2024年3月21日发(作者：数学试卷分析成功经验)

2021年湖南省高中数学竞赛（A卷）

（2021-06-27）

一、选择题（每个5分，共6题）

1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎

叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为

A.

116

9

B.

36

7

C. 36 D.

67

7

2.半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是

A.

3

23

R

B.

6

36

R

C.

1

13

R

D.

5

25

R

3.已知数列{a

n

}和{b

n

}对任意

nN

*

，都有

a

n

b

n

，当

n

时，数列{a

n

}和{b

n

}的极限分别是A和B，则

A.

AB

B.

AB

C.

AB

D. A和B的大小关系不确定

4.对全部满足

1nm5

的m,n,极坐标方程



1

1C

n

表示的不同双曲线条数为

m

cos

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

5.使关于x的不等式

x36xk

有解的实数k的最大值是

A.

63

B.

3

C.

63

D.

6

6.设

M{|x

2

y

2

,x,yZ}

，则对任意的整数n，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M中的元素

的数为

A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3

二、填空题（每个8分，共6题）

7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为：

8.对任一实数序列

A(

1

,

2

,

3

,...)

，定义△A为序列

(

2



1

,

3



2

,

4



3

,...)

，它的第n项是

n1



n

，假定序列△（△A）的全部项都是1，且

19



92

0

，则

1

的值为：

9.满足使

I[

11

2

23

i]

n

为纯虚数的最小正整数n=

10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依

次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：

11.记集合

T{0,1,2,3,4,5,6},M{

a

1

7

a

2

a

3

a

4

7

2

7

3

7

4

|a

i

T,i1,2,3,4}

，将M中的元素按从大到小挨次

排列，则第2021年数是：

12.设直线系

M:xcos(y2)sin1(02)

，对于下列四个命题：

①M中全部直线均经过一个定点

②存在定点P不在M中的任一条直线上

③对于任意整数

n(n3)

存在正n边形，其全部边均在M中的直线上

④M中的直线所能围成的三角形面积都相等

其中真命题的代号是： （写出全部真命题的代号）

三、解答题（共4题，满分72分）

13.（本小题满分16分）

如图所示，AB为Rt△ABC的斜边，I为其内心，若△IAB的外接圆的半径为R，Rt△ABC的内切圆半径为r，

求证：

R(22)r

.

14.（本小题满分16分）

x

2

y

2

x

2

y

2

如图，A，B为椭圆

2

2

1

（a>b>0)和双曲线

2

2

1

的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不

abab

同于A、B的动点，且满足

APBP(AQBQ)(R,||1)

求证：（Ⅰ）三点O、P、Q在同始终线上；

（Ⅱ）若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是k

1

、k

2

、k

3

、k

4

，则k

1

+k

2

+k

3

+k

4

是定值。

15.（本小题满分20分）

已知整数列

{a

n

}

，

{b

n

}

满足

a

n1

a

n

1

，

b

n1

1

a

n

b

n

，对于正整数n，定义函数

f

n

(x)x

2

a

n

xb

n

，

2

证明：若存在某个

f

k

(x)

有两个整数零点，则必有无穷多个

f

n

(x)

有两个整数零点。


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