湖南省中学生数学竞赛真题

2024年3月21日发(作者：97年南通中考数学试卷)

湖南省中学生数学竞赛真题

湖南省中学生数学竞赛是一项重要的学科竞赛活动，旨在培养和选

拔学生在数学方面的综合能力。本文将为大家介绍一道真实的湖南省

中学生数学竞赛题目，并进行详细的解析。

题目：求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1的最小值。

解析：

要求函数f(x)的最小值，我们首先要找到它的极小值点。对于这类

多项式函数，我们可以通过求导数的方法来寻找极值点。

首先，对f(x)进行求导，得到f\'(x) = 6x^2 - 10x + 4。

接下来，我们需要求解方程f\'(x) = 0，来找到f(x)的极值点。将f\'(x)

置零，得到6x^2 - 10x + 4 = 0。

为了解这个二次方程，我们可以使用求根公式或配方法。在此我们

使用配方法，将方程改写为(2x - 1)(3x - 4) = 0。由此可得x = 1/2或x =

4/3。

得到极值点x = 1/2和x = 4/3后，我们需要进一步判断这两个点是

极小值点还是极大值点。

首先，我们计算f\'\'(x)，即f\'(x)的导数。可得f\'\'(x) = 12x - 10。

将x = 1/2代入f\'\'(x)，得到f\'\'(1/2) = 12(1/2) - 10 = -4。

将x = 4/3代入f\'\'(x)，得到f\'\'(4/3) = 12(4/3) - 10 = 2。

由f\'\'(x)的结果可知，在x = 1/2处，f(x)取得极小值；在x = 4/3处，

f(x)取得极大值。

因此，函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1的最小值为f(1/2)。代入x =

1/2，我们可以计算出最小值。

f(1/2) = 2(1/2)^3 - 5(1/2)^2 + 4(1/2) - 1 = 1/8 - 5/4 + 2 - 1 = -1/8。

所以，函数f(x)的最小值为-1/8。

通过以上的分析和计算，我们求得了函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1

的最小值是-1/8。这道题目是湖南省中学生数学竞赛的一道真实题目，

通过解题过程，我们可以锻炼我们的求极值能力和运用求导方法解决

实际问题的能力。希望这篇文章对大家有所帮助。