数学分析与习题课 教学大纲

2024年4月11日发(作者：鄄城县小升初数学试卷)

《数学分析I》课程教学大纲

（本课程周课时数为5，共85课时，此外每周还有2课时的习题课）

课程编号： MAAB1101

课程类别： 大类基础课

授课对象： 数学与应用数学基地、数学与应用数学师范、信息与计算科学、统计专业

开课学期： 秋季，第1学期

学 分： 5学分

指定教材：

1、 华东师范大学数学系，《数学分析（下）》（第三版），高等教育出版社，2003年

2、 谢惠民，《数学分析讲义》（第一册），自编

一、 教学目的

数学分析课程是是数学专业最重要的基础课，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都

有着重要的意义。课程的其特点是： 学习时间的跨度很大，一般是三个学期，内容极为丰

富。《数学分析I》课程是基础，其基本的内容为极限和连续理论、一元微分学。课程的教

学目的是通过系统的数学训练，使学生进一步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事

进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到

根本的提高。

二、 课程内容

第一章、 引论 （5 课时）

1. 集合；

2. 实数的连续性

实数的一些描述方法。

3. 数集与确界

确界的描述、确界原理及其应用；

4. 逻辑记号的对偶法则

逻辑记号的对偶法则；用逻辑记号叙述否命题；

5. 常用不等式

三角不等式、Bernoulli不等式、平均值不等式、Cauchy不等式。.

第二章、数列极限（20课时）

1. 数列极限的定义

数列极限的ε－N语言和邻域语言。

2. 数列极限的计算

适当放大法；发散数列；一些重要例子；Cauchy命题和Stolz定理。

3. 单调数列的极限

单调有界定理、闭区间套定理及其应用；

4. Cauchy收敛准则

用Cauchy收敛准则描述极限存在和不存在；

5. 子列及其应用.

子列的概念、它与收敛发散的关系及其应用。

第三章、映射与函数（2课时）

1.映射；

2. 一元实函数；

3. 函数的几何特性

草图的画法（如两个函数和的草图等）；有界函数、单调函数、反函数、奇偶函数和周期

函数的特性。

第四章、函数极限与连续性（10课时）

1. 函数极限的定义与性质,

函数极限的定义、性质和几个重要的函数极限；三种存在性条件（Heine归结原则；单调

有界函数的收敛定理；Cauchy准则），能有选择地应用。

2. 无穷大量、无穷小量和有界量

无穷大量、无穷小量、有界量和无界量的概念；阶的比较；利用等价量替换做题。

第五章、连续函数与单调函数（12课时）

1. 连续函数的局部性质

连续性概念；连续函数的局部性质；间断点的分类；.常用例子（如符号函数、振荡函数等）。

2. 区间上连续函数的基本性质

有界性、最值性、介值性及其应用；一致连续性、 Cantor定理； 聚点原理、致密性定理、

有限覆盖定理；实数完备性基本定理的等价性。

3. 单调函数.

单调函数、反函数及其连续性。

第六章、导数与微分（8课时）

1．导数概念

导数的定义、几何意义。

2. 导数的计算

简单计算；高阶导数计算；.复合函数和链法则。

3. 微分概念、一阶微分的形式不变性

微分观点（有限增量公式、线性近似）；微分计算；一阶微分的形式不变性。

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第七章、微分学的基本定理（8课时）

1. Fermat定理和微分中值定理； 5

Fermat定理、Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchye中值定理的内容；证明的辅助函数

方法。

2. Taylor 公式

带Peano余项的Taylor 公式；带Lagarange余项的Taylor公式；常用函数的Taylor公式.

第八章、微分学的应用（14课时）

1.极限计算

L’Hospital计算不定式极限

2.单调性讨论；

3.极值与最值问题;

求函数的极值和最值；导函数极限定理；不等式证明。

4. 凸函数

凸函数简单性质和刻画；用导数判断凸性；用凸函数的性质证明不等式。

5. 函数作图.

用导数的方法综合作图。

三、教学方法

本课程教师采用在课堂板书为主，多媒体课件为辅的教学方法。要求教师在上课前认真备课，

上课板书整洁，讲课重思想方法，重逻辑推理，引导学生跟着老师的思路。