数学分析专题选讲课程教学大纲

2024年4月11日发(作者：小学生数学试卷100分)

《数学分析专题选讲》课程教学大纲

一、课程基本信息

课程中文名称:数学分析专题选讲

课程英文名称:Selective Lectures of Mathematic Analysis

课程类别:选修课

使用专业:数学与应用数学专业 、计算与信息科学专业、物理学、计算机科学等

开设学时：24学时

使用年级:20XX级、20XX级

预修课程:数学分析或高等数学一

并修课程:

课程简介:数学分析专题系统拓展和加深讲授极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理的及

其应用, 一元函数积分学, 数值级数与无穷积分, 多元函数微分学,函数级数与含参变量的

无穷积分, 多元函数积分学这八个专题的核心内容.

建议教材: 自编讲义

参考书:

[1].毛羽辉编著《数学分析选论》,北京:科学出版社(第二版).

[2].胡小敏 李承家编著《数学分析考研教案》,西安:西北工业大学出版社(第二版).

[3].王戈平编《数学分析选讲》,西安:中国矿业大学出版社.

[4].裘兆泰 王承国 章仰文编《数学分析学习指导》,北京:科学出版社.

[5].孙本旺 汪浩《数学分析中的典型例题和方法》,长沙:湖南科学技术出版社.

[6].周中群主编《数学分析方法选讲》,重庆:西南师范大学出版社.

[7].刘玉琏 扬奎元 吕风编《数学分析讲义学习指导书》(上),北京:高等教育出版社(第二

版).

[8].刘玉琏 扬奎元 吕风编《数学分析讲义学习指导书》(下),北京:高等教育出版社(第二

版).

[9].谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边编《数学分析习题课讲义》(上),北京: 高等教育出版社.

[10].谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边编《数学分析习题课讲义》(下),北京: 高等教育出版

社.

[11].钱吉林 编《数学分析解题精粹》,武汉:崇文书局.

[12].牟俊霖 李青吉《洞穿考研数学》,北京:航空工业出版社.

二、课程性质、目的及总体要求

课程的基本特性: 数学分析专题选讲是数学与应用数学专业,计算与信息科学专业重要的选

修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可

使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识，是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同

学的必修课程.

课程的教学目标:该课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理

的及其应用, 一元函数积分学,数值级数与无穷积分, 多元函数微分学, 函数级数与含参变

量的无穷积分, 多元函数积分学这八个专题的核心内容.

课程的总体要求:通过本课程的学习,主要要求学生系统拓展和加深极限理论, 函数的连续

性, 微分中值定理的极其应用, 一元函数积分学,数值级数与无穷积分, 多元函数微分

学, 函数级数与含参变量的无穷积分, 多元函数积分学的基本技能、基本思想和方法,

主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力.

三、章节教学内容与要求 （进度表）

第一章 极限理论的应用(6学时)

总的要求:极限理论是数学分析的基础理论,它是学习微分理论、积分理论、级数理论等的奠

基理论,极限理论的基本思想和方法贯穿于数学分析始终.在本章中,主要进一步学习解决极

限问题的若干基本方法.通过学习,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和解决

实际问题的能力,培养学生科学研究的初步能力。

重点:Stolz定理的应用、实数连续公理的应用、柯西准则的应用.

难点:Stolz定理的应用、实数连续公理的应用、柯西准则的应用.

第一节 Stolz定理的应用(2学时)

1.深刻理解和掌握Stolz定理.

2.能较熟练应用Stolz定理证明和解决极限的基本问题.

第二节 实数连续公理的应用(3学时)

1.深刻理解和掌握实数连续公理.

2.能较熟练应用实数连续公理证明和解决极限的基本问题.

第三节 柯西准则的应用(2学时)

1.深刻理解和掌握柯西准则.

2.能较熟练应用柯西准则证明和解决极限的基本问题.

第二章 函数的连续性 (2学时)

总的要求:连续函数是一类最重要、性质最好的函数之一,是数学分析的主要研究对象之一.

在本章中,主要进一步学习应用闭区间上连续函数的性质等证明和解决问题的基本方法.通

过学习,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和和解决实际问题的能力,培养学

生科学研究的初步能力.

重点: 闭区间上连续函数的性质应用.

难点: 闭区间上连续函数的性质应用.

第一节 闭区间上连续函数的性质应用(2学时)

1.深刻理解和掌握闭区间上连续函数的性质.

2.能较熟练应用闭区间上连续函数的性质证明和解决基本问题.

第三章 微分中值定理极其应用(4学时)

总的要求: 微分中值定理是数学分析中最基本的定理之一,它深刻揭示了闭区间上的函数与

其导数的关系,它是沟通函数与其导数的桥梁.在本章中,主要进一步学习应用微分中值定理

和泰勒中值定理证明和解决问题的基本方法.通过学习,主要培养学生分析论证问题的能力、

抽象思维能力和和解决实际问题的能力,培养学生科学研究的初步能力.

重点：微分中值定理的应用、泰勒中值定理的应用.

难点：微分中值定理的应用、泰勒中值定理的应用.

第一节 微分中值定理的应用(2学时)

1.深刻理解和掌握微分中值定理.

2.能较熟练应用微分中值定理证明和解决基本问题.

第二节 泰勒中值定理的应用(2学时)

1.深刻理解和掌握泰勒中值定理.

2.能较熟练应用泰勒中值定理证明和解决基本问题.

第四章 一元函数积分学 (4学时)

总的要求: 定积分与极限、积分中值定理(广义积分中值定理)、积分等式与积分不等式是数

学分析中一元函数积分学的三个重要的基本知识点.在本章中,主要进一步学习应用定积分

与极限证明和解决问题的基本方法; 进一步学习应用积分中值定理(广义积分中值定理证明)

证明和解决问题的基本方法;进一步学习积分等式与积分不等式的证明和应用积分等式与积

分不等式证明和解决问题的基本方法.通过学习,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思

维能力和和解决实际问题的能力,培养学生科学研究的初步能力。

重点：定积分与极限、积分中值定理(广义积分中值定理)、积分等式与积分不等式.

难点：定积分与极限、积分中值定理(广义积分中值定理)、积分等式与积分不等式.

第一节 定积分与极限(2学时)

1.深刻理解和掌握定积分与极限的关系.

2.能较熟练应用定积分与极限的关系证明和解决基本问题.

第二节 积分中值定理(广义积分中值定理)的应用(1学时)

1.深刻理解和掌握积分中值定理(广义积分中值定理).

2.能较熟练应用积分中值定理(广义积分中值定理)证明和解决基本问题.

第三节 积分等式与积分不等式(1学时)

1.能较熟练的证明一些积分等式与积分不等式.

2.能较熟练应积分等式与积分不等式证明和解决基本问题.

第五章 数值级数与无穷积分(4学时)

总的要求:数值级数敛散性的判定是级数的最基本的问题之一, 无穷积分敛散性的判定是无

穷积分的最基本的问题之一,数值级数与无穷积分有密切的联系.在本章中,主要进一步学习

数值级数敛散性的判定及数值级数中证明问题的基本方法; 进一步学习无穷积分敛散性的

判定的基本方法;进一步将无穷数值级数与无穷积分作对比学习研究.通过学习,主要培养学

生分析论证问题的能力、抽象思维能力和和解决实际问题的能力,培养学生科学研究的初步

能力.

重点：数值级数的敛散性、无穷积分的敛散性、数值级数与无穷积分的关系.

难点：数值级数的敛散性、无穷积分的敛散性、数值级数与无穷积分的关系.

第一节 数值级数的敛散性的判定及证明问题(2学时)

1.能熟练应用数值级数的基本判别法等证明和解决基本问题.

2.深刻理解和掌握数值级数的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)判别法、拉贝

(Raabe)判别法.

3.能较熟练应用数值级数的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)判别法、拉贝

(Raabe)判别法等证明和解决一些基本问题.

第二节 无穷积分的的敛散性的判定(1学时)

1.能熟练应用无穷积分的基本判别法等证明和解决基本问题。

2.深刻理解和掌握无穷积分的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)判别法

3.能较熟练应用无穷积分的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等证明和解

决一些基本问题。

第三节 无穷数值级数与无穷积分比较学习研究(1学时)

1.能深刻理解和掌握无穷数值级数与无穷积分的内在联系和内涵,使两者相通.

第六章 多元函数微分学 (4学时)

总的要求: 多元函数微分学与一元函数微分学既有联系又有区别,.在此章中,主要进一步将

多元函数微分学与一元函数微分学作一个对比学习研究,主要讨论研究多元函数与一元函数

的连续、偏导存在(可导) 、可微等基本关系,进一步学习应用多元函数微分学与一元函数微

分学的基本知识证明和解决问题的基本方法.同时,将进一步学习应用隐函数的基本理论研

究多元函数取条件极值的充分条件.通过学习,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维

能力和和解决实际问题的能力,培养学生科学研究的初步能力。

重点：多元函数与一元函数的连续、偏导存在(可导) 、可微、多元函数取条件极值的充分

条件.

难点：多元函数与一元函数的连续、偏导存在(可导) 、可微、多元函数取条件极值的充分

条件.

第一节 多元函数与一元函数的连续(1学时)

1.深刻理解和掌握多元函数与一元函数的连续的概念、区别与联系.

2.能较熟练讨论多元函数与一元函数连续的基本问题.

第二节 多元函数与一元函数的偏导存在(可导) 与可微(1学时)

1.深刻理解和掌握多元函数与一元函数的偏导存在(可导) 与可微的概念、区别与联系.

2.能较熟练讨论多元函数与一元函数的偏导存在(可导) 与可微的一些基本问题.

第三节 多元函数取条件极值的充分条件

1.深刻理解和掌握多元函数取条件极值的充分条件.

2.能较熟练讨论多元函数取条件极值的一些基本问题.

第七章 函数级数与含参变量的无穷积分 (4学时)

总的要求:函数级数的一致收敛与和函数的分析性质是函数级数的最基本的问题, 含参变量

的无穷积分的一致收敛与积分函数的分析性质是含参变量的无穷积分最基本的问题,函数级

数与含参变量的无穷积分有密切的联系.在此章中,主要进一步学习函数级数的一致收敛的

判定及应用函数级数的和函数的分析性质证明问题的基本方法; 进一步学习含参变量的无

穷积分的一致收敛的判定及应用含参变量的无穷积分的积分函数的分析性质证明问题的基

本方法;进一步将函数级数与含参变量的无穷积分作对比学习研究.通过学习,主要培养学生

分析论证问题的能力、抽象思维能力和和解决实际问题的能力,培养学生科学研究的初步能

力.

重点：函数级数的一致收敛和和函数的分析性质、含参变量的无穷积分的一致收敛和积分函

数的分析性质、函数级数与含参变量的无穷积分的关系.

难点：函数级数的一致收敛和和函数的分析性质、含参变量的无穷积分的一致收敛和积分函

数的分析性质、函数级数与含参变量的无穷积分的关系.

第一节 函数级数一致收敛与和函数的分析性质

1.能熟练应用函数级数一致收敛的基本判别法等证明和解决基本问题。

2.深刻理解和掌握函数级数一致收敛的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)判别

法、狄尼(Dini) 判别法

3.能较熟练应用函数级数一致收敛的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔(Abel)判别法、

狄尼(Dini) 判别法等证明和解决一些基本问题。

4.能较熟练应用无穷函数级数的分析性质证明和解决基本问题

第二节 含参变量无穷积分一致收敛与积分函数的分析性质

1.能熟练应用含参变量无穷积分一致收敛的基本判别法等证明和解决基本问题。

2.深刻理解和掌握含参变量无穷积分的一致收敛的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔

(Abel)判别法

3.能较熟练应用含参变量无穷积分的一致收敛的狄利克雷(Dirichelet)判别法、阿贝尔

(Abel)判别法等证明和解决一些基本问题。

4.能较熟练应用含参变量无穷积分的分析性质证明和解决基本问题

第三节 无穷函数级数与含参变量无穷积分的比较学习研究

1.能深刻理解和掌握函数级数的一致收敛与含参变量的无穷积分的一致收敛的内在联系和

内涵,使两者相通.

2.能深刻理解和掌握函数级数和函数的分析性与含参变量无穷积分积分函数的分析性质的

内在联系和内涵,使两者相通.

第八章 多元函数积分学 (4学时)

总的要求: 多元函数积分学主要包括二重积分与三重积分、第一型曲线积分(平面和空间)

与第二型曲线积分(平面和空间) 、第一型曲面积分与第二型曲面积分.在此章中,主要进一

步学习计算二重积分与三重积分、第一型曲线积分(平面和空间)与第二型曲线积分(平面和

空间) 、第一型曲面积分与第二型曲面积分基本技能;.通过学习,主要培养学生综合计算能

力、抽象思维能力和和解决实际问题的能力,培养学生科学研究的初步能力.

重点：二重积分与三重积分、第一型曲线积分(平面和空间)与第二型曲线积分(平面和空

间) 、第一型曲面积分与第二型曲面积分.

难点：二重积分与三重积分、第一型曲线积分(平面和空间)与第二型曲线积分(平面和空

间) 、第一型曲面积分与第二型曲面积分.

第一节 二重积分与三重积分

1.深刻理解和掌握二重积分与三重积分的代换(一般代换、广义极坐标代换、广义柱面坐标

代换、广义球坐标代换).

2.能熟练应用二重积分与三重积分的代换(一般代换、广义极坐标代换、广义柱面坐标代换、

广义球面坐标代换)计算、证明和解决基本问题.

3.能熟练地根据的被积函数和积分区域的特征计算二重积分与三重积分.

第二节 曲线积分与格林公式和斯托克斯公式

1.能熟练地根据被积函数和积分曲线的特征应用格林公式和撕托克斯公式计算曲线积分.

2.能熟练地根据被积函数和积分曲线的特征计算曲线积分.

3.能熟练地讨论曲线积分与积分线路无关的问题.

第三节 曲面积分与高斯公式

1.能熟练地根据被积函数和积分曲面特征计算曲面积分.

2.能熟练地根据被积函数和积分曲面特征应用高斯公式计算曲面积分.