2024年3月10日发(作者：重庆中考a卷数学试卷分析)

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高中数学基础知识汇总

第一部分 集合

1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？

．．．．．

还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；

2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦

．．．．

恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想

方法解决；

3．（1）含n个元素的集合的子集数为2

n

,真子集数为2

n

－1；非空真子集的数为2

n

-2；

（2）

ABABAABB;

注意：讨论的时候不要遗忘了

A

的情况。

（3）

C

I

(A

B)

(C

I

A)

(C

I

B);C

I

(A

B)

(C

I

A)

(C

I

B);

4．

是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分 函数与导数

1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；

⑤换元法 ；⑥利用均值不等式

ab

ab

2

a

2

b

2

； ⑦利用数形结合或几何意义

2

x

（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（

a

、

sinx

、

cosx

等）；⑨导数法

3．复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数

yf[g(x)]

分解为基本函数：内函数

ug(x)

与外函数

yf(u)

；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

注意：外函数

yf(u)

的定义域是内函数

ug(x)

的值域。

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

．．．．

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1

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⑵

f(x)

是奇函数

f(x)f(x)f(x)f(x)0

f(x)

1

；

f(x)

⑶

f(x)

是偶函数

f(x)f(x)f(x)f(x)0

f(x)

1

；

f(x)

⑷奇函数

f(x)

在原点有定义，则

f(0)0

；

⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；

（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；

6．函数的单调性

⑴单调性的定义：

①

f(x)

在区间

M

上是增函数

x

1

,x

2

M,

当

x

1

x

2

时有

f(x

1

)f(x

2

)

0

；

x

1

x

2

f(x

1

)f(x

2

)0(x

1

x

2

)[f(x

1

)f(x

2

)]0

②

f(x)

在区间

M

上是减函数

x

1

,x

2

M,

当

x

1

x

2

时有

f(x

1

)f(x

2

)

0

；

x

1

x

2

f(x

1

)f(x

2

)0(x

1

x

2

)[f(x

1

)f(x

2

)]0

⑵单调性的判定

① 定义法：

注意：一般要将式子

f(x

1

)f(x

2

)

化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；

②导数法（见导数部分）；

③复合函数法（见2 （2））；

④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性

(1)周期性的定义：

对定义域内的任意

x

，若有

f(xT)f(x)

（其中

T

为非零常数），则称函数

f(x)

为周期函数，

T

为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最

小正周期。

（2）三角函数的周期

①

ysinx:T2

；②

ycosx:T2

；③

ytanx:T

；

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2

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④

yAsin(

x

),yAcos(

x

):T

2

；⑤

ytan

x:T

；

|

|

|

|

⑶函数周期的判定

①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）

⑷与周期有关的结论

①

f(xa)f(xa)

或

f(x2a)f(x)(a0)

f(x)

的周期为

2a

；

②

yf(x)

的图象关于点

(a,0),(b,0)

中心对称

f(x)

周期为2

ab

；

③

yf(x)

的图象关于直线

xa,xb

轴对称

f(x)

周期为2

ab

；

④

yf(x)

的图象关于点

(a,0)

中心对称，直线

xb

轴对称

f(x)

周期为

4

ab

；

8．基本初等函数的图像与性质

⑴幂函数：

yx

（

R)

；⑵指数函数：

ya(a0,a1)

；

⑶对数函数:

ylog

a

x(a0,a1)

；⑷正弦函数:

ysinx

；

⑸余弦函数：

ycosx

；（6）正切函数：

ytanx

；⑺一元二次函数：

axbxc0

；

⑻其它常用函数：

① 正比例函数：

ykx(k0)

；②反比例函数：

y

② 函数

2

x

k

1

(k0)

；特别的

y

x

x

yx

a

(a0)

；

x

9．二次函数：

⑴解析式：

2

①一般式：

f(x)axbxc

；②顶点式：

f(x)a(xh)k

，

(h,k)

为顶点；

2

③零点式：

f(x)a(xx

1

)(xx

2

)

。

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。

10．函数图象：

⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法

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3

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⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ

yf(x)yf(xa)

，

(a0)

———左“+”右“-”；

ⅱ

yf(x)yf(x)k,(k0)

———上“+”下“-”；

② 伸缩变换：

ⅰ

yf(x)yf(

x)

， （

0)

———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的

1

倍；

ⅱ

yf(x)yAf(x)

， （

A0)

———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的

A

倍；

③ 对称变换：ⅰ

yf(x)



yf(x)

；ⅱ

yf(x)



yf(x)

；

x0yx

yf

ⅲ

yf(x)



yf(x)

； ⅳ

yf(x)



1

(0,0)

y0

(x)

；

④ 翻转变换：

ⅰ

yf(x)yf(|x|)

———右不动，右向左翻（

f(x)

在

y

左侧图象去掉）；

ⅱ

yf(x)y|f(x)|

———上不动，下向上翻（|

f(x)

|在

x

下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明

(1)证明函数

yf(x)

图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）

的对称点仍在图像上；

（2）证明函数

yf(x)

与

yg(x)

图象的对称性，即证明

yf(x)

图象上任意点关

于对称中心（对称轴）的对称点在

yg(x)

的图象上，反之亦然；

注：

①曲线C

1

:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C

2

方程为：f(2a－x,2b－y)=0;

②曲线C

1

:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C

2

方程为：f(2a－x, y)=0;

③曲线C

1

：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C

2

的方程为f(y－a,x+a)=0(或

f(－y+a,－x+a)=0);



y=f(x)图像关于直线x=④f(a+x)=f(b－x) （x∈R）

ab

对称；

2



y=f(x)图像关于直线x=a对称； 特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）

⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=

12．函数零点的求法：

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4

ab

对称；

2

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⑴直接法（求

f(x)0

的根）；⑵图象法；⑶二分法.

13．导数

⑴导数定义：f(x)在点x

0

处的导数记作

y

xx

0

f

(x

0

)lim

n1

x0

f(x

0

x)f(x

0

)

；

x

\'

\'

⑵常见函数的导数公式: ①

C

0

；②

(x)nx

x\'x

n\'

；③

(sinx)cosx

；

\'x\'x

\'

④

(cosx)sinx

；⑤

(a)alna

；⑥

(e)e

；⑦

(log

a

x)

1

；

xlna

⑧

(lnx)

\'

1

。

x

u

v

u

vuv

;

v

2

⑶导数的四则运算法则：

(uv)

u

v

;(uv)

u

vuv

;()



⑷

（理科）

复合函数的导数：

y

x

y

u

u

x

;

⑸导数的应用： ①利

①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗？ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的

切线？

②利用导数判断函数单调性：

ⅰ

f

(x)0f(x)

是增函数；ⅱ

f

(x)0f(x)

为减函数；

ⅲ

f

(x)0f(x)

为常数；

③利用导数求极值：ⅰ求导数

f

(x)

；ⅱ求方程

f

(x)0

的根；ⅲ列表得极值。

④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。

14

．（理科）

定积分

⑴定积分的定义：

b

a

f(x)dxlim

n

i1

n

ba

f(

i

)

n

⑵定积分的性质：①

②

③

b

a

b

kf(x)dxk

f(x)dx

（

k

常数）；

a

b

a

b

[f

1

(x)f

2

(x)]dx

f

1

(x)dx

f

2

(x)dx

；

aa

bb

a

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx

（其中

acb)

。

ac

cb

⑶微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

b

a

f(x)dxF(x)|

b

a

F(b)F(a)

5

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⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：

S

b

|f(x)g(x)|dx

；

a

b

a

b

③ 求变速直线运动的路程：

S

v(t)dt

；③求变力做功：

W

F(x)dx

。

a

第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：

弧度

180

，

1

180

1

2

1

⑵弧长公式：

l

R

；扇形面积公式：

S

RRl

。

22

弧度，

1

弧度

(

180

)

57

18

\'

2．三角函数定义：角

中边上任意一点

P

为

(x,y)

，设

|OP|r

则：

sin

yxy

,cos

,tan

rrx

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；

4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；

5．⑴

yAsin(

x

)

对称轴：

x

k

2

；对称中心：

(

k

,0)(kZ)

；

,0)(kZ)

； ⑵

yAcos(

x

)

对称轴：

x

k

；对称中心：

(

22

k

2

6．同角三角函数的基本关系：

sinxcosx1;

sinx

tanx

；

cosx

7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①

sin(

)sin

cos

cos

sin

;

②

cos(

)cos

cos

sin

sin

;

③

tan(

)

8．二倍角公式：①

sin2

2sin

cos

；

②

cos2

cos

sin

2cos

112sin

；③

tan2

9．正、余弦定理：

⑴正弦定理：

2222

tan

tan

。

1

tan

tan

2tan

。

2

1tan

abc

2R

（

2R

是

ABC

外接圆直径 ）

sinAsinBsinC

注：①

a:b:csinA:sinB:sinC

；②

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC

；

③

abcabc



。

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

6

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b

2

c

2

a

2

⑵余弦定理：

abc2bccosA

等三个；注：

cosA

等三个。

2bc

222

10。几个公式:

⑴三角形面积公式：

S

ABC

11

ahabsinC

22

abc

p(pa)(pb)(pc),(p

1

(abc))

；

2

⑵内切圆半径r=

2S

ABC

；外接圆直径2R=

abc

;

sinAsinBsinC

11．已知

a,b,A

时三角形解的个数的判定：

C

b

h

A

a

其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a

②a=h时，一解（直角）；③h

一钝角）；④a

b时，一解（一锐角）。

⑵A为直角或钝角时：①a

b时，无解；②a>b时，

一解（锐角）。

第四部分 立体几何

1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为

22:1

。

2．表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S

侧

+2S

底

；②侧面积：S

侧

=

2

rh

；③体积：V=S

底

h

⑵锥体：①表面积：S=S

侧

+S

底

；②侧面积：S

侧

=

rl

；③体积：V=

\'

1

S

底

h：

3

1

3

⑶台体：①表面积：S=S

侧

+S

上底

S

下底

；②侧面积：S

侧

=

(rr)l

；③体积：V=

（S+

SS

\'

S

\'

）h；

⑷球体：①表面积：S=

4

R

；②体积：V=

R

。

2

4

3

3

3．位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行

线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

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7

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注：理科还可用向量法。

4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）

⑴异面直线所成角的求法：

① 平移法：平移直线，构造三角形；

②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。

注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，

得sin

。

注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。

⑶二面角的求法：

①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解；

②三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理

或逆定理作出二面角的平面角，再求解；

③射影法：利用面积射影公式：

SScos

,其中

为平面角的大小；

注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；

理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。

5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离）

⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；

⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；

⑶点到平面的距离：

①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；

② 等体积法；

理科还可用向量法：

d

\'

|ABn|

|n|

。

⑷球面距离：（步骤）

（Ⅰ）求线段AB的长；（Ⅱ）求球心角∠AOB的弧度数；(Ⅲ)求劣弧AB的长。

6．结论：

⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC

上的射影在∠BOC的平分线上；

⑵立平斜公式(最小角定理公式)：

cos

cos

1

cos

2

;

⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为

，则S

侧

cos

=S

底

；

⑷长方体的性质

①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为

,

,

,

则：

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8

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cos

2

+cos

2

+cos

2

=1；sin

2

+sin

2

+sin

2

=2 。

②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为

,

,

,

则有

cos

2

+cos

2

+cos

2

=2；sin

2

+sin

2

+sin

2

=1 。

⑸正四面体的性质：设棱长为

a

，则正四面体的：

① 高：

h

6

2

1

a

；②对棱间距离：

a

；③相邻两面所成角余弦值：；④内切球

3

2

3

半径：

66

a

；外接球半径：

a

；

124

第五部分 直线与圆

1．直线方程

⑴点斜式：

yy

k(xx

)

；⑵斜截式：

ykxb

；⑶截距式：

xy

1

；

ab

yy

1

xx

1

⑷两点式： ；⑸一般式：

AxByC0

，（A，B不全为0）。

y

2

y

1

x

2

x

1

（直线的方向向量：（

B,A)

，法向量（

A,B)

2．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

3．两条直线的位置关系：

直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l

1

:yk

1

xb

1

k1k2,b1b2

k

1

k

2

1

l

1

,l

2

有斜率

l

2

:yk

2

xb

2

l

1

:A

1

xB

1

yC

1

0

A

1

B

2

A

2

B

1

,

且

A

1

A

2

B

1

B

2

0

不可写成

l

2

:A

2

xB

2

yC

2

0

B

1

C

2

B

2

C

1

（验证） 分式

4．直线系

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9

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直线方程

ykxb

AxByC0

平行直线系

ykxm

AxBym0

垂直直线系

y

1

k

xm

BxAym0

相交直线系

A

1

xB

1

yC

1

(A

2

xB

2

yC

2

)0

5．几个公式

⑴设A（x

1

,y

1

）、B(x

2

,y

2

)、C（x

3

,y

3

），⊿ABC的重心G：（

x

1

x

2

x

3

,

y

1

y

2

y

3

33

）；

⑵点P（x

0,

y

0

）到直线Ax+By+C=0的距离：

d

Ax

0

By

0

C

；

A

2

B

2

⑶两条平行线Ax+By+C

1

=0与 Ax+By+C

2

=0的距离是

d

C

1

C

2

；

A

2

B

2

6．圆的方程：

⑴标准方程：①

(xa)

2

(yb)

2

r

2

；②

x

2

y

2

r

2

。

⑵一般方程：

x

2

y

2

DxEyF0

（

D

2

E

2

4F0)

注：Ax

2

+Bxy+Cy

2

+Dx+Ey+F=0表示圆

A=C≠0且B=0且D

2

+E

2

－4AF>0；

7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。

8．圆系：

⑴

x

2

y

2

D

22

1

xE

1

yF

1

(xyD

2

xE

2

yF

2

)0,(

1)

；

注：当

1

时表示两圆交线。

⑵

x

2

y

2

DxEyF

(AxByC)0,(

1)

。

9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（

d

表示点到圆心的距离）

①

dR

点在圆上；②

dR

点在圆内；③

dR

点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（

d

表示圆心到直线的距离）

①

dR

相切；②

dR

相交；③

dR

相离。

⑶圆与圆的位置关系：（

d

表示圆心距，

R,r

表示两圆半径，且

Rr

）

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10

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①

dRr

相离；②

dRr

外切；③

RrdRr

相交；

④

dRr

内切；⑤

0dRr

内含。

10．与圆有关的结论：

⑴过圆x

2

+y

2

=r

2

上的点M(x

0

,y

0

)的切线方程为：x

0

x+y

0

y=r

2

；

过圆(x-a)

2

+(y-b)

2

=r

2

上的点M(x

0

,y

0

)的切线方程为：(x

0

-a)(x-a)+(y

0

-b)(y-b)=r

2

；

⑵以A(x

1

，y

2

)、B(x

2

,y

2

)为直径的圆的方程：(x－x

1

)(x－x

2

)+(y－y

1

)(y－y

2

)=0。

第六部分 圆锥曲线

1．定义：⑴椭圆：

|MF

1

||MF

2

|2a,(2a|F

1

F

2

|)

；

⑵双曲线：

||MF

1

||MF

2

||2a,(2a|F

1

F

2

|)

；⑶抛物线：略

2．结论

⑴焦半径：①椭圆：

PF

； （左“+”右“-”）；

1

aex

0

,PF

2

aex

0

（e为离心率）

②抛物线：

PFx

0

p

2

⑵弦长公式：

AB1k

2

x

2

x

1

(1k

2

)[(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

]

1

1

y

2

y

1

k

2

(1

1

)[(y

1

y

2

)

2

4y

1

y

2

]

；

2

k

注：（Ⅰ）焦点弦长：①椭圆：

|AB|2ae(x

1

x

2

)

；②抛物线：

AB

＝

x

1

+x

2

+p=

2p

2b

2

；②抛物线：2p。 ；（Ⅱ）通径（最短弦）：①椭圆、双曲线：

sin

2

a

22

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：

mxny1

（

m,n

同时大于0时表

示椭圆，

mn0

时表示双曲线）；

⑷椭圆中的结论：

①内接矩形最大面积 ：2ab；

②P，Q为椭圆上任意两点，且OP

0Q，则

1111



；

|OP|

2

|OQ|

2

a

2

b

2

③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>．

S

PF

1

F

2

btan

2

2

，（

F

1

PF

2

）；<Ⅱ>．点

M

是

PF

1

F

2

内心，

PM

交

F

1

F

2

于点

N

，则

|PM|a

；

|MN|c

④当点

P

与椭圆短轴顶点重合时

F

1

PF

2

最大；

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11

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⑸双曲线中的结论：

22

22

yy

xx

①双曲线

2

1

（a>0,b>0）的渐近线：

2

2

0

；

2

abab

2

2

b

y

x

②共渐进线

yx

的双曲线标准方程为；



(

为参数，

≠0）

a

a

2

b

2

③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>．

S

PF

1

F

2

x

2

（

F

1

PF

2

）；<Ⅱ>．P是双曲线

2

bcot

，

a

2

2

y

2

－

2

=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F

1

、F

2

分别为左、右焦点，则△PF

1

F

2

的内切

b

圆的圆心横坐标为

a,(a)

；

④双曲线为等轴双曲线

e

（6）抛物线中的结论：

①抛物线y

2

=2px(p>0)的焦点弦

2

p

AB性质：<Ⅰ>． x

1

x

2

=；y

1

y

2

=－p

2

；

4

2

渐近线为

yx

渐近线互相垂直；

<Ⅱ>．

112



；<Ⅲ>．以AB为直径的圆与准线相切；<Ⅳ>．以AF（或

|AF||BF|p

p

2

。

2sin

BF）为直径的圆与

y

轴相切；<Ⅴ>．

S

AOB

②抛物线y

2

=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：

<Ⅰ>．

x

1

x

2

4P,y

1

y

2

4P

； <Ⅱ>．

l

AB

恒过定点

(2p,0)

；

<Ⅲ>．

A,B

中点轨迹方程：

yp(x2p)

；<Ⅳ>．

OMAB

，则

M

轨迹方程为：

2

22

(xp)

2

y

2

p

2

；<Ⅴ>．

(S

AOB

)

min

4p

2

。

③抛物线y

2

=2px(p>0)，对称轴上一定点

A(a,0)

，则：

<Ⅰ>．当

0ap

时，顶点到点A距离最小，最小值为

a

；<Ⅱ>．当

ap

时，抛

物线上有关于

x

轴对称的两点到点A距离最小，最小值为

2app

。

3．直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

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12

2

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注意以下问题：

①联立的关于“

x

”还是关于“

y

”的一元二次方程？

②直线斜率不存在时考虑了吗？

③判别式验证了吗？

⑵设而不求（代点相减法）：--------处理弦中点问题

步骤如下：①设点A(x

1

，y

1

)、B(x

2

,y

2

)；②作差得

k

AB

y

1

y

2



；③解决问题。

x

1

x

2

4．求轨迹的常用方法：

（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点

法或转移法）；⑷待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。

第七部分 平面向量

⑴设a=(x

1

,y

1

),b=(x

2

,y

2

)，则：

① a∥b(b≠0)

a=

b （

R)

x

1

y

2

－x

2

y

1

=0；

② a⊥b(a、b≠0)

a·b=0

x

1

x

2

+y

1

y

2

=0 .

⑵a·b=|a||b|cos=x

2

+y

1

y

2

；

注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；

③ a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。

⑶cos=

ab

；

|a||b|

⑷三点共线的充要条件

P，A，B三点共线

OPxOAyOB(且xy1)

；

附：（理科）P，A，B，C四点共面

OPxOAyOBzOC(且xyz1)

。

第八部分 数列

1．定义：

⑴等差数列

｛a

n

｝a

n1

a

n

d(d为常数）2a

n

a

n1

a

n1

(n2,nN*)

a

n

knbs

n

An

2

Bn

；

⑵等比数列

｛a

n

}

a

n1

2

q(q0)a

n

a

n-1

a

n1

(n2,nN)

a

n

a

n

cq

n

(c,q均为不为0的常数）Snkkq

n

(q0,q1,k0)

；

2．等差、等比数列性质

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13

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等差数列 等比数列

n1

通项公式

a

n

a

1

(n1)d

a

n

a

1

q

1.q1时，S

n

na

1

;

n(a

1

a

n

)

a

1

(1q

n

)

n(n1)

前n项和

S

n

na

1

d

2.q1时，S

n

22

1q

aa

n

q

1

1q

性质 ①a

n

=a

m

+ (n－m)d, ①a

n

=a

m

q

n-m

;

②m+n=p+q时a

m

+a

n

=a

p

+a

q

②m+n=p+q时a

m

a

n

=a

p

a

q

③

S

k

,S

2k

S

k

,S

3k

S

2k

,

成AP ③

S

k

,S

2k

S

k

,S

3k

S

2k

,

成GP

m

④

a

k

,a

km

,a

k2m

,

成AP,

d\'md

④

a

k

,a

km

,a

k2m

,

成GP,

q\'q

等差数列特有性质：

① 项数为2n时：S

2n

=n(a

n

+a

n+1

)=n(a

1

+a

2n

)；

S

偶

S

奇

nd

；

S

奇

S

偶

a

n

；

a

n1

② 项数为2n-1时：S

2n-1

=(2n-1)

a

中

；

S

奇

-S

偶

a

中

；

S

奇

S

偶

n

；

n-1

③ 若

a

n

m,a

m

n,(mn)，则a

mn

0

；若

S

n

m,S

m

n,则S

mn

(mn)

；

若

S

n

S

m

,(mn)，则S

mn

0

。

3．数列通项的求法：

S

1

(n=1)

a

n

=

a

S

a

n

≥

c

n

； ⑴分析法；⑵定义法（利用AP,GP的定义）；⑶公式法：累加法（

n

n-1

1

(nS

n

－2)

⑷叠乘法（

a

n1

c

n

型）；⑸构造法（

a

n1

ka

n

b

型）；（6）迭代法；

a

n

11

4

）；⑻作商法（

a

1

a

2

a

n

c

n

a

n

a

n1

⑺间接法（例如：

a

n1

a

n

4a

n

a

n1

型）；⑼待定系数法；⑽（理科）数学归纳法。

注：当遇到

a

n1

a

n1

d或

a

n1

q

时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。

a

n1

14

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4．前

n

项和的求法：

⑴拆、并、裂项法；⑵倒序相加法；⑶错位相减法。

5．等差数列前n项和最值的求法：

a

n

0

a

n

0

；⑵利用二次函数的图象与性质。 ⑴

或



a

n1

0

a

n1

0

第九部分 不等式

ab

1．均值不等式：

ab

2

a

2

b

2

2

ab

2

a

2

b

2

注意：①一正二定三相等；②变形，

ab(

。

)

22

2．绝对值不等式：

||a||b|||ab||a||b|

3．不等式的性质：

⑴

abba

；⑵

ab,bcac

；⑶

abacbc

；

ab,cd

acbd

；⑷

ab,c0acbd

；

ab,c0acbc

；

ab0,

（6）

ab0

cd0acbd

；⑸

ab0a

n

b

n

0(nN

)

；

n

a

n

b(nN

)

。

4．不等式等证明（主要）方法：

⑴比较法：作差或作比；⑵综合法；⑶分析法。

第十部分 复数

1．概念：

⑴z=a+bi∈R

b=0 (a,b∈R)

z=

z

z

2

≥0；

⑵z=a+bi是虚数

b≠0(a,b∈R)；

⑶z=a+bi是纯虚数

a=0且b≠0(a,b∈R)

z＋

z

＝0（z≠0）

z

2

<0；

⑷a+bi=c+di

a=c且c=d(a,b,c,d∈R)；

2．复数的代数形式及其运算：设z

1

= a + bi , z

2

= c + di (a,b,c,d∈R)，则：

（1） z

1

± z

2

= (a + b) ± (c + d)i；⑵ z

1

.z

2

= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；

⑶z

1

÷z

2

=

(abi)(cdi)

bdbcad

(z≠0) ;

ac

2

i

(cdi)(cdi)

c

2

d

2

c

2

d

2

1i1i

i;i;

1i1i

15

3．几个重要的结论：

222222

⑶

(1i)

2

2i

；⑷

(1)z

1

z

2

z

1

z

2

2(z

1

z

2

);(2)zzzz

；

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⑸

i

性质：T=4；

i

4n

1,i

4n1

i,i

4n2

1,i

4n3

i

；

i

4n

i

4n1

i

42

i

4n3

0;

（6）



13

i

以3为周期，且

0

1,

2

,

3

1

；

1

2

=0；

22

（7）

z1zz1z

4．运算律：（1）

zzz

mnmn

1

。

z

;(2)(z

m

)

n

z

mn

;(3)(z

1

z

2

)

m

z

1

z

2

(m,nN);

z

1

z

⑷

zz

。

)

1

；

z

2

z

2

mm

5．共轭的性质：⑴

(z

1

z

2

)z

1

z

2

；⑵

z

1

z

2

z

1

z

2

；⑶

(

6．模的性质：⑴

||z

1

||z

2

|||z

1

z

2

||z

1

||z

2

|

；⑵

|z

1

z

2

||z

1

||z

2

|

；⑶

|

z

1

|z|

|

1

；⑷

|z

n

||z|

n

；

z

2

|z

2

|

第十一部分 概率

1．事件的关系：

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作

AB

；

⑵事件A与事件B相等：若

AB,BA

，则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作

AB

（或

AB

）；

⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作

AB

（或

AB

） ；

⑸事件A与事件B互斥：若

AB

为不可能事件（

AB

），则事件A与互斥；

﹙6﹚对立事件：

AB

为不可能事件，

AB

为必然事件，则A与B互为对立事件。

2．概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

⑵古典概型：

P(A)

A包含的基本事件的个数

；

基本事件的总数

构成事件A的区域长度（面积或体积等）

；

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）

⑶几何概型：

P(A)

第十二部分 统计与统计案例

1．抽样方法

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个

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16

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容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为

n

；

N

②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的

规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号

l

；

④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的

情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数

2．总体特征数的估计：

n

⑴样本平均数

x

1

(x

1

x

2

x

n

)

1

x

i

；

n

N

nn

i1

n

⑵样本方差

S

2

1

[(x

1

x)

2

(x

2

x)

2

(x

n

x)

2

]

1

(x

i

x)

2

；

n

n

i1

n

⑶样本标准差

S

1

[(x

1

x)

2

(x

2

x)

2

(x

n

x)

2

]

=

1

(xx)

2

；

i

n

n

i1

3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：

r

(x

i1

n

i

x)(y

i

y)

n

(x

i1

n

i

x)

2

(y

i

y)

2

i1

注：⑴

r

>0时，变量

x,y

正相关；

r

<0时，变量

x,y

负相关；

⑵①

|r|

越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②

|r|

接近于0时，两个变量之

间几乎不存在线性相关关系。

4．回归分析中回归效果的判定：

⑴总偏差平方和：

(y

i1

n

i

2

y)

⑵残差：

e

i

y

i

y

i

；⑶残差平方和：

(yiyi)

；

2



n

i1

⑷回归平方和：

(y

i1

n

i

y)

－

(yiyi)

2

；⑸相关指数

R

2

1

2

i1

n

2

(yy)

ii

n

(y

i1

i1

n

。

i

y

i

)

2

注：①

R

得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

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17

2

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②

R

2

越接近于1，，则回归效果越好。

5．独立性检验（分类变量关系）：

随机变量

K

2

越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第十三部分 算法初步

1．程序框图：

⑴图形符号：

① 终端框（起止况）；② 输入、输出框；⑥ 连接点。

③

处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；

⑵程序框图分类:

①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：

r=0? 否

求n除以i的余数

输入n

是

n不是质素 n是质数 i=i+1

i=2

i

n或r=0?否

是

注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型）——先判断条件，再执行循环体；

Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。

2．基本算法语句：

⑴输入语句： INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式

赋值语句： 变量=表达式

⑵条件语句：① ②

IF 条件 THEN IF 条件 THEN

语句体 语句体1

END IF ELSE

语句体2

END IF

⑶循环语句：①当型： ②直到型:

WHILE 条件 DO

循环体 循环体

WEND LOOP UNTIL 条件

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3．算法案例：

⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数；

⑵秦九韶算法------求多项式的值；

⑶进位制----------各进制数之间的互化。

第十四部分 常用逻辑用语与推理证明

1． 四种命题：

⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；

⑶否命题：若

p则

q；⑷逆否命题：若

q则

p

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

2．充要条件的判断：

（1）定义法----正、反方向推理；

（2）利用集合间的包含关系：例如：若

AB

，则A是B的充分条件或B是A的

必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；

3．逻辑连接词：

⑴且(and) ：命题形式 p

q； p q p

q p

q

p

⑵或（or）：命题形式 p

q； 真 真 真 真 假

⑶非（not）：命题形式

p . 真 假 假 真 假

假 真 假 真 真

假 假 假 假 真

4．全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用

表示；

全称命题p：

xM,p(x)

；

全称命题p的否定

p：

xM,p(x)

。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用

表示；

特称命题p：

xM,p(x)

；

特称命题p的否定

p：

xM,p(x)

；

第十五部分 推理与证明

1．推理：

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在

进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些

特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具

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有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

⑴大前提---------已知的一般结论；

⑵小前提---------所研究的特殊情况；

⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二．证明

⒈直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推

导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结

论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫

分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明------反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而

证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

附：数学归纳法（仅限理科）

一般的证明一个与正整数

n

有关的一个命题，可按以下步骤进行：

⑴证明当

n

取第一个值

n

0

是命题成立；

⑵假设当

nk(kn

0

,kN)

命题成立，证明当

nk1

时命题也成立。

那么由⑴⑵就可以判定命题对从

n

0

开始所有的正整数都成立。

这种证明方法叫数学归纳法。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；

②

n

0

的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

第十六部分 理科选修部分

1． 排列、组合和二项式定理

⑴排列数公式:

A

n

=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=

列

A

n

=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;

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n

m

n!

(nm)!

(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排

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m

A

n

n(n1)(nm1)

（m≤n）,

C

0

C

n

1

； ⑵组合数公式：

C

nn

m!m(m1)(m2)321

m

n

⑶组合数性质：

C

n

m

C

n

nm

;C

n

m

C

n

m1

C

n

m

1

；

n0n1n11knkknn

⑷二项式定理：

(ab)C

n

aC

n

ab

C

n

ab

C

n

b(nN)

rnrr

①通项：

T

r1

C

n

ab(r0,1,2,...,n);

②注意二项式系数与系数的区别；

⑸二项式系数的性质：

①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第

项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第

n

＋1项）二

2

n1n1

和＋1项）二项式系数最大；

22

012nn0213n1

③

C

n

C

n

C

n

C

n

2;C

n

C

n

C

n

C

n

2;

(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。

2. 概率与统计

⑴随机变量的分布列：

①随机变量分布列的性质：p

i

≥0,i=1,2,…； p

1

+p

2

+…=1;

②离散型随机变量：

X

P

x

1

P

1

X

2

P

2

…

…

x

n

Pn

…

…

期望：EX＝ x

1

p

1

+ x

2

p

2

+ … + x

n

p

n

+ … ;

222

方差：DX＝

(x

1

EX)p

1

(x

2

EX)p

2

(x

n

EX)p

n



;

注：

E(aXb)aEXb;D(aXb)aDX

；

③两点分布：

X 0 1 期望：EX＝p；方差：DX＝p(1-p).

P 1－p p

④ 超几何分布：

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则

knk

C

M

C

NM

P(Xk),k0,1,

m,mmin{M,n},

其中，

nN,MN

。

n

C

N

2

称分布列

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X 0 1 … m

0n01n1mnm

C

M

C

N

C

M

C

N

C

M

C

NMMM

P …

nnn

C

N

C

N

C

N

为超几何分布列， 称X服从超几何分布。

⑤二项分布（独立重复试验）：

kknk

若X～B（n,p）,则EX＝np, DX＝np（1- p）;注：

P(Xk)C

n

p(1p)

。

⑵条件概率：称

P(B|A)

P(AB)

为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

P(A)

注：①0

P（B|A）

1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。

⑷正态总体的概率密度函数：

f(x)

1

2



e

(x

)

2

2

2

,xR,

式中

,

是参数，分别表示

总体的平均数（期望值）与标准差；

（6）正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝

对称；

③曲线在x＝

处达到峰值

1

2

；④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤ 当

一定时，曲线随

质的变化沿x轴平移；

⑥ 当

一定时，曲线形状由

确定：

越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；

越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。

注：P

(

x

)

=0.6826；

P

(

2

x

2

)

=0.9544

P

(

3

x

3

)

=0.9974

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