2024年3月21日发(作者：山东曹县一模数学试卷中考)
湖南省高中数学竞赛试题及答案
高中 数学 竞赛 试题 含 答案
2022年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，
在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若
f(x) g(x) x2 9x 12，则f(x) g(x) ( )
A． x 9x 12 2.有四个函数：
① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinx cosx ④ y 其中在
(0,A．①
3.方程x2 x 1 x x
2
2
B．x 9x 12
2
C． x 9x 12 D． x 9x 12
22
sinx
cosx
2
)上为单调增函数的是 ( )
B．②
1
C．①和③ D．②和④
(x2 1) x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141 ，x为实数)，
则A中所
有元素的平方和等于 ( ) A．0
B．1
2
C．2
2
D．4
4.已知点P(x,y)满足(x 4cos ) (y 4sin ) 4( R)，则点P(x,y)所在
区域的面积为 A．36π
B．32π
C．20π
D．16π ( )
5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次
要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号
数，这样的装法种数为 ( ) A．9
B．12
C．15
D．18
6.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等
于 ( ) A．80
7.已知曲线C：y A．( 1,2)
B．40
C．24
D．-48
x2 2x与直线l:x y m 0有两个交点，则m的取值范围是 ( )
B．( 2,2 1)
C．[0,2 1)
D．(0,2 1)
8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为
S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则值为 ( ) A．
Smax
的Smin
2
B．
6 2
C．
2 3
D．
26
3
高中 数学 竞赛 试题 含 答案
9.设x 0.820.5,y sin1,z log3A．xyz
B．yzx
7，则x、y、z的大小关系为 ( )
C．zxy
D． zyx
10.如果一元二次方程x2 2(a 3)x b2 9 0中，a、b分别是投掷
骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A．
1 18
B．
1 9
C．
1 6
D．
13 18
二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）
x2y2
1上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，
O为中心，则11.设P是椭圆
169
|PF1| |PF2| |OP|2 ___________.
12.已知△ABC中， , ，试用、的向量运算式子表示△ABC的
面积，即S△ABC= ____________________.
13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3
人中至少有1名女生的概率为n=__________.
14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有
和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4
人，则恰好胜了两场的人数为____________个.
三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，
18题、19题每小题16分，共68分）
15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))
x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集
合分别记为A和B，即A {x|f(x) x}
34
，则35
B {x|f[f(x)] x}.
(1). 求证：A B
2
(2).若f(x) ax 1(a R,x R)，且A B ，求实数a的取值范围.
16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣
或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及
一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？
高中 数学 竞赛 试题 含 答案
17.设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, )
求证：对于任何正整数n，都有 an 1 1
1
an
18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位
于定点P时，cosC有最小值为(1).建立适当的坐标系，求顶点C
的轨迹方程.
(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求|BM| |BN|
的最小值的集合.
7. 25
19.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，
P是底面△ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为α、
β、 .
求证：
2
3arcsin
3
参考答案
一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题： 三、解答题：
15.证明(1).若A=φ，则A B 显然成立；
若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 A B.
解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即ax 1 x的实根.
2
由 A≠φ，知 a=0 或
a 0 1
即 a
4 1 4a 0
3
4
2
2
22
B中元素是方程 a(ax 1) 1 x 即 ax 2ax x a 1 0的实根
由A B，知上方程左边含有一个因式ax x 1，即方程可化为
2
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(ax2 x 1)(a2x2 ax a 1) 0
因此，要A=B，即要方程 ax ax a 1 0 ① 要么没有实根，要
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