

F(x):x是大熊猫.

G(x):x产在中国.

a: 欢欢.

前提:

x(F(x )→G(x)),F(a),

结论: G(a)

证明:

①x(F(x )→G(x)), 前提引入;

②F(a)→G(a) ①uI;

③F(a) 前提引入

④G(a) ② ③ 假言推理

2.19在一阶逻辑中构造下面推理的证明。

有理数都是实数，有的有理数是整数。因此，有的实数是整数。

设全总个体域为数的集合

F（x）：x是有理数 G（x）：x是实数 H（x）：x是整数

前提：x(F(x)→G(x))

x(F(x)∧H(x))

结论：x(G(x)∧H(x))

证明：①

x(F(x)∧H(x)) 前提引入

② F（c）∧H（C） ①EI规则

③

x(F(x)→G(x)) 前提引入

④ F（c）→G（c） ③UI规则

⑤ F（c） ②化简

⑥ G（c） ④⑤假言推理

⑦ H（c） ②化简

⑧ G（c）∧H（c） ⑥⑦合取

⑨ x（G（x）∧H（x）） ⑧EG规则

2.23一阶逻辑中构造下面推理的证明。

每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行（个体域为人类集合）。

命题符号化：F(x): x喜欢步行。G(x):x喜欢坐汽车。H(x): x喜欢骑自行车。

前提：x(F(x) →G(x)),

x(G(x)∨H(x)),

x(H(x)).

结论：x(F(x))

证明

a

x(H(x)) 前提引入

b

H(c)

c

x(G(x) ∨H(x)) 前提引入

d G(c) ∨H(c)

e G(c)

f x(F(x) →G(x)) 前提引入

g F(c) →G(c)) f UI

h F(c)

i

x(F(x)) h EG

在上述推理中，b后面的推理规则为A,d后面的规则为B,e后用的是由b,d得到的推理规则C，h后用的是由e,g得到的推理规则D.

供选择的答案

A,B,C,D:1 UI 2:EI 3UG 4 EG 5拒取式 6 假言推理 7析取三段论

A为2

B为1

C为7

D为5 ,


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