2024年3月24日发(作者：基础知识数学试卷答案)
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九、计数原理与古典概率
（一）计数原理
一、高考考什么？
[考试说明]
1． 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2． 了解排列、组合的概念，会用排列数公式、组合数公式.解决简单的实际问题
[知识梳理]
1．排列数公式
m
A
n
n(n1)(n2)(nm1)
n!
n
(mn)
；
A
n
n
!
n
(
n
1)(
n
2)
(nm)!
2
1
。
2．组合数公式
m
A
n
n(n1)(nm1)n!
C
m
(mn)
；
A
m
m(m1)21m!
nm
!
m
n
0
1
，
C
n
1
.
规定
0！
3．排列数、组合数的性质：
mmm1
mnm
C
n
①
C
n
； ②
C
n
C
n1
C
n1
；
1
③； ④
C
r
r
C
r
r
1
C
r
r
2
C
n
r
C
n
r
1
；
kk1
4.解排列组合
kC
n
nC
n1
问题的常用方法：
（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再
考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。
（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。
（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其
余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
（4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采
用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的
元素之间）。
[全面解读]
1
考试说明寥寥数语，仅需掌握两个原理，两个概念，但具体到题上却灵活多变，主要要
解决几个数学模型：排数问题、排队问题、涂色问题，解题时要注意是有序的还是无序的，
是相邻的还是互不相邻的，有没有特殊元素或特殊位置，这些注意到了，正确率就提高了。
[难度系数] ★★★★☆
二、高考怎么考？
[原题解析]
[2004年]
(15)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿
x
轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，
经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有
__________种（用数字作答）
[2005年]
(14)从集合{
O
，
P
，
Q
，
R
，
S
}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2 个元素排成
一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母
O
，
Q
和数字0至多只能出现一个的不同排
法种数是_________．(用数字作答)．
[2006年]
(10)函数f:{1,2,3}
{1,2,3}满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有（ ）
A．1个 B．4个 C．8个 D．10个
[2007年]
(14) 某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每
种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）．
[2008年]
(16)用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性
不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____（用数字作答)
[2009年]
(16)甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不
区分站的位置，则不同的站法种数是_______（用数字作答）
2
[2010年]
(17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、
“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测
“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安
排方式共有 _种（用数字作答）
[2012年]
(6)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法
共有（ ）
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
[2013年]
（14）将
A,B,C,D,E,F
六个字母排成一排，且
A,B
均在
C
的同侧，则不同的排法共有__
______种（用数字作答）
[2014年]
（14）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，
每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）
[2017年]
（16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务
队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）
三、不妨猜猜题
从考题来看，排列组合问题还是中等偏难的，但基本的数学模型还是不变的，15、16
年将这一模块内容移到自选模块，17年又移回高考主模块，仍会出一个小题，平时训练应
抓住基本模型，搞清搞透，得分就不难了。
A组
1．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同
3
的分配方案的种数为( )
A．80 B．120 C．140 D．50
2．如图，正五边形
ABCDE
中，若把顶点
A,B,C,D,E
染上红，黄，绿三种颜色中的一种，
使得相邻顶点所染颜
A．30种 B．27种 C．24种 D．21种
D C
E
A
B
色不同，则不同的染色方法共有（ ）
3．8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则
不同的调换方式有（ ）
A．
C
8
B．
C
8
A
8
C．
C
8
A
2
D．
3C
8
4．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）
A.
10
5
种 B.
5
10
种 C. 50种 D. 以上都不对
5．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要
求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 （ ）
A. 232 B. 252 C. 472 D. 484
6．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，
并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对
象，则不同的推荐方法共有（ ）
A. 36种 B. 24种 C. 22种 D. 20种
7．某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门．学
校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案(用数值作答).
8．现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若
恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法种数共有_________．（用数字作答）
333323
4
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