函数图象的生成

2023年12月20日发(作者：嘉兴市三模数学试卷题型)

函数图象的生成——兼谈技术的恰当使用

王鹏远 2016年5月30日

一、问题的提出

1、 函数图象在函数教学中的作用

函数图象是函数教学的重要内容，在初中函数教学中，无论是研究正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，我们总是先画出函数图象，然后借助图形“看图说话”，从函数图象的形状、走势探讨函数的性质。抽象的函数性质通过图象直观地显示在我们面前。看来，函数图象既是函数教学的重要内容，又是研究函数性质不可或缺的重要工具。因此，在教学中如何呈现函数的图象确有研究的必要。

2、 现行教学中呈现函数图象的方式

如何在教学中呈现函数图象呢？传统的方式是列表、描点、连线，即给出自变量的一些值（一般不超过10个整数值），一一代入函数的解析式计算对应的函数值列表，然后在直角坐标系中以表中一对对数值为坐标描出相应的点。最后从左到右将这些点连接成线。这种方法也是现在大多数课堂沿用的方法。

用描点法画正比例函数和一次函数的图象最为有效（因为图象是直线），但对于二次函数和反比例函数的图象，困难就大一些。如对于二次函数图象，我们要特别强调“用光滑的曲线连接”；对于反比例函数图象，我们要强调图象在原点处断开，图象向左右方向无限制地靠近x轴。为了画图方便教学中一般精心地选用函数y=而x6不用y=x，原因是如果列表选取的自变量是整数值，对函数y=x画出的图象靠近原点的部分难以呈现反比例函数图形的特征。

反思描点法画图象，描点的个数是很少的几个（我们不可能凭借手工计算描出100个点），凭借想象从“有限个点想无数个点”，从“图象的一部分想图象的整体”，画图效率比较低，图形也不够准确。

有了计算机，人们自然想到了用计算机画图（如用几何画板和图形计算器等工具），利用这些工具把函数的解析式输入后，马上就能呈现出函数图象、效率高且图形准确。现在不少课堂上已经采用了这种方式呈现函数图象。

于是争论跟着来了：用描点法画图，效率虽低，但通过学生动手操作能呈现函数图象生成的过程，有助于与学生的数学理解；用计算机画图，尽管效率高且图形准确，但呈现的是计算机画图的结果而淹没了函数图象的生成过程，这是否会削弱学生的数学思考，无助于学生的数学理解呢？是拒绝计算机坚守描点画图的老传统，还是使用技术更新函数图象的教学，这成为我们实际教学面对的现实问题。

二、在超级画板支持下的函数图象的生成

这涉及如何使信息技术与数学教学深度融合，在信息技术的支撑下既要发挥技术的潜在优势，又要考虑数学的学科特点，让技术更好地服务于有效的数学教学 。为此，我们需要考虑哪些内容适合使用信息技术，在使用技术时需要设计使用技术的恰当时机，以及使用什么技术和怎样使用技术。

函数图象的教学中，描点法和计算机画图各有优势，我们认为技术的恰当使用正好可以弥补描点法的不足，更有利于学生的数学理解。

什么是函数的图象？“一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。”

用传统的“描点法”画函数图象的困难在于计算和画图，通过笔算将自变量的值一一11

代入解析式求函数值是一件枯燥且繁琐的活儿，因此只能描出图形中少许的点。计算机则不然，凭借计算速度快的优势，它可以瞬间描出上百个点，从而更好地呈现函数图象的真身。其实，计算机画图的原理和手工画图的原理是一样的。但计算机计算速度“快”是优势，也是劣势，象变“魔术”一样 太快了让人眼花缭乱，看不出其中的奥秘。怎么办？还原一下计算机画图的过程就容易让人看明白了。正像放慢变“魔术”的手法一样。细想一下，让学生理解函数的生成原理的是列表、描点、连线的全过程，而不是列表、描点、连线的每一个细节。

在人教社八年级教材中的信息技术的应用栏目中，教材给出了用《几何画板》画函数y=x2和y=x2(x−3)图象的例子。课本只是介绍了《几何画板》具有绘制函数图形的功能，下面用“慢镜头”呈现《超级画板》绘制函数y=x2(x−3)图象的原理。

1、 利用超级画板的计算功能呈现自变量与对应的函数值；

用鼠标拖动点x，屏幕将呈现出自变量x与对应的一对对函数值变化的情况。

2、 动态地呈现根据以自变量与对应的函数值分别为横、纵坐标描出的点；

以自变量与对应的函数值分别为横、纵坐标描出点P，用鼠标拖动点x，点P随之移动，利用“跟踪”功能呈现左图，利用“轨迹”功能得到右图。这就是函数y=x2(x−3)的图象。至此，函数图象生成的过程用“慢镜头”直观地呈现出来了。

3、 介绍计算机画函数图象的命令

明白了计算机画函数图象的原理，现在解读《超级画板》画函数图象的命令

打开画图的下拉菜单选中其中的“画函数

图象”，屏幕便弹出右面的对话框。

在空白处键入“x^2*(x-3)”后，选择“确定”

屏幕马上就呈现出函数y=x2(x−3)的图象。

原来在我们输入函数的解析式后，计算机马

上投入了计算：从-15到15取了200个值，

计算出相应的函数值，以这200对值为坐

标描出相应的点并连接起来。于是在我们面前就呈现出了要画的函数图象。当然，参数范围和曲线的点数可以由我们自由选择。可以取200个，也可以取500个、1000个。计算机对干这种活儿不在话下毫不吃力，点数越多，这些点越密，图象也就画得越精致。

这样看来计算机画函数图象一点也不神秘！

三、对利用技术重塑函数教学的一些想法

在理解了函数图象的生成之后，接着我们考虑二次函数、反比例函数（到高中还有指数函数、对数函数）的教学。我们在研究这些函数时，总是先用传统的描点法画出图象，然后对照图象探讨函数的性质。其中画图象耗费了大量的时间，值得反思的是有这个必要吗？

在研究正比例函数、一次函数时用传统的描点法画图是必要的。有了这些经验为什么研究函数二次函数时不能从研究函数解析式的特点入手呢？

我们知道，二次函数y=x2是用“平方”运算定义的，由这种运算的特点能否知道自变量可以取哪些值呢？函数值在什么范围内变化呢？与一次函数y=x比较，对于同样的x值，这两个函数对应的函数值有什么区别呢？想清楚这些问题之后，二次函数y=x2图象的大致轮廓就不难想象出来了。这期间可以借助计算机的计算功能和画图功能验证我们根据对解析式的分析作出的种种猜想。

类似地可以从函数的解析式入手研究反比例函数y=x，这是用倒数运算定义的函数，通过与一次函数y=x对比也不难想出这个函数图象的整体轮廓和性质。

这样一来，信息技术对数学教学的支撑就促使我们思考革新数学的教学方法，以函数图象为例，改进教法不仅能节省出课时，还可以启动学生更多的理性思考，而不是机械地列表、描点、连线。

对于我们课本上未曾学习过的函数，我们也不会束手无策了。例如y=x2(x−3)，从分析解析式入手，至少可以知道函数图象是向左右无限伸展的，至少可以知道函数图象与x轴在什么地方相交；再细致地分析一下，还可以知道当x>3时图象的位置以及0

如何利用技术重塑数学教学是一个值得深入研究的新课题，本文提出的想法作为一孔之见、一家之言与大家共同探讨，欢迎大家批评指正。

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